第一節(jié)坐標(biāo)系2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程。2016，全國卷，23,10分(直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用)2016，全國卷，23,10分(直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用)2015，全國卷，23,10分(圓的極坐標(biāo)，求三角形面積)2015，全國卷，23,10分(直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，求極坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)方程解決問題是本部分的熱點內(nèi)容，主要以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等。微知識小題練自|主|排|查1平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)點P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。2極坐標(biāo)的概念(1)極坐標(biāo)系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做_極點，從O點引一條射線Ox，叫做極軸，選定一個單位長度和角及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個平面極坐標(biāo)系，簡稱為極坐標(biāo)系。(2)極坐標(biāo)：對于平面內(nèi)任意一點M，用表示線段OM的長，表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角，有序?qū)崝?shù)對(，)叫做點M的極坐標(biāo)，記作M(，)。當(dāng)點M在極點時，它的極徑0，極角可以取任意值。(3)點與極坐標(biāo)的關(guān)系：平面內(nèi)一點的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對，當(dāng)kZ時，(，)，(，2k)，(，(2k1)表示同一個點，而用平面直角坐標(biāo)表示點時，每一個點的坐標(biāo)是唯一的。如果規(guī)定0,02，或者，那么，除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就一一對應(yīng)了。3極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把平面直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，如圖所示。(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)(0，0,2)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式2x2y2 tan(x0)在一般情況下，由tan確定角時，可根據(jù)點M所在的象限取最小正角。4常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos圓心為，半徑為r的圓2rsin(0)過極點，傾斜角為的直線(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)過點(a,0)，與極軸垂直的直線cosa過點，與極軸平行的直線sina(0)過點(a,0)，傾斜角為的直線sin()asin微點提醒1應(yīng)用伸縮變換時，要分清變換前的點的坐標(biāo)P(x，y)與變換后的點的坐標(biāo)Q(X，Y)。2直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化問題，要注意互化時要將極坐標(biāo)方程作適當(dāng)轉(zhuǎn)化；(1)若是和角，常用兩角和與差的三角公式展開，化為可用公式形式。(2)為了出現(xiàn)公式形式，兩邊可以同乘以。小|題|快|練1在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線x2y2經(jīng)過伸縮變換后，變成直線_?！窘馕觥坑缮炜s變換得將其代入x2y2得2xy4?！敬鸢浮?xy42在極坐標(biāo)系中，已知兩點P，Q，則線段PQ的長度為_。【解析】P，Q在過極點且與極軸成的直線上，它們位于極點的兩側(cè)，因此|PQ|516?！敬鸢浮?3直角坐標(biāo)方程x2y28y0的極坐標(biāo)方程為_?！窘馕觥恳驗閤2y22，ysin，所以原方程可化為28sin0。所以0或8sin。經(jīng)檢驗，得所求的極坐標(biāo)方程為8sin?！敬鸢浮?sin4極坐標(biāo)方程6cos的直角坐標(biāo)方程為_?！窘馕觥吭匠炭苫癁?coscos6sinsin，方程兩邊同乘，得23cos3sin，由2x2y2，cosx，siny，得所求的直角坐標(biāo)方程為x2y23x3y0?！敬鸢浮縳2y23x3y05在極坐標(biāo)系中，圓心在(，)且過極點的圓的方程為_?！窘馕觥咳鐖D，O為極點，OB為直徑，A(，)，則ABO，OB2，化簡得2cos?！敬鸢浮?cos微考點大課堂考點一 圖形的伸縮變換【典例1】求曲線ysin經(jīng)伸縮變換后的曲線方程?！窘馕觥坑傻脤⒋難sin，得2ysin，即ysin。故變換后的曲線方程為ysin。【答案】ysin反思歸納求經(jīng)伸縮變換后曲線方程的方法平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下的變換方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程?！咀兪接?xùn)練】求雙曲線C：x21經(jīng)過：變換后所得曲線C的焦點坐標(biāo)。【解析】設(shè)曲線C上任意一點P(x，y)，由上述可知，將代入x21得1，化簡得1。即1為曲線C的方程，可見仍是雙曲線，則焦點F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)為所求?！敬鸢浮縁1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)考點二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化【典例2】(1)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點A的極坐標(biāo)為A，求點A到直線l的距離。(2)已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑。【解析】(1)由2sin，得2，yx1。由點A的極坐標(biāo)為得點A的直角坐標(biāo)為(2，2)，d。(2)以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy。圓C的極坐標(biāo)方程為2240，化簡，得22sin2cos40。則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為。【答案】(1)(2)反思歸納極坐標(biāo)方程與普通方程互化技巧1巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以或同時平方技巧，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有cos，sin，2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程。2巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化sin()或cos()的結(jié)構(gòu)形式，進而利用互化公式得到普通方程。3將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為cos，將y換成sin，即可得到其極坐標(biāo)方程。【變式訓(xùn)練】O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為4cos，4sin。(1)把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過O1，O2交點的直線的直角坐標(biāo)方程。【解析】以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位。(1)4cos，兩邊同乘以，得24cos；4sin，兩邊同乘以，得24sin。由cosx，siny，2x2y2，得O1，O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2y24x0和x2y24y0。(2)得4x4y0，即xy0為所求直線方程。【答案】(1)O1，O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2y24x0和x2y24y0(2)xy0考點三 求曲線的極坐標(biāo)方程【典例3】(2017鐵嶺模擬)在極坐標(biāo)系Ox中，直線C1的極坐標(biāo)方程為sin2，M是C1上任意一點，點P在射線OM上，且滿足|OP|OM|4，記點P的軌跡為C2。(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；(2)求曲線C2上的點到直線cos距離的最大值。【解析】(1)設(shè)P(1，)，M(2，)，由|OP|OM|4，得124，即2。因為M是C1上任意一點，所以2sin2，即sin2，12sin。所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin。(2)由2sin，得22sin，即x2y22y0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21，則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為1，由直線cos，得：coscossinsin，即xy2，圓心(0,1)到直線xy2的距離為d，所以曲線C2上的點到直線cos距離的最大值為1?！敬鸢浮?1)2sin(2)1反思歸納求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(，)是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程。【變式訓(xùn)練】在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點P，圓心為直線sin與極軸的交點，求圓C的極坐標(biāo)方程。【解析】在sin中，令0，得1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)。如圖所示，因為圓C經(jīng)過點P，所以圓C的半徑PC 1，于是圓C過極點，所以圓C的極坐標(biāo)方程為2cos。【答案】2cos考點四 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用【典例4】(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)。在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos。(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a的值。【解析】(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2(y1)2a2。C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓。將xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin1a20。(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1。a1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上。所以a1?！敬鸢浮?1)C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓C1的極坐標(biāo)方程為22sin1a20(2)a1反思歸納運用極坐標(biāo)方程的幾何意義可求解交點、長度、距離、最值等幾何問題。近幾年高考在這方面加強了使用極坐標(biāo)解決幾何問題的力度?！咀兪接?xùn)練】在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))。以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2sin3，射線OM：與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長?！窘馕觥?1)由題意可得圓C的普通方程為(x1)2y21，又xcos，ysin ，所以圓C的極坐標(biāo)方程為2cos。(2)設(shè)點P(1，1)，由解得設(shè)點Q(2，2)，由解得所以|PQ|2。【答案】(1)2cos(2)|PQ|2微考場新提升1在極坐標(biāo)系(，)(0<2)中，求曲線(cossin)1與(sincos)1的交點的極坐標(biāo)。解析曲線(cossin)1化為直角坐標(biāo)方程為xy1，(sincos)1化為直角坐標(biāo)方程為yx1。聯(lián)立方程組得則交點為(0,1)，對應(yīng)的極坐標(biāo)為。答案2在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1，M，N分別為C與x軸、y軸的交點。(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程。解析(1)由cos1得1。從而C的直角坐標(biāo)方程為xy1，即xy2。當(dāng)0時，2，所以M(2,0)。當(dāng)時，所以N。(2)M點的直角坐標(biāo)為(2,0)。N點的直角坐標(biāo)為。所以P點的直角坐標(biāo)為。則P點的極坐標(biāo)為，所以直線OP的極坐標(biāo)方程為(R)。答案(1)C的直角坐標(biāo)方程為xy2，M(2,0)，N(2)(R)3(2016湖北七市聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2acos(a>0)。(1)求直線l與曲線C1的交點的極坐標(biāo)(，)(0，0<2)；(2)若直線l與C2相切，求a的值。解析(1)曲線C1的普通方程為yx2，x，直線l的直角坐標(biāo)方程為xy2，聯(lián)立，解得或(舍去)。故直線l與曲線C1的交點的直角坐標(biāo)為(1,1)，其極坐標(biāo)為。(2)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22ax2ay0，即(xa)2(ya)22a2(a>0)。由直線l與C2相切，得a，故a1。答案(1)(2)1我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。