31.1函數(shù)的平均變化率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平均變化率的意義.2.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的平均變化率1函數(shù)的平均變化率的定義已知函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0及其附近有定義，令xxx0；yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)則當(dāng)x0，比值叫做函數(shù)yf(x)在x0到x0x之間的平均變化率2平均變化率的實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比3作用：刻畫函數(shù)在區(qū)間x0，x0x上變化的快慢4幾何意義：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函數(shù)yf(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率表示割線P1P2的斜率1在平均變化率的定義中，自變量x的增量x0.()2對(duì)于函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2內(nèi)的平均變化率也可以表示為.()3.是f(x)在區(qū)間x0，x0x(x0)上的平均變化率，也可以說是f(x)在xx0處的變化率()題型一函數(shù)的平均變化率命題角度1求函數(shù)的平均變化率例1求函數(shù)f(x)x2在x1,2,3附近的平均變化率，取x的值為，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？考點(diǎn)題點(diǎn)解在x1附近的平均變化率為k12x；在x2附近的平均變化率為k24x；在x3附近的平均變化率為k36x.若x，則k12，k24，k36，由于k1<k2<k3，故在x3附近的平均變化率最大反思感悟求平均變化率的主要步驟(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)(2)再計(jì)算自變量的改變量xx2x1.(3)得平均變化率.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)x22x5的圖象上的一點(diǎn)A(1，6)及鄰近一點(diǎn)B(1x，6y)，則_.考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)求平均變化率答案x解析x.命題角度2平均變化率的幾何意義例2過曲線yf(x)x2x上的兩點(diǎn)P(1,0)和Q(1x，y)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2，求x的值考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x)從1到1x的平均變化率.yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(121)x(x)2，割線PQ的斜率k1x.又割線PQ的斜率為2，1x2，x1.反思感悟函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率的實(shí)質(zhì)是函數(shù)yf(x)圖象上兩點(diǎn)P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)連線P1P2的斜率，即kP1P2.跟蹤訓(xùn)練2(1)甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，則在0，t0這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人的平均速度v甲，v乙的關(guān)系是()Av甲>v乙Bv甲<v乙Cv甲v乙D大小關(guān)系不確定(2)過曲線yf(x)圖象上一點(diǎn)(2，2)及鄰近一點(diǎn)(2x，2y)作割線，則當(dāng)x0.5時(shí)割線的斜率為_考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用答案(1)B(2)解析(1)設(shè)直線AC，BC的斜率分別為kAC，kBC，由平均變化率的幾何意義知，s1(t)在0，t0上的平均變化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均變化率v乙kBC.因?yàn)閗AC<kBC，所以v甲<v乙(2)當(dāng)x0.5時(shí)，2x2.5，故2y，故k.題型二求物體的平均速度例3一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s(t)t21，求該質(zhì)點(diǎn)在t1,2,3附近，t時(shí)，平均速度的值，并比較在哪一時(shí)刻附近的平均速度最大解s(t)在t0到t0t之間的位移增量為s(t0t)s(t0)(t0t)21(t1)2t0t(t)2，2t0t，將t01,2,3，t分別代入上式得，當(dāng)t01時(shí)，平均速度；當(dāng)t02時(shí)，平均速度；當(dāng)t03時(shí)，平均速度.由上面的計(jì)算知，t3附近的平均速度最大引申探究若該質(zhì)點(diǎn)在2到2t之間的平均速度不大于5，則t(t0)的取值范圍是什么？解s(t)在t0到t0t之間的位移增量為s(t0t)s(t0)(t0t)21(t1)2t0t(t)2.2t0t.當(dāng)t02時(shí)，由題意，得4t5，得t1.又因?yàn)閠0，故t的取值范圍是(0,1反思感悟已知物體的運(yùn)動(dòng)方程，即知道物體運(yùn)動(dòng)過程中位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求其在t0，t0t內(nèi)的平均速度，根據(jù)平均速度的意義可知就是求這個(gè)函數(shù)在t0，t0t內(nèi)的平均變化率跟蹤訓(xùn)練3動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為x10t5t2，式中t表示時(shí)間(單位：s)，x表示距離(單位：m)，求在20t20t時(shí)間段內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的平均速度，其中(1)t1；(2)t0.1；(3)t0.01.解動(dòng)點(diǎn)在20t20t時(shí)間段內(nèi)的平均速度為5t210，(1)當(dāng)t1時(shí)，51210215(m/s)(2)當(dāng)t0.1時(shí)，50.1210210.5(m/s)(3)當(dāng)t0.01時(shí)，50.01210210.05(m/s)1一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s32t，則在2,2.1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是()A0.4B2C0.3D0.2答案B解析2.2如圖，函數(shù)yf(x)在1到3之間的平均變化率為()A1B1C2D2答案B解析1.3在曲線yf(x)x22的圖象上取一點(diǎn)(2,6)及鄰近一點(diǎn)(2x,6y)，則為()Ax4Bx4Cx4D4x答案C解析x4.4將半徑為R的球加熱，若半徑從R1到Rm時(shí)球的體積膨脹率為，則m的值為_答案2解析Vm313(m31)，.m2m17，m2或m3(舍)理解平均變化率要注意以下幾點(diǎn)：(1)平均變化率表示點(diǎn)(x1，f(x1)與點(diǎn)(x2，f(x2)連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”(2)為求點(diǎn)x0附近的平均變化率，上述表達(dá)式常寫為的形式(3)函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢(shì)自變量的改變量x取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況一、選擇題1如果質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s3t2運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間2，2.1內(nèi)的平均速度是()A4B4.1C0.41D3答案B解析4.1.2.甲、乙兩廠污水的排放量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，則治污效果較好的是()A甲B乙C相同D不確定答案B解析在t0處，雖然W1(t0)W2(t0)，但是在t0t處，W1(t0t)<W2(t0t)，即<，所以在相同時(shí)間t內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率小所以乙廠的治污效果較好3已知函數(shù)f(x)2x21的圖象上一點(diǎn)(1,1)及附近一點(diǎn)(1x，f(1x)，則等于()A4B42xC42(x)2D4x答案B解析yf(1x)f(1)2(1x)2114x2(x)2，42x.4函數(shù)yf(x)在x0到x0x之間的平均變化率中，x不可能()A大于0B小于0C等于0D大于0或小于0答案C5函數(shù)yf(x)x2x在x1到x1x之間的平均變化率為()Ax2B2x(x)2Cx3D3x(x)2答案C解析x3.6函數(shù)f(x)x2在x0到x0x之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是()Ak1k2Bk1k2Ck1k2D無法確定答案D解析k12x0x，k22x0x.又因?yàn)閤可正可負(fù)且不為0，所以k1，k2的大小關(guān)系不確定二、填空題7.汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，則三者的大小關(guān)系為_(用“”連接)答案1<2<3解析1kOA，2kAB，3kBC，由圖象知，kOA<kAB<kBC.8函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率為2，則t_.答案5解析函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率是2，即t2t62t4，所以t23t100，解得t5或t2(舍去)所以當(dāng)函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間2，t上的平均變化率是2時(shí)，t的值是5.9在曲線y2x21的圖象上取一點(diǎn)(1,3)及鄰近一點(diǎn)(1x,3y)，則_.答案2x4解析2x4.10已知圓的面積S與其半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為Sr2，其中r(0，)，則當(dāng)半徑r1,1r時(shí)，圓的面積S的平均變化率為_答案2r解析當(dāng)r1,1r時(shí)，圓的面積S的平均變化率為2r.三、解答題11過曲線yf(x)x32x上兩點(diǎn)P(1,3)和Q(1x，3y)作曲線的割線，求出當(dāng)x0.2時(shí)割線的斜率解由條件可知，當(dāng)x0.2時(shí)，kPQ(x)23x50.2230.255.64.故當(dāng)x0.2時(shí)，割線的斜率為5.64.12若函數(shù)f(x)2x2x在1,1x(x>0)上的平均變化率不大于1，求x的取值范圍考點(diǎn)平均變化率的概念題點(diǎn)平均變化率的應(yīng)用解函數(shù)f(x)在1,1x上的平均變化率為32x由32x1，得x1.又x>0，x的取值范圍是(0，)13以初速度v0豎直向上拋一物體的位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s(t)v0tgt2(g為物體的重力加速度)(1)求物體從時(shí)刻t0到時(shí)刻t0t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2)求物體在t10s到10.4s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度解(1)由t0到t0t，則改變量為t.因?yàn)閟s(t0t)s(t0)v0(t0t)g(t0t)2v0t0gtv0tgt0tg(t)2，所以v0gt0gt.(2)當(dāng)t010s，t0.4s時(shí)，則物體在t10s到10.4s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度v010gg0.4v010.2g.14嬰兒從出生到第24個(gè)月的體重變化如圖，則第二年嬰兒體重的平均變化率為_千克/月答案0.25解析第二年嬰兒體重的平均變化率為0.25(千克/月)15若函數(shù)yf(x)x2x在2,2x(x>0)上的平均變化率不大于1，求x的取值范圍解函數(shù)f(x)在2,2x上的平均變化率為3x，由3x1，得x2.又x>0，x的取值范圍是(0，).