2.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解橢圓的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡過程.2.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形知識點一橢圓的定義1我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距2橢圓的定義用集合語言敘述為：PM|MF1|MF2|2a,2a>|F1F2|32a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點的軌跡如下表：條件結(jié)論2a>|F1F2|動點的軌跡是橢圓2a|F1F2|動點的軌跡是線段F1F22a<|F1F2|動點不存在，因此軌跡不存在知識點二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式焦點位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點焦距焦點在x軸上1(a>b>0)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)2c焦點在y軸上1(a>b>0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)2c2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系橢圓在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦點坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2a2c23.根據(jù)方程判斷橢圓的焦點位置及求焦點坐標(biāo)判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”如方程為1的橢圓，焦點在y軸上，而且可求出焦點坐標(biāo)F1(0，1)，F(xiàn)2(0,1)，焦距|F1F2|2.1到平面內(nèi)兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓()2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程只與橢圓的形狀、大小有關(guān)，與位置無關(guān)()3橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式中，雖然焦點位置不同，但都具備a2b2c2.()題型一橢圓定義的應(yīng)用例1點P(3,0)是圓C：x2y26x550內(nèi)一定點，動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點，判斷圓心M的軌跡解方程x2y26x550化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x3)2y264，圓心為(3,0)，半徑r8.因為動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點，所以|MC|MP|r8，根據(jù)橢圓的定義，動點M到兩定點C，P的距離之和為定值8>6|CP|，所以動點M的軌跡是橢圓反思感悟橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件跟蹤訓(xùn)練1下列命題是真命題的是_(將所有真命題的序號都填上)已知定點F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿足|PF1|PF2|的點P的軌跡為橢圓；已知定點F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿足|PF1|PF2|4的點P的軌跡為線段；到定點F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓答案解析<2，故點P的軌跡不存在；因為|PF1|PF2|F1F2|4，所以點P的軌跡是線段F1F2；到定點F1(3，0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸)題型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)；(2)兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0，2)，(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點；(3)經(jīng)過點P，Q.考點橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，所以所以所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由橢圓的定義知，2a2，即a，又c2，所以b2a2c26，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)方法一當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)依題意，有解得由a>b>0，知不合題意，故舍去；當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)依題意，有解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m>0，n>0，mn)則解得所以所求橢圓的方程為5x24y21，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思感悟求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置寫出橢圓方程(2)待定系數(shù)法：先判斷焦點位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程形式，最后由條件確定待定系數(shù)即可即“先定位，后定量”當(dāng)所求橢圓的焦點位置不能確定時，應(yīng)按焦點在x軸上和焦點在y軸上進(jìn)行分類討論，但要注意a>b>0這一條件(3)當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，把橢圓的方程設(shè)成mx2ny21(m>0，n>0且mn)的形式有兩個優(yōu)點：列出的方程組中分母不含字母；不用討論焦點所在的位置，從而簡化求解過程跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10；(2)橢圓過點(3,2)，(5,1)；(3)橢圓的焦點在x軸上，且經(jīng)過點(2,0)和點(0,1)解(1)設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)則2a10，c4，故b2a2c29，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A>0，B>0，AB)，則解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)則解得所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.題型三橢圓中焦點三角形問題例3(1)已知P是橢圓1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且F1PF230，求F1PF2的面積；(2)已知橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上若|PF1|4，求F1PF2的大小解(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a，b2，c1，|F1F2|2.又由橢圓的定義，知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos30，即420(2)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2)|PF1|PF2|sinF1PF216(2)84.(2)由1，知a3，b，c，|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF2，又0F1PF2180，F(xiàn)1PF2120.反思感悟在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點不是橢圓與焦點所在軸的交點時，這個點與橢圓的兩個焦點可以構(gòu)成一個三角形，這個三角形就是焦點三角形這個三角形中一條邊長等于焦距，另兩條邊長之和等于橢圓定義中的常數(shù)在處理橢圓中的焦點三角形問題時，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|MF2|2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解跟蹤訓(xùn)練3已知兩定點F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點P滿足|PF1|PF2|2|F1F2|.(1)求點P的軌跡方程；(2)若F1PF260，求PF1F2的面積解(1)依題意知|F1F2|2，|PF1|PF2|2|F1F2|4>2|F1F2|，點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，且2a4,2c2，a2，c1，b，故所求點P的軌跡方程為1.(2)設(shè)m|PF1|，n|PF2|，則mn2a4.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2，4(mn)22mn(1cos60)，解得mn4.mnsinF1PF24sin60.待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(2，)和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考點橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解方法一若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.若焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由已知條件得解得則a2<b2，與a>b>0矛盾，舍去綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A>0，B>0，AB)分別將兩點的坐標(biāo)(2，)，代入橢圓的一般方程，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.素養(yǎng)評析通過兩種解法的對比，采用第二種設(shè)橢圓方程的方法能優(yōu)化解題過程，減少數(shù)學(xué)運算，提高解題效率這也正是數(shù)學(xué)運算策略升級的有力佐證.1橢圓y21上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為()A5B6C7D8考點橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題點由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點、焦距答案D解析設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|PF1|2.結(jié)合橢圓定義|PF2|PF1|10，故|PF2|8.2平面內(nèi)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個定點，“動點M滿足|為常數(shù)”是“M的軌跡是橢圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點與橢圓有關(guān)的軌跡方程題點圓與橢圓答案B解析當(dāng)|為常數(shù)且|>|時，M的軌跡才是橢圓3若方程3x2ky21表示焦點在y軸上的橢圓，則k的可能取值為()A1B3C0D2答案A解析當(dāng)k1時，原方程可化為1，它表示焦點在y軸上的橢圓，其他選項不合題意4已知橢圓的焦點坐標(biāo)為(1,0)和(1,0)，點P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為()A.1B.y21C.1D.x21答案A解析c1，a()2，b2a2c23，橢圓的方程為1.5設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的焦點，P為橢圓上一點，則PF1F2的周長為_答案18解析PF1F2的周長為|PF1|PF2|F1F2|2a2c.因為2a10，c4，所以周長為10818.1橢圓的定義式：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)在解題過程中將|PF1|PF2|看成一個整體，可簡化運算2橢圓的定義中要求一動點到兩定點的距離和為常數(shù)，因而在解決問題時，若出現(xiàn)“兩定點”、“距離之和”這樣的條件或內(nèi)容，應(yīng)考慮是否可以利用橢圓的定義來解決3凡涉及橢圓上的點的問題，首先要考慮它應(yīng)滿足橢圓的定義|MF1|MF2|2a(M為橢圓上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點)，一般進(jìn)行整體變換，其次要考慮該點的坐標(biāo)M(x0，y0)是否適合橢圓的方程，然后再進(jìn)行代數(shù)運算.一、選擇題1橢圓1的焦距為4，則m等于()A4B8C4或8D12答案C解析當(dāng)焦點在x軸上時，10m>m2>0，10m(m2)4，m4.當(dāng)焦點在y軸上時，m2>10m>0，m2(10m)4，m8.m4或8.2已知橢圓5x2ky25的一個焦點坐標(biāo)是(0,2)，那么k的值為()A1B1C.D答案B解析原方程可化簡為x21，由c214，得k1.3已知橢圓1的一個焦點為(2,0)，則橢圓的方程是()A.1B.1Cx21D.1答案D解析由題意知a224，a26，所求橢圓的方程為1.4“1<m<3”是“方程1表示橢圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)方程1表示橢圓時，必有所以1<m<3且m2；當(dāng)m2時，方程變?yōu)閤2y21，它表示一個圓5已知橢圓1上一點P到橢圓的一個焦點的距離為3，到另一個焦點的距離為7，則m等于()A10B5C15D25答案D解析設(shè)橢圓的焦點分別為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義，知|PF1|PF2|2a10，a5，a225，橢圓的焦點在x軸上，m25.6過橢圓9x2y21的一個焦點F1的直線與橢圓交于A，B兩點，則A與B和橢圓的另一個焦點F2構(gòu)成的ABF2的周長是()A.B4C8D2答案B解析方程可化為y21，焦點在y軸上，且a21，a1.ABF2的周長為|AF1|AF2|BF2|BF1|2a2a4a4.故選B.7設(shè)P是橢圓1上一點，P到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則PF1F2是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形答案B解析由橢圓定義知|PF1|PF2|2a8.又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3.又|F1F2|2c24，PF1F2為直角三角形8已知橢圓1上有一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，若F1PF2為直角三角形，則這樣的點P有()A3個B4個C6個D8個考點橢圓的定義題點焦點三角形中的問題答案C解析當(dāng)PF1F2為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性知，這樣的點P有2個；同理當(dāng)PF2F1為直角時，這樣的點P有2個；當(dāng)P點為橢圓的短軸端點時，F(xiàn)1PF2最大，且為直角，此時這樣的點P有2個故符合要求的點P有6個二、填空題9已知F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，若|F2A|F2B|12，則|AB|_.答案8解析由橢圓的定義得|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，|AF1|AF2|BF1|BF2|20.又|F2A|F2B|12，|AB|AF1|BF1|8.10若橢圓1的焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓上一點P滿足F1PF260，則F1PF2的面積是_答案解析由已知得|PF1|PF2|2a20，|F1F2|2c12.由余弦定理，知(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，即144(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，|PF1|PF2|sin60.11設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|PF1|的最大值為_答案15解析由橢圓定義知|PM|PF1|PM|25|PF2|，而|PM|PF2|MF2|5，所以|PM|PF1|25515.三、解答題12求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點M(3,2)；(2)ca513，且橢圓上一點到兩焦點的距離的和為26.考點橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)由焦距是4可得c2，且焦點坐標(biāo)為(0，2)，(0,2)由橢圓的定義知，2a8，所以a4，所以b2a2c216412.又焦點在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意知，2a26，即a13，又ca513，所以c5，所以b2a2c213252144，因為焦點所在的坐標(biāo)軸不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.13已知橢圓的中心在原點，兩焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，且過點A(4,3)若F1AF2A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)設(shè)焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)F1AF2A, 0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.14已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點若AB的中點坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為_答案1解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程得相減得0，所以0.因為x1x22，y1y22，kAB.所以0，化為a22b2，又c3，解得a218，b29.所以橢圓E的方程為1.15.如圖所示，ABC的底邊BC12，其他兩邊AB和AC上中線的和為30，求此三角形重心G的軌跡方程，并求頂點A的軌跡方程解以BC邊所在直線為x軸，BC邊中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(6,0)，C(6,0)，CE，BD為AB，AC邊上的中線，則|BD|CE|30.由重心性質(zhì)可知，|GB|GC|(|BD|CE|)20.B，C是兩個定點，G點到B，C的距離和等于定值20，且2012，G點的軌跡是橢圓，B，C是橢圓焦點，2c|BC|12，c6,2a20，a10，b2a2c21026264，故G點的軌跡方程為1(x10)設(shè)G(x，y)，A(x，y)，則有1.由重心坐標(biāo)公式知故A點軌跡方程為1，即1(x30).