33.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)生活中的優(yōu)化問(wèn)題1生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題2利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值3解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程1生活中常見(jiàn)到的收益最高、用料最省等問(wèn)題就是數(shù)學(xué)中的最大、最小值問(wèn)題()2解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型()題型一幾何中的最值問(wèn)題例1請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AEFBxcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x應(yīng)取何值？(2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)幾何體體積的最值問(wèn)題解(1)由題意知包裝盒的底面邊長(zhǎng)為xcm，高為(30x)cm,0<x<30，所以包裝盒側(cè)面積為S4x(30x)8x(30x)828225，當(dāng)且僅當(dāng)x30x，即x15時(shí)，等號(hào)成立，所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x15.(2)包裝盒容積V2x2(30x)2x360x2(0<x<30)，所以V6x2120x6x(x20)令V>0，得0<x<20；令V<0，得20<x<30.所以當(dāng)x20時(shí)，包裝盒容積V取得最大值，此時(shí)包裝盒的底面邊長(zhǎng)為20 cm，高為10cm，包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為12.反思感悟面積、體積(容積)最大，周長(zhǎng)最短，距離最小等實(shí)際幾何問(wèn)題，求解時(shí)先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?，將待求解最值的?wèn)題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗(yàn)特別注意：在列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要注意實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域跟蹤訓(xùn)練1現(xiàn)需設(shè)計(jì)某次期中考試的數(shù)學(xué)試卷，該試卷含有大小相等的兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為720cm2，四周空白的寬度為4cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為2cm，設(shè)試卷的長(zhǎng)和寬分別為xcm，ycm.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求該函數(shù)的定義域；(2)如何確定該試卷長(zhǎng)與寬的尺寸(單位：cm)，才能使試卷的面積最??？考點(diǎn)題點(diǎn)解由題意知試卷的長(zhǎng)和寬分別為xcm，ycm，則每欄的長(zhǎng)和寬分別為，y8，其中x>10，y>8.(1)兩欄面積之和為2(y8)720，由此得y8(x>10)(2)試卷的面積Sxyx，S8，令S0，得x40(負(fù)數(shù)舍去)，函數(shù)在(10,40)上單調(diào)遞減，在(40，)上單調(diào)遞增，當(dāng)x40時(shí)，S取得最小值，故當(dāng)試卷的長(zhǎng)為40cm，寬為32cm時(shí)，可使試卷的面積最小題型二實(shí)際生活中的最值問(wèn)題命題角度1利潤(rùn)最大問(wèn)題例2某工廠共有10臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4x12)之間滿足關(guān)系：P0.1x23.2lnx3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元(利潤(rùn)盈利虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù)；(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題解(1)由題意得，所獲得的利潤(rùn)為y102(xP)P20x3x296lnx90(4x12)(2)由(1)知，y，當(dāng)4x6時(shí)，y0，函數(shù)在4,6上為增函數(shù)；當(dāng)6x12時(shí)，y0，函數(shù)在6,12上為減函數(shù)，所以當(dāng)x6時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大利潤(rùn)為y20636296ln69096ln678(萬(wàn)元)反思感悟解決此類有關(guān)利潤(rùn)的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，常見(jiàn)的基本等量關(guān)系有：(1)利潤(rùn)收入成本(2)利潤(rùn)每件產(chǎn)品的利潤(rùn)銷售件數(shù)跟蹤訓(xùn)練2某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題解(1)因?yàn)楫?dāng)x5時(shí)，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.從而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)極大值42由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)所以當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值為42.答當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大命題角度2用料(費(fèi)用)最省問(wèn)題例3某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場(chǎng)數(shù)塊，用128萬(wàn)元購(gòu)買土地10000平方米，該中心每塊球場(chǎng)的建設(shè)面積為1000平方米，球場(chǎng)的總建筑面積的每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用與球場(chǎng)數(shù)有關(guān)，當(dāng)該中心建球場(chǎng)x塊時(shí)，每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用(單位：元)可近似地用f(x)800來(lái)刻畫為了使該球場(chǎng)每平方米的綜合費(fèi)用最省(綜合費(fèi)用是建設(shè)費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和)，該網(wǎng)球中心應(yīng)建幾個(gè)球場(chǎng)？考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題解設(shè)建成x個(gè)球場(chǎng)，則1x10，且xZ，每平方米的購(gòu)地費(fèi)用為(元)，因?yàn)槊科椒矫椎钠骄ㄔO(shè)費(fèi)用(單位：元)可近似地用f(x)800來(lái)表示，所以每平方米的綜合費(fèi)用為g(x)f(x)800160lnx(1x10且xZ)，所以g(x)(1x10且xZ)，令g(x)0，得x8，當(dāng)1x<8時(shí)，g(x)<0，g(x)為減函數(shù)；當(dāng)8<x10時(shí)，g(x)>0，g(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x8時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值故當(dāng)建成8個(gè)球場(chǎng)時(shí)，每平方米的綜合費(fèi)用最省反思感悟費(fèi)用、用料最省問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，解決這類問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答跟蹤訓(xùn)練3為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題解(1)由題意知，每年的能源消耗費(fèi)用為C(x)(0x10)，且C(0)8，故k40，所以C(x)(0x10)設(shè)建造費(fèi)用為C1(x)，則C1(x)6x.所以f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)因?yàn)閒(x)6x(0x10)，所以f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5(負(fù)值舍去)當(dāng)0x<5時(shí)，f(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)5<x10時(shí)，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)故x5是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)6570.故當(dāng)隔熱層修建厚度為5cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元損耗最少問(wèn)題典例已知A，B兩地相距200千米，一艘船從A地逆水而行到B地，水速為8千米/時(shí)，船在靜水中的速度為v千米/時(shí)(8<vv0，v0為常數(shù))若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v12時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，為了使全程燃料費(fèi)最省，船在靜水的速度為多少？考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為y1元，比例系數(shù)為k(k>0)，則y1kv2.當(dāng)v12時(shí)，y1720，720k122，得k5.設(shè)全程燃料費(fèi)為y元，由題意，得yy1(8<vv0)，y.令y0，解得v16.若v016，當(dāng)v(8,16)時(shí)，y<0，y為減函數(shù)；當(dāng)v(16，v0時(shí)，y>0，y為增函數(shù)故當(dāng)v16時(shí)，y取得極小值，也是最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最省若v0<16，當(dāng)v(8，v0時(shí)，y<0，y在(8，v0上為減函數(shù)故當(dāng)vv0時(shí)，y取得最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最省綜上可得，若v016，則當(dāng)v16千米/時(shí)時(shí)，全程燃料費(fèi)最??；若v0<16，則當(dāng)vv0時(shí)，全程燃料費(fèi)最省素養(yǎng)評(píng)析(1)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，要先找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化、形式化、抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再化歸為常規(guī)問(wèn)題，最后選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解(2)確定函數(shù)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的要求較高，有利于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升1煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是()A8B.C1D8考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)函數(shù)類型的其他問(wèn)題答案C解析原油溫度的瞬時(shí)變化率為f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以當(dāng)x1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值1.2用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為21，則該長(zhǎng)方體的最大體積為()A2m3B3m3C4m3D5m3考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)幾何體體積的最值問(wèn)題答案B解析設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，高為h3x(m)，故長(zhǎng)方體的體積為V(x)2x29x26x3，從而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去)當(dāng)0<x<1時(shí)，V(x)>0；當(dāng)1<x<時(shí)，V(x)<0，故在x1處V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值，從而最大體積VV(1)9126133(m3)3某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)品x(千臺(tái))的函數(shù)，y117x2(x>0)；生產(chǎn)總成本y2(萬(wàn)元)也是x(千臺(tái))的函數(shù)，y22x3x2(x>0)，為使利潤(rùn)最大，則應(yīng)生產(chǎn)()A9千臺(tái)B8千臺(tái)C6千臺(tái)D3千臺(tái)考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題答案C解析利潤(rùn)yy1y217x2(2x3x2)18x22x3(x>0)，求導(dǎo)得y36x6x2，令y0，得x6或x0(舍去)所以當(dāng)生產(chǎn)6千臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大4容積為256的方底無(wú)蓋水箱，它的高為時(shí)最省材料考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題答案4解析設(shè)水箱高為h，底面邊長(zhǎng)為a，則a2h256，其表面積為Sa24aha24aa2.令S2a0，得a8.當(dāng)0<a<8時(shí)，S<0；當(dāng)a>8時(shí)，S>0，故當(dāng)a8時(shí)，S最小，此時(shí)h4.5某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0x21)的平方成正比已知當(dāng)商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期多賣出24件(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題解(1)設(shè)商品降價(jià)x元，則每星期多賣的商品數(shù)為kx2.若記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x)，則有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)由已知條件，得24k22，于是k6.所以f(x)6x3126x2432x9072，x0,21(2)由(1)得f(x)18x2252x43218(x2)(x12)當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)極小值極大值故當(dāng)x12時(shí)，f(x)取得極大值因?yàn)閒(0)9072，f(12)11664.所以當(dāng)定價(jià)為301218(元)時(shí)，才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大1利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值2正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問(wèn)題的主要思路另外需要特別注意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系；(3)必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.一、選擇題1已知某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為yx336x126，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A11萬(wàn)件B9萬(wàn)件C7萬(wàn)件D6萬(wàn)件考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題答案D解析由yx2360，解得x6或x6(舍去)當(dāng)0<x<6時(shí)，y>0；當(dāng)x>6時(shí)，y<0，在x6時(shí)y取最大值2將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方和最小，那么這兩個(gè)數(shù)為()A2,6B4,4C3,5D以上都不對(duì)考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)函數(shù)類型的其他問(wèn)題答案B解析設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8x，其立方和為yx3(8x)3512192x24x2(0x8)，則y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.當(dāng)0x<4時(shí)，y<0；當(dāng)4<x8時(shí)，y>0，所以當(dāng)x4時(shí)，y取得極小值，也是最小值所以這兩個(gè)數(shù)為4,4.3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A150B200C250D300考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題答案D解析由題意得，總利潤(rùn)P(x)P(x)令P(x)0，得x300，當(dāng)0<x<300時(shí)，P(x)>0，當(dāng)300<x<390時(shí)，P(x)<0，又P(300)40000>P(390)31090.故選D.4某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每1m2的造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為()A900元B840元C818元D816元考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題答案D解析設(shè)箱底一邊的長(zhǎng)度為xm，箱子的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意得箱底面積為16(m2)，則箱底另一邊的長(zhǎng)度為m，所以l16151224072，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)當(dāng)0<x<4時(shí)，l<0；當(dāng)x>4時(shí)，l>0.故當(dāng)x4時(shí)，l取得極小值，也就是最小值，為816.因此，當(dāng)箱底是邊長(zhǎng)為4m的正方形時(shí)，箱子的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為816元5若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時(shí)底面邊長(zhǎng)為()A.B.C.D2考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)面積的最值問(wèn)題答案C解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則表面積Sx2V(x>0)，S(x34V)令S0，得x.可判斷得當(dāng)x時(shí)，直棱柱的表面積最小6在三棱錐OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，則三棱錐OABC體積的最大值為()A4B8C.D.考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)幾何體體積的最值問(wèn)題答案C解析Vy(0<x<3)，V2xx2x(2x)令V0，得x2或x0(舍去)所以當(dāng)x2時(shí)，V取極大值且為最大值，最大值為.7某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x等于()A20噸B40噸C60噸D80噸考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)該公司一年內(nèi)總共購(gòu)買n次貨物，則n，總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函數(shù)f(x)的最小值點(diǎn)，故當(dāng)x20時(shí)，f(x)最小8某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q8300170pp2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)銷售收入進(jìn)貨支出)()A60元B30元C28000元D23000元考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題答案D解析由題意知，毛利潤(rùn)等于銷售額減去成本，即L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2)(p20)p3150p211700p166000，所以L(p)3p2300p11700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此時(shí)，L(30)23000.因?yàn)樵趐30附近的左側(cè)L(p)>0，右側(cè)L(p)<0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知，L(30)是最大值二、填空題9用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為cm.考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)幾何體體積的最值問(wèn)題答案8解析設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，鐵盒的體積為Vcm3，則鐵盒的底面邊長(zhǎng)為(482x) cm，由題意，得Vx(482x)2(0<x<24)，V12x2384x230412(x232x192)，令V0，得x8或x24(舍去)，當(dāng)x8時(shí)，V取極大值，這個(gè)極大值就是最大值故當(dāng)截去的正方形的邊長(zhǎng)為8cm時(shí)，所做的鐵盒容積最大10某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)1200x3，產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，則產(chǎn)量應(yīng)定為件考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題答案25解析設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元，產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2xk，由題意知k250000，則a2x250000，所以a.總利潤(rùn)y500x31200(x>0)，yx2.由y0，得x25，當(dāng)x(0,25)時(shí)，y>0；當(dāng)x(25，)時(shí)，y<0，所以當(dāng)x25時(shí)，y取最大值11統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為yx8，x(0,120，且甲、乙兩地相距100千米，則當(dāng)汽車以千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油量最少考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題答案80解析當(dāng)速度為x千米/時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為y升，由題意，得y(0<x120)，則y(0<x120)，令y0，得x80，當(dāng)x(0,80)時(shí)，y<0，該函數(shù)遞減；當(dāng)x(80,120)時(shí)，y>0，該函數(shù)遞增，故當(dāng)x80時(shí)，y取得最小值三、解答題12某單位用3240萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少15層、每層3000平方米的樓房經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x15)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為840kx(單位：元)已知樓房建為15層時(shí)，每平方米的平均建筑費(fèi)用為1245元(1)求k的值(2)當(dāng)樓房建為多少層時(shí)，樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？(注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用)考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)由題意可得84015k1245，解得k27.(2)設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)，則f(x)(84027x)84027x(x15且xN)，f(x)27，令f(x)0，得x20，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x15,20)20(20，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)x20時(shí)，f(x)有最小值答為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為20層13已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)(1)求年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，并求出最大值考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題解(1)當(dāng)0<x10時(shí)，WxR(x)(102.7x)8.1x10，當(dāng)x>10時(shí)，WxR(x)(102.7x)982.7x，所以W(2)當(dāng)0<x10時(shí)，由W8.10，得x9.當(dāng)x(0,9)時(shí)，W>0；當(dāng)x(9,10時(shí)，W<0.所以當(dāng)x9時(shí)，W取得最大值，即Wmax8.19931038.6.當(dāng)x>10時(shí)，W9898238，當(dāng)且僅當(dāng)2.7x，即x時(shí)，W取得最大值38.綜合知，當(dāng)x9千件時(shí)，W取得最大值38.6萬(wàn)元答當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為38.6萬(wàn)元14某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去設(shè)存款利率為x，x(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A0.0162B0.0324C0.0243D0.0486考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤(rùn)問(wèn)題答案B解析由題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x(0,0.0486)所以銀行的收益是y0.0486kx2kx3(0<x<0.0486)，則y0.0972kx3kx2(0<x<0.0486)令y0，得x0.0324或x0(舍去)當(dāng)0<x<0.0324時(shí)，y>0；當(dāng)0.0324<x<0.0486時(shí)，y<0.所以當(dāng)x0.0324時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.0324時(shí)，銀行獲得最大收益15.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱體部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球體部分每平方米建造費(fèi)用為4千元設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；(2)確定r和l為何值時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最少，并求出最少建造費(fèi)用考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問(wèn)題解(1)因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，所以r2l，解得l.所以圓柱的側(cè)面積為2rl2r，兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4r2，所以y34r248r2.又l>0r<2，所以定義域?yàn)?0,2)(2)因?yàn)閥16r，所以令y>0，得2<r<2；令y<0，得0<r<2.所以當(dāng)r2時(shí)，該容器的建造費(fèi)用最少，為96千元，此時(shí)l.