模塊綜合試卷(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用題點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)答案D解析z1i，1i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限2曲線ysin xex(其中e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為()A2 B3C. D.考點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)題點(diǎn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的斜率答案A解析ycos xex，ky|x0cos 0e02，故選A.3觀察下列等式：9011,91211,92321,93431，.猜想第n(nN*)個(gè)等式應(yīng)為()A9(n1)n10n9B9(n1)n10n9C9n(n1)10n1D9(n1)(n1)10n10考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用答案B解析注意觀察每一個(gè)等式與n的關(guān)系，易知選項(xiàng)B正確4|sin x|dx等于()A0 B1C2 D4考點(diǎn)分段函數(shù)的定積分題點(diǎn)分段函數(shù)的定積分答案D解析|sin x|dxsin xdx(sin x)dxcos x|cos x|11114.5已知在正三角形ABC中，若D是BC邊的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則2.若把該結(jié)論推廣到空間，則有：在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若三角形BCD的重心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等，則等于()A1 B2C3 D4考點(diǎn)類比推理的應(yīng)用題點(diǎn)平面幾何與立體幾何之間的類比答案C解析由題意知，O為正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心設(shè)正四面體的高為h，由等體積法可求得內(nèi)切球的半徑為h，外接球的半徑為h，所以3.6函數(shù)f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A. B1C0 D1考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值答案D解析由f(x)312x23(12x)(12x)0，解得x，0,1(舍去)當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)在0,1上的極大值為f431.又f(0)0，f(1)1，函數(shù)最大值為1.7若函數(shù)f(x)ax2ln x的圖象上存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(，1)C(0，) D(1，)考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與曲線的切線問(wèn)題題點(diǎn)切線存在性問(wèn)題答案A解析易知f(x)2ax(x>0)若函數(shù)f(x)ax2ln x的圖象上存在垂直于y軸的切線，則2ax0存在大于0的實(shí)數(shù)根，即a<0.8對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與bc及ac中至少有一個(gè)成立；ac，bc，ab不能同時(shí)成立其中判斷正確的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3考點(diǎn)演繹推理的綜合應(yīng)用題點(diǎn)演繹推理在其他方面的應(yīng)用答案B解析若(ab)2(bc)2(ca)20，則abc，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故正確ab與bc及ac中最多只能有一個(gè)成立，故不正確由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個(gè)數(shù)相等或三個(gè)數(shù)都互不相等，故不正確9某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體的無(wú)蓋箱子，其容積為48 m3，高為3 m，如果箱底每平方米的造價(jià)為15元，箱側(cè)面每平方米的造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為()A900元 B840元C818元 D816元考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的最值問(wèn)題題點(diǎn)用料、費(fèi)用最少問(wèn)題答案D解析設(shè)箱底一邊的長(zhǎng)度為x m，箱子的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得l1512224072(x>0)，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)當(dāng)0<x<4時(shí)，l<0；當(dāng)x>4時(shí)，l>0.故當(dāng)x4時(shí)，l有最小值816.因此，當(dāng)箱底是邊長(zhǎng)為4 m的正方形時(shí)，箱子的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為816元故選D.10已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為f(x)，當(dāng)x(，0時(shí)，恒有xf(x)<f(x)，令F(x)xf(x)，則滿足F(3)>F(2x1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()A(1,2) B.C. D(2,1)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)已知函數(shù)值大小求未知數(shù)答案A解析f(x)是奇函數(shù)，不等式xf(x)<f(x)等價(jià)于xf(x)<f(x)即xf(x)f(x)<0，F(xiàn)(x)xf(x)，F(xiàn)(x)xf(x)f(x)，即當(dāng)x(，0時(shí)，F(xiàn)(x)<0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，F(xiàn)(x)xf(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，為增函數(shù)，即不等式F(3)>F(2x1)等價(jià)于F(3)>F(|2x1|)，|2x1|<3，3<2x1<3，得1<x<2，故選A.11若由曲線yx21，直線xy3以及兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的圖形的面積為S，則S等于()A. B. C3 D.考點(diǎn)利用定積分求曲線所圍成圖形面積題點(diǎn)需分割的圖形的面積求解答案D解析由得或所以所求面積為圖中陰影部分的面積所以S(x21)dx(3x)dx1.12已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，則()A當(dāng)k1時(shí)，f(x)在x1處取到極小值B當(dāng)k1時(shí)，f(x)在x1處取到極大值C當(dāng)k2時(shí)，f(x)在x1處取到極小值D當(dāng)k2時(shí)，f(x)在x1處取到極大值考點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值答案C解析當(dāng)k1時(shí)，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的極值點(diǎn)當(dāng)k2時(shí)，f(x)(x1)(xexex2)，顯然f(1)0，且在x1附近的左側(cè)f(x)<0，在x1附近的右側(cè)f(x)>0，f(x)在x1處取到極小值故選C.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13設(shè)z(2i)2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為_(kāi)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用題點(diǎn)利用定義求復(fù)數(shù)的模答案5解析z(2i)234i，所以|z|34i|5.14已知不等式1<0的解集為(1,2)，則dx_.考點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分考點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分答案23ln 3解析由1<0，得a<x<3a，又不等式1<0的解集為(1,2)，解得a1，dxdxx3ln(x1)|23ln 3.15已知函數(shù)f(x)x3ax2x1在(，)上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題點(diǎn)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)答案，解析依題意可知函數(shù)f(x)在(，)上是減函數(shù)，所以f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，則4a2120，解得a.16如圖所示的數(shù)陣中，第20行第2個(gè)數(shù)字是_1考點(diǎn)歸納推理的應(yīng)用題點(diǎn)歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用答案解析設(shè)第n(n2且nN*)行的第2個(gè)數(shù)字為，其中a11，則由數(shù)陣可知an1ann，a20(a20a19)(a19a18)(a2a1)a11918111191，.三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(10分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|，z的虛部為1，且在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第二象限(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若m2mmz2是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念題點(diǎn)由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解(1)設(shè)zabi(a，bR)，則a2b22，b1.因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第二象限，所以a<0，所以a1，b1，所以z1i.(2)由(1)得z1i，所以z2(1i)22i，所以m2mmz2m2m2mi.又因?yàn)閙2mmz2是純虛數(shù)，所以所以m1.18(12分)已知a>5，求證：<.考點(diǎn)分析法及應(yīng)用題點(diǎn)分析法解決不等式問(wèn)題證明要證<，只需證<，即證()2<()2，即證2a52<2a52，只需證<，只需證a25a<a25a6，即證0<6，顯然0<6成立，所以<.19(12分)設(shè)函數(shù)f(x)sin xcos xx1,0<x<2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值考點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問(wèn)題解f(x)cos xsin x1sin1(0<x<2)，令f(x)0，即sin，解得x或x.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如表：x(0，)f(x)00f(x)遞增2遞減遞增所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)和，單調(diào)減區(qū)間為.f(x)極大值f()2，f(x)極小值f.20(12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn1，且an>0，nN*.(1)求a1，a2，a3；(2)猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明考點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題題點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題解(1)a1S11，所以a11.又因?yàn)閍n>0，所以a11.S2a1a21，所以a2.S3a1a2a31，所以a3.(2)由(1)猜想an，nN*.下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：當(dāng)n1時(shí)，由(1)知a11成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，ak成立當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Sk，所以a2ak120，所以ak1，即當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立綜上可知，猜想對(duì)一切nN*都成立21(12分)已知函數(shù)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極值2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)證明對(duì)任意x1，x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|<4恒成立考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題(1)解由奇函數(shù)的定義，應(yīng)有f(x)f(x)，xR，即ax3cxdax3cxd，d0.因此f(x)ax3cx，f(x)3ax2c.由條件f(1)2為f(x)的極值，必有f(1)0.故解得a1，c3.因此f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)，f(1)f(1)0.當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在區(qū)間(，1)上是增函數(shù)；當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在區(qū)間(1,1)上是減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(1，)上是增函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，極大值為f(1)2.(2)證明由(1)知，f(x)x33x(x1,1)是減函數(shù)，且f(x)在1,1上的最大值Mf(1)2，f(x)在1,1上的最小值mf(1)2.對(duì)任意的x1，x2(1,1)，恒有|f(x1)f(x2)|<Mm2(2)4.22(12分)已知函數(shù)f(x)ex2x23x.(1)求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上存在唯一的極值點(diǎn)；(2)當(dāng)x時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)x2(a3)x1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍(1)證明f(x)ex4x3，f(0)e032<0，f(1)e1>0，f(0)f(1)<0.令h(x)f(x)ex4x3，則h(x)ex4>0，f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，f(x)在區(qū)間0,1上存在唯一零點(diǎn)，f(x)在區(qū)間0,1上存在唯一的極小值點(diǎn)(2)解由f(x)x2(a3)x1，得ex2x23xx2(a3)x1，即axexx21，x，a.令g(x)，則g(x).令(x)ex(x1)x21，則(x)x(ex1)x，(x)>0.(x)在上單調(diào)遞增(x)>0.因此g(x)>0，故g(x)在上單調(diào)遞增，則g(x)g2， a的取值范圍是.我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。