第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路.2.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè).3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)an.知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1定義：對(duì)于數(shù)列an，一般地，稱a1a2a3an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和2表示：常用符號(hào)Sn表示，即Sna1a2a3an.知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式SnSnna1d知識(shí)點(diǎn)三a1，d，n，an，Sn知三求二1在等差數(shù)列an中，ana1(n1)d，Sn或Snna1d.兩個(gè)公式共涉及a1，d，n，an及Sn五個(gè)基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)和前n項(xiàng)和2依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量，即“知三求二”知識(shí)點(diǎn)四數(shù)列中an與Sn的關(guān)系對(duì)于一般數(shù)列an，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則有an特別提醒：(1)這一關(guān)系對(duì)任何數(shù)列都適用(2)若在由anSnSn1(n2)求得的通項(xiàng)公式中，令n1求得a1與利用a1S1求得的a1相同，則說明anSnSn1(n2)所得通項(xiàng)公式也適合n1的情況，數(shù)列的通項(xiàng)公式用anSnSn1表示若在由anSnSn1(n2)求得的通項(xiàng)公式中，令n1求得的a1與利用a1S1求得的a1不相同，則說明anSnSn1(n2)所得通項(xiàng)公式不適合n1的情況，數(shù)列的通項(xiàng)公式采用分段形式1若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S1a1.()2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則anSnSn1，nN.()3等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加法()4123100.()題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算例1在等差數(shù)列an中：(1)已知a5a1058，a4a950，求S10；(2)已知S742，Sn510，an345，求n.解(1)方法一由已知條件得解得S1010a1d1034210.方法二由已知條件得a1a1042，S10542210.(2)S77a442，a46.Sn510.n20.反思感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時(shí)，要注意方程思想和整體思想的運(yùn)用(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解由得解方程組得或題型二由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn求an例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解根據(jù)Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n2，nN)，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2n2n，當(dāng)n1時(shí)，a1S1121，也滿足式數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n，nN.an1an2(n1)2，故數(shù)列an是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列引申探究若將本例中前n項(xiàng)和改為Snn2n1，求通項(xiàng)公式解當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n.當(dāng)n1時(shí)，a1S1121不符合式an反思感悟已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n1時(shí)，a1S1求得a1，再由n2時(shí)，anSnSn1求得an，最后驗(yàn)證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示，不符合則分段表示跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n，求an.解當(dāng)n1時(shí)，a1S13；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn-13n3n-123n-1.當(dāng)n1時(shí)，代入an23n-1得a123.an題型三等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用例3某人用分期付款的方式購(gòu)買一件家電，價(jià)格為1150元，購(gòu)買當(dāng)天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢？解設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2，a20，則a15010001%60，a250(100050)1%59.5，a1050(1000950)1%55.5，即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元由于an是以60為首項(xiàng)，以0.5為公差的等差數(shù)列，所以有S20201105，即全部付清后實(shí)際付款11051501255(元)反思感悟建立等差數(shù)列的模型時(shí)，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.(1)甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)每分鐘走5m，那么開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇？解(1)設(shè)n分鐘后兩人第1次相遇，由題意，得2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去)所以第1次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘(2)設(shè)n分鐘后第2次相遇，由題意，得2n5n370，整理得n213n4200.解得n15，n28(舍去)所以第2次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后15分鐘.1已知等差數(shù)列an滿足a11，am99，d2，則其前m項(xiàng)和Sm等于()A2300B2400C2600D2500答案D解析由ama1(m1)d，得991(m1)2，解得m50，所以S5050122500.2記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S24，S420，則該數(shù)列的公差d等于()A2B3C6D7答案B解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a1010，則S19_.答案190解析S1919a101910190.4已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和若S420，a48，則S8_.答案72解析設(shè)an的公差為d，則由解得a1d2，S882272.5已知數(shù)列an滿足a12a2nann(n1)(n2)，則an_.答案3(n1)(nN)解析由a12a2nann(n1)(n2)，當(dāng)n2，nN時(shí)，得a12a2(n1)an1(n1)n(n1)，得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)(n1)3n(n1)，an3(n1)(n2，nN)又當(dāng)n1時(shí)，a11236也適合上式，an3(n1)，nN.1求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到2等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個(gè)量若已知其中三個(gè)量，通過方程思想可求另外兩個(gè)量在利用求和公式時(shí)，要注意整體思想的應(yīng)用，注意下面結(jié)論的運(yùn)用：若mnpq，則amanapaq(n，m，p，qN)；若mn2p，則aman2ap(m，n，pN)3由Sn與an的關(guān)系求an主要使用an一、選擇題1在等差數(shù)列an中，若a2a88，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和S9等于()A18B27C36D45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.2在20與40之間插入8個(gè)數(shù)，使這10個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這10個(gè)數(shù)的和為()A200B100C90D70答案B解析S10100.3已知數(shù)列an中，a11，anan-1(n2，nN)，則數(shù)列an的前9項(xiàng)和等于()A27B.C45D9答案A解析由已知數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，S99191827.4在等差數(shù)列an和bn中，a125，b175，a100b100100，則數(shù)列anbn的前100項(xiàng)的和為()A10000B8000C9000D11000答案A解析由已知得anbn為等差數(shù)列，故其前100項(xiàng)的和為S10050(2575100)10000.5在等差數(shù)列an中，若S104S5，則等于()A.B2C.D4答案A解析由題意得10a1109d4，10a145d20a140d，10a15d，.6在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A765B665C763D663答案B解析a12，d7，2(n1)7<100，n<15，n14，S1414214137665.7在等差數(shù)列an中，aa2a3a89，且an<0，則S10等于()A9B11C13D15答案D解析由aa2a3a89，得(a3a8)29，an<0，a3a83，S1015.8已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n(nN)，則a2a18等于()A36B35C34D33答案C解析方法一a2S2S1(2222)(1221)1，a18S18S17182218(172217)33.a2a1834.方法二易知an為等差數(shù)列a2a18a1a19，S19192219，a1a1934，即a2a1834.二、填空題9在等差數(shù)列an中，an2n3，nN，前n項(xiàng)和Snan2bnc(a，b，c為常數(shù))，則abc_.答案3解析因?yàn)閍n2n3，所以a15，Snn24n，與Snan2bnc比較，得a1，b4，c0，所以abc3.10已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a200，且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過原點(diǎn)O)，則S200_.答案100解因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過原點(diǎn)O)，所以a1a2001，所以S200100.11設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S33，S624，則a9_.答案15解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18215.三、解答題12在等差數(shù)列an中，(1)已知a610，S55，求a8；(2)已知a2a4，求S5.解(1)方法一a610，S55，解得a8a62d16.方法二S6S5a615，15，即3(a110)15.a15，d3.a8a62d16.(2)方法一a2a4a1da13d，a12d.S55a110d5(a12d)524.方法二a2a4a1a5，a1a5，S524.13已知數(shù)列an的所有項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且Snaan(nN)(1)證明：an是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明當(dāng)n1時(shí)，a1S1aa1，解得a13或a11(舍去)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn-1(a2an3)(a2an13)所以4anaa2an2an-1，即(anan1)(anan12)0.因?yàn)閍nan-1>0，所以anan-12(n2)所以數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知an32(n1)2n1，nN.14現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為_答案10解析鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個(gè)鋼管總數(shù)為123n.當(dāng)n19時(shí)，S19190.當(dāng)n20時(shí)，S20210>200.當(dāng)n19時(shí)，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根15已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a3a4117，a2a522.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，且bn，求非零常數(shù)c.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d>0.a3a4a2a522，又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的兩個(gè)根又公差d>0，a3<a4，a39，a413.an4n3，nN.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn.b1，b2，b3.bn是等差數(shù)列，2b2b1b3，2c2c0，c (c0舍去)經(jīng)檢驗(yàn)，c符合題意，c.