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1、 本科生畢業(yè)設計（論文） 正交矩陣與其應用 (The orthogonal matrix and its applicalion) 學 院： 專 業(yè)： 學 號： 學生姓名： 指導教

2、師： 二〇一 年 六 月 17 摘 要 正交矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是正規(guī)矩陣。盡管我們在這里只考慮實數(shù)矩陣，這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，對于復數(shù)的矩陣這導致了歸一要求。要看出與內(nèi)積的聯(lián)系，考慮在n維實數(shù)內(nèi)積空間中的關于正交基寫出的向量。的長度的平方是。如果矩陣形式為 的線性變換保持了向量長度，所以有限維線性等距同構，比如旋轉(zhuǎn)、反射和它們的組合，都產(chǎn)生正交矩陣。反過來也成立:正交矩陣蘊涵了正交變換。但是，線性代數(shù)包括了在既不

3、是有限維的也不是同樣維度的空間之間的正交變換，它們沒有等價的正交矩陣。有多種原由使正交矩陣對理論和實踐是重要的。正交矩陣形成了一個群，即指示為的正交群，它和它的子群廣泛的用在數(shù)學和物理科學中。使得它在不同的領域都有著廣泛的作用,也推動了其它學科的發(fā)展。 本文從以下主要例舉了正交矩陣的三大應用:正交矩陣在線性代數(shù)中的應用、正交矩陣在化學中的應用、正交矩陣在物理中的應用。 關鍵詞: 正交矩陣;酉矩陣;正交群;正交變換 Abstract The orthogonal matrix and its applicalion Orthogo

4、nal matrix is a real specialization of the unitary matrix, it is always normal matrix. Although we here consider only real matrices, this definition can be used from any domain in its matrix elements. Orthogonal matrix , after all, the inner product of the natural leads, and the complex matrix that

5、led to the normalization requirements. To see the link with the inner product, consider the n-dimensional real inner product space to write on the orthogonal basis vector . the length of the square is . If the matrix form of linear transformation maintained vector length, then Therefore finite-dim

6、ensional linear isometry, such as rotation, reflection, and their combination, have generated orthogonal matrix. In turn, set up: orthogonal matrix implies the orthogonal transformation. However, linear algebra, including finite-dimensional in neither the same nor is the dimension of the space betwe

7、en the orthogonal transformation, they are not equivalent orthogonal matrix. There are many Reasons to orthogonal matrix theory and practice is important. orthogonal matrices form a group that is directed to the orthogonal group,which is indicated ,it and its subgroups widely used in mathematics and

8、 physical science. Making it in different areas have broad effect, also contributed to the development of other disciplines This article cites the following main three orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, orthogonal matrix the application of chemistry, orthogonal matr

9、ix the application of physics.. Key words: orthogonal matrix; unitary matrix; orthogonal group; orthogonal transformation 目 錄 1.引言……………………………………………………………………………1 2. 正交矩陣的定義與其基本性 ……………………………………………………………………… 1 2.1正交矩陣的定義與判定 …………………………………………………………………………2 2.2正交矩陣的性質(zhì)與其證明 …………………

10、……………………………………………………3 3. 正交矩陣的應用 ……………………………………………………………………………3 3.1 正交矩陣在線性代數(shù)中的應用………………………………………………………………… 3 3.2正交矩陣在化學中的應用……………………………………………………………………… 8 3.3正交矩陣在物理學中的應用……………………………………………………………………13 參考文獻……………………………………………………………………………………………… 15 致 謝 …………………………………………………………………………………………………16 附 錄 ……

11、……………………………………………………………………………………………16 正交矩陣與其應用 1 引言 正交矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是正規(guī)矩陣。盡管我們在這里只考慮實數(shù)矩陣，這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然引出的，對于復數(shù)的矩陣這導致了歸一要求。要看出與內(nèi)積的聯(lián)系，考慮在n維實數(shù)內(nèi)積空間中的關于正交基寫出的向量。 的長度的平方是。如果矩陣形式為 的線性變換保持了向量長度，所以有限維線性等距同構，比如旋轉(zhuǎn)、反射和它們的組合，都產(chǎn)生正交矩陣。反過來也成立: 正交矩陣蘊涵了正交變換。但是，線性代數(shù)包括了在既不是有限維的也不是同樣維度的空

12、間之間的正交變換，它們沒有等價的正交矩陣。有多種原由使正交矩陣對理論和實踐是重要的。正交矩陣形成了一個群，即指示為 的正交群，它和它的子群廣泛的用在數(shù)學和物理科學中。使得它在不同的領域都有著廣泛的作用,也推動了其它學科的發(fā)展。 本文從以下主要例舉了正交矩陣的三大應用: 正交矩陣在線性代數(shù)中的應用、正交矩陣在化學中的應用、正交矩陣在物理中的應用。 2 正交矩陣的基本知識 2.1正交矩陣的定義與判定 定義2.1：級實數(shù)矩陣滿足（或,或），則稱 為正交矩陣。 判定2.1-1：矩陣是正交矩陣; 判定2.1-2：矩陣是正交矩陣; 判定2.1-3：矩陣是正交矩陣; 備注：判定一個是方陣是否

13、為正交矩陣往往用定義，即（或,或），也可以驗證的行向量或列向量是否是兩兩正交的單位向量。當已知的正交矩陣求證其他的結論時，要用正交矩陣的定義及有關性質(zhì)。 2.2 正交矩陣的性質(zhì) 若是正交矩陣，則有以下性質(zhì)： 性質(zhì)1： ,則可逆,且其逆也為正交矩陣; 性質(zhì)2： ,，也是正交矩陣, 即有 ； 性質(zhì)3： 是正交矩陣； 性質(zhì)4： 是正交矩陣的充分必要條件是； 性質(zhì)5： 若也是正交矩陣, 則,,,,都為正交矩陣。 證明: 性質(zhì)1 顯然, 所以也是正交矩陣。 性質(zhì)2 , 顯然為正交矩陣。 因為, 當時, , 即; 當時。 , 即。 所以為正交矩陣。

14、 性質(zhì)3 由正交矩陣定義2.1與判定2.1-1，顯然，，所以也是正交矩陣。 性質(zhì) 4 是正交矩陣，顯然，即有 由是正交矩陣，，顯然是正交矩陣。 性質(zhì)5 由可知 , 故為正交矩陣。 同理推知,,,均為正交矩陣。 正交矩陣的性質(zhì)主要有以上幾點, 還有例如它的特征值的模為1, 且屬于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩陣可以對角化, 即存在復可逆矩陣, 使 其中為的全部特征值, 即。 這些性質(zhì)證明略。 3 正交矩陣的應用 3.1 正交矩陣在線性代數(shù)中的應用 在線性代數(shù)中我們通

15、常用施密特方法求標準正交基，現(xiàn)在可以用正交矩陣中的一種特殊矩陣求標準正交基---初等旋轉(zhuǎn)矩陣即Givens矩陣。 定義3.1 設向量 則稱n級矩陣 為Givens矩陣或初等旋轉(zhuǎn)矩陣，也可記作。 Givens矩陣在向量下，有以下三個性質(zhì)： 性質(zhì)1 Givens矩陣是正交矩陣； 性質(zhì)2 設則有； 性質(zhì)3 任意矩陣右乘，只改變的第列和列元素; 任意矩陣左乘，只改變的第行和行元素。 證明： 性質(zhì)1 由，則，故是正交矩陣。 性質(zhì)2 由定義知，右乘向量,有

16、 故右乘向量，只改變向量第個和個元素，其他元素不變。 性質(zhì)3 由性質(zhì)2和矩陣乘法即可證得結論即任意矩陣右乘，只改變的第列和列元素; 任意矩陣左乘，只改變的第行和行元素。 引理1 任何階實非奇異矩陣 , 可通過左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三角矩陣, 且其對角線元素除最后一個外都是正的。 定理1 設是階正交矩陣 若, 則可表示成若干個初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積, 即 ; 若, 則可以表示成若干個初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積再右乘以矩陣, 即, 其中是初等旋轉(zhuǎn)矩陣。 （其中） 證明： 由于是階正交矩陣，根據(jù)引理1知存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣使 這里是階上三角陣，而且的對角線上的元素除最后一個外都

17、是正的，所以有 （1） 由是正交矩陣和（1）式得 即 （2） 設 =其中， 則 = 由上式得 所以 　　　　　　　　　　　　　　 （3）

18、 于是由（1）（3）式得 當時，； 當時， 。 記，是初等旋轉(zhuǎn)矩陣，故定理1結論成立。 引理2 設其中是階正交矩陣， 是階上三角陣，是零矩陣。 則由上結論可得以下定理： 定理2 設，則可以通過左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣，把 變?yōu)榈男问?，其中是階上三角陣，是矩陣。 證明：　 由引理2知，其中是階正交矩陣，是階上三角陣，又根據(jù)定理1知： 其中 是Givens矩陣。 (I)當時， (II)當時， 于是有 顯然，是階上三角陣，當時與除最后一行對應元素絕對相等符號相反外，其余元素對應相等。當時時， ， 所以由(I)、(II)知本定理的結論成立。

19、設，，……， 是歐氏空間的子空間的一組基，記 是秩為的的矩陣。 若滿足定理2的條件，則存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣，使　　　　　　　　　　　 （4） 且 所以 　　　　　 （5） 由（4）（5）兩式知，對、做同樣的旋轉(zhuǎn)變換，在把化為的同時，就將化成了，而的前個列向量屬于子空間。 綜上所述可得化歐氏空間的子空間的一組基：為一組標準正交基的方法為： （1）由已知基為列向量構成矩陣； （2）對矩陣施行初等旋轉(zhuǎn)變換，化為，同時就被化為正交矩陣，這里是階上三角陣； （3）取的前個列向量便可得的一組

20、標準正交基。 顯然，上述方法是求子空間的一組標準正交基的另一種方法。 下面，我們通過實例說明此方法的應用。 例求以向量，，為基的向量空間的一組標準正交基. 解 矩陣 對分塊矩陣依次左乘，， ＝,= = 得 = 則，取 ，， 則就是由得到的的一組標準正交基. 3.2正交矩陣在化學中的應用 原子軌道的雜化是在一個原子中不同原子軌道的線性組合。在結構化學原子軌道雜化理論中，原子中能級相近的幾個原子軌道可以相互混合，從而產(chǎn)生新的原子軌道。雜化過程的數(shù)學表達式為，為新的雜化軌道，為參加雜化的舊軌道，為第個雜化軌道中的第個參加雜化

21、軌道的組合系數(shù)。 在雜化過程中，軌道數(shù)是守恒的，并且雜化軌道理論有三條基本原則： （1）雜化軌道的歸一性雜化軌道滿足； （2）雜化軌道的正交性； （3）單位軌道貢獻 每個參加雜化的單位軌道，在所有的新雜化軌道中該軌 道成分之和必須為一個單位，即=1。 由雜化軌道原理，原子軌道的雜化，實際是由一組相互正交的單位基向量，通過線性變換轉(zhuǎn)化成為另一組相互正交的單位基向量。在線性代數(shù)中由一組標準正交基到另一組標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣，那么原子軌道的雜化，就可以轉(zhuǎn)化為求出正交矩陣，作線性替換的過程。 （A）雜化軌道。 以甲烷分子的結構為例，激發(fā)態(tài)碳原子的電子組態(tài)為： ，這樣在形成

22、分子時，激發(fā)態(tài)碳原子的一個2原子軌道和3個原子軌道進行雜化形成4個等同的雜化軌道。設在激發(fā)態(tài)碳原子中四個能量相近的原子軌道、、、是一組相互正交的基向量，再通過線性變換將它們轉(zhuǎn)化成另一組相互正交的基向量、、、，那么線性變換系數(shù)矩陣A必為正交矩陣。 = A為正交矩陣，分別是、、、在四個坐標軸[的分量。在等性雜化中，四個基向量、、、在四個坐標軸上的分量是相等的，即由四個能量相近的原子軌道、、、進行雜化時形成四個等同的雜化軌道，在四個雜化軌道上，原子軌道和成份完全相同。根據(jù)這些理論，我們來求正交矩陣A。

23、 =(取正值) 因為是等性雜化軌道。 =1 =（取正值） 取符合條件的 ，， 即 取 ， 可以寫出四個雜化軌道的雜化軌道式為： （B）雜化軌道 一個和一個原子軌道雜化形成兩個雜化軌道。同樣，線性變換的系數(shù)矩陣是正交矩陣。 根據(jù)等性雜化理論 ， （取正值） 雜化軌道式為： 3.3正交矩

24、陣在物理學中的應用 任意剛體運動都對應一個正交矩陣, 三維空間一條曲線經(jīng)過剛體運動, 其曲率和撓率是不變的, 稱它們?yōu)檫\動不變量。 下面, 我們來考察曲線作剛體運動時的量。 設曲線與曲線只差一個運動, 從曲線到曲線的變換為 (3.3-1) 其中 是三階正交矩陣, 是常數(shù)。 對(3.1-1)兩邊求n階導數(shù)得 從而有 (3.3-2) 因為A是正交矩陣, 所以也有 (3.3-3) 另

25、一方面, 由一階, 二階, 三階導數(shù), 可作成矩陣 兩邊取行列式, 由得 現(xiàn)在取可類似地討論。 因為 (3.3-4) (3.3-5) (3。3-2)代入(3。3-4)的右邊得 （3.3-6） 因(3.3-4)與(3.3-5)右邊相等, 有(3.3-5)右邊與(3.3-6)式右邊相等得 由正交矩陣的性質(zhì)2知, 且由 將上面三式左右分別平方相加 =++ = 寫成矢函數(shù), 即

26、得 于是我們可推得 這里的分別是曲線的曲率與撓率。 例 暫略 參考文獻： 陳景良，陳向暉.《特殊矩陣》.第一版.清華大學出版社，2001年1月.353-360 程云鵬.《矩陣論》.第二版.西北工業(yè)大學出版社，1999年6月.94-99，196-215 周公度，段連運.《機構化學基礎》.第4版.北京大學出版社，2009年5月.79-187 趙成大等《物質(zhì)結構》.人民教育出版社. 1982.9 219-226 劉釗南.《正交矩陣的作用》.湘潭師范學院學報.1987 11-16 劉國志.《歐氏空間子空間的標準正交基的全新方法—Givens變換法》.撫順石油學院學報.1996.3.16卷1期78- 81 張煥玲等《一種求歐氏空間子空間的標準正交基的新方法》山東科學 1996.3.9卷1期 14-16 強元棨，程嫁夫.《力學》上冊.第一版.中國科學技術大學出版社.2005年9月.332-533 陳少白 《空間曲線的剛體運動基不變量》 武漢科技大學學報 2003.12.26卷4期 424-426