2.4.1拋物線的標準方程學習目標1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念.2.掌握拋物線的標準方程及其推導.3.明確拋物線標準方程中p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題知識點一拋物線的定義1平面內與一個定點F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線2定義的實質可歸納為“一動三定”：一個動點，設為M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于11)知識點二拋物線的標準方程由于拋物線焦點位置不同，方程也就不同，故拋物線的標準方程有以下幾種形式：y22px(p>0)，y22px(p>0)，x22py(p>0)，x22py(p>0)現(xiàn)將這四種拋物線對應的圖形、標準方程、焦點坐標及準線方程列表如下：圖形標準方程焦點坐標準線方程y22px(p>0)xy22px(p>0)xx22py(p>0)yx22py(p>0)y1到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線()2拋物線標準方程中的p表示焦點到準線的距離()3拋物線的方程都是二次函數(shù)()4拋物線的開口方向由一次項確定()題型一求拋物線的標準方程例1分別求符合下列條件的拋物線的標準方程(1)經過點(3，1)；(2)焦點為直線3x4y120與坐標軸的交點考點拋物線的標準方程題點求拋物線的方程解(1)因為點(3，1)在第三象限，所以設所求拋物線的標準方程為y22px(p>0)或x22py(p>0)若拋物線的標準方程為y22px(p>0)，則由(1)22p(3)，解得p；若拋物線的標準方程為x22py(p>0)，則由(3)22p(1)，解得p.故所求拋物線的標準方程為y2x或x29y.(2)對于直線方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，所以拋物線的焦點為(0，3)或(4,0)當焦點為(0，3)時，3，所以p6，此時拋物線的標準方程為x212y；當焦點為(4,0)時，4，所以p8，此時拋物線的標準方程為y216x.故所求拋物線的標準方程為x212y或y216x.反思感悟用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟注意：當拋物線的類型沒有確定時，可設方程為y2mx(m0)或x2ny(n0)，這樣可以減少討論情況的個數(shù)跟蹤訓練1根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程：(1)準線方程為y；(2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5.考點拋物線的標準方程題點求拋物線的方程解(1)易知拋物線的準線交y軸于正半軸，且，則p，故所求拋物線的標準方程為x2y.(2)已知拋物線的焦點在y軸上，可設方程為x22my(m0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|5，m5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x210y和x210y.題型二拋物線定義的應用命題角度1利用拋物線定義求軌跡(方程)例2已知動圓M與直線y2相切，且與定圓C：x2(y3)21外切，求動圓圓心M的軌跡方程考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應用解設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，3)的距離與到直線y3的距離相等由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C(0，3)為焦點，以y3為準線的一條拋物線，其方程為x212y.反思感悟解決軌跡為拋物線問題的方法拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法直接求解，也可以先將條件轉化，再利用拋物線的定義求解后者的關鍵是找到滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離且定點不在定直線上的條件，有時需要依據(jù)已知條件進行轉化才能得到滿足拋物線定義的條件跟蹤訓練2已知動圓M經過點A(3,0)，且與直線l：x3相切，求動圓圓心M的軌跡方程考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應用解設動點M(x，y)，M與直線l：x3的切點為N，則|MA|MN|，即動點M到定點A(3,0)和定直線l：x3的距離相等，點M的軌跡是拋物線，且以A(3,0)為焦點，以直線l：x3為準線，3，p6，故動圓圓心M的軌跡方程是y212x.命題角度2利用拋物線定義求最值例3如圖，已知拋物線y22x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此時P點坐標考點求拋物線的最值問題題點根據(jù)拋物線定義轉換求最值解將x3代入拋物線方程y22x，得y.>2，A在拋物線內部設拋物線上點P到準線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d.由圖可知，當PAl時，|PA|d最小，最小值為.即|PA|PF|的最小值為，此時P點縱坐標為2，代入y22x，得x2.點P坐標為(2,2)引申探究若將本例中的點A(3,2)改為點(0,2)，求點P到點A的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值解由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離由圖可知，P點，A點和拋物線的焦點F三點共線時距離之和最小，所以最小距離d.反思感悟拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離進行轉化，另外要注意平面幾何知識的應用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關系，點與直線上點的連線垂線段最短等跟蹤訓練3已知P是拋物線y24x上一動點，則點P到直線l：2xy30和y軸的距離之和的最小值是()A.B.C2D.1考點求拋物線的最值問題題點根據(jù)拋物線定義轉換求最值答案D解析由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)設點P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點P到y(tǒng)軸的距離為|PF|1，所以點P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d|PF|1.易知d|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d|PF|的最小值為，所以d|PF|1的最小值為1.拋物線的實際應用問題典例河上有一拋物線形拱橋，當水面距拱橋頂5m時，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時，小船開始不能通航？考點拋物線的標準方程題點拋物線方程的應用解如圖，以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標系設拋物線方程為x22py(p>0)，由題意可知，點B(4，5)在拋物線上，故p，得x2y.當船面兩側和拋物線接觸時，船開始不能通航，設此時船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時，小船開始不能通航素養(yǎng)評析首先確定與實際問題相匹配的數(shù)學模型此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關知識解決此問題，操作步驟為：(1)建系：建立適當?shù)淖鴺讼?2)假設：設出合適的拋物線標準方程(3)計算：通過計算求出拋物線的標準方程(4)求解：求出需要求出的量(5)還原：還原到實際問題中，從而解決實際問題1拋物線y2x的準線方程為()AxBxCyDy答案B解析拋物線y2x的開口向右，且p，所以準線方程為x.2已知拋物線y2px2過點(1,4)，則拋物線的焦點坐標為()A(1,0) B.C.D(0,1)考點求拋物線的焦點坐標及準線方程題點求拋物線的焦點坐標答案C解析由拋物線y2px2過點(1,4)，可得p2，拋物線的標準方程為x2y，則焦點坐標為，故選C.3已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，2)到焦點的距離為4，則m的值為()A4B2C4或4D12或2答案C解析由題意可設拋物線的標準方程為x22py(p>0)，由定義知點P到準線的距離為4，故24，p4，x28y.將點P的坐標代入x28y，得m4.4若拋物線y22px(p>0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p_.答案2解析因為拋物線上的動點到焦點的距離為動點到準線的距離，所以拋物線上的動點到焦點的最短距離為頂點到準線的距離，即1，p2.5若拋物線y22px(p>0)的準線經過雙曲線x2y21的一個焦點，則p_.答案2解析拋物線y22px(p>0)的準線方程是x，因為拋物線y22px(p>0)的準線經過雙曲線x2y21的一個焦點F1(，0)，所以，解得p2.1焦點在x軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設為y2mx(m0)，此時焦點為F，準線方程為x；焦點在y軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設為x2my(m0)，此時焦點為F，準線方程為y.2設M是拋物線上一點，焦點為F，則線段MF叫做拋物線的焦半徑若M(x0，y0)在拋物線y22px(p>0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離可以相互轉化，所以焦半徑|MF|x0.一、選擇題1關于拋物線x4y2，下列描述正確的是()A開口向上，焦點坐標為(0,1)B開口向上，焦點坐標為C開口向右，焦點坐標為(1,0)D開口向右，焦點坐標為答案D解析由x4y2得y2x，開口向右，焦點坐標為.2已知拋物線y22px(p>0)的準線經過點(1,1)，則該拋物線的焦點坐標為()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析拋物線y22px(p>0)的準線方程為x，由題設知1，即p2，故焦點坐標為.3已知拋物線y22px(p>0)的準線與圓(x3)2y216相切，則p的值為()A.B1C2D4答案C解析拋物線y22px的準線方程為x，它與圓相切，所以必有34，p2.4若動點P與定點F(1,1)和直線l：3xy40的距離相等，則動點P的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線D直線答案D解析方法一設動點P的坐標為(x，y)則.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以動點P的軌跡為直線方法二顯然定點F(1,1)在直線l：3xy40上，則與定點F和直線l距離相等的動點P的軌跡是過F點且與直線l垂直的一條直線5若點P在拋物線y2x上，點Q在圓(x3)2y21上，則|PQ|的最小值是()A.1B.1C2D.1答案D解析設圓(x3)2y21的圓心為O(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PO|的最小值設點P坐標為(y，y0)，則|PO|，|PO|的最小值為，從而|PQ|的最小值為1.6拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A.B.C.D0答案B解析拋物線方程化為x2y，準線為y，由于點M到焦點的距離為1，所以M到準線的距離也為1，所以M點的縱坐標等于1.7已知直線l與拋物線y28x交于A，B兩點，且l經過拋物線的焦點F，A點的坐標為(8,8)，則線段AB的中點到準線的距離是()A.B.C.D25答案A解析拋物線的焦點F的坐標為(2,0)，直線l的方程為y(x2)由得B點的坐標為.|AB|AF|BF|282.AB的中點到準線的距離為.8已知點P是拋物線x24y上的動點，點P在x軸上的射影是點Q，點A的坐標是(8,7)，則|PA|PQ|的最小值為()A7B8C9D10考點拋物線的定義題點拋物線定義與其它知識結合的應用答案C解析拋物線的焦點為F(0,1)，準線方程為y1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.當且僅當A，P，F(xiàn)三點共線時，等號成立，則|PA|PQ|的最小值為9.二、填空題9已知拋物線y22x上一點P(m,2)，則m_，點P到拋物線的焦點F的距離為_答案2解析將(m,2)代入拋物線中得42m，得m2，由拋物線的定義可知點P到拋物線的焦點F的距離為2.10設拋物線y22px(p>0)的焦點為F，點A(0,2)若線段FA的中點B在拋物線上，則點B到該拋物線準線的距離為_答案解析如圖所示，由已知，得點B的縱坐標為1，橫坐標為，即B.將其代入y22px，得12p，解得p，故點B到準線的距離為p.11設拋物線y28x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么|PF|_.答案8解析如圖所示，直線AF的方程為y(x2)，與準線方程x2聯(lián)立得A(2,4)設P(x,4)，代入拋物線方程y28x，得8x48，x6，|PF|x28.三、解答題12已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，3)到焦點的距離為5，求m的值，拋物線方程和準線方程解設所求拋物線方程為x22py(p>0)，則焦點為F.M(m，3)在拋物線上，且|MF|5，解得m2，拋物線方程為x28y，準線方程為y2.13平面上動點P到定點F(1,0)的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大1，求動點P的軌跡方程考點拋物線的定義題點拋物線定義的直接應用解方法一由題意，動點P到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，由于點F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1，故當x<0時，直線y0上的點適合條件；當x0時，原命題等價于點P到點F(1,0)與到直線x1的距離相等，故點P的軌跡是以F為焦點，x1為準線的拋物線，方程為y24x.故所求動點P的軌跡方程為y2方法二設點P的坐標為(x，y)，則有|x|1，兩邊平方并化簡得y22x2|x|.y2即點P的軌跡方程為y214如果P1，P2，Pn是拋物線C：y24x上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若x1x2xn10，則|P1F|P2F|PnF|等于()An10Bn20C2n10D2n20答案A解析由拋物線的方程y24x可知其焦點為(1,0)，準線為x1，由拋物線的定義可知|P1F|x11，|P2F|x21，|PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.15.如圖所示，拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在y軸上，準線l與圓x2y21相切(1)求拋物線C的方程；(2)若點A，B都在拋物線C上，且2，求點A的坐標考點拋物線的標準方程題點求拋物線的方程解(1)依題意，可設拋物線C的方程為x22py(p>0)，其準線l的方程為y.準線l與圓x2y21相切，圓心(0,0)到準線l的距離d01，解得p2.故拋物線C的方程為x24y.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由題意得F(0,1)，(x2，y21)，(x1，y1)，2，(x2，y21)2(x1，y1)(2x1,2y1)，即代入得4x8y14，即x2y11，又x4y1，所以4y12y11，解得y1，x1，即點A的坐標為或.