3.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解從平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程.2.了解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù).3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義知識點(diǎn)一瞬時(shí)變化率1物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系是sf(t)，當(dāng)t0到t0t時(shí)，當(dāng)t趨近于0時(shí)，函數(shù)f(t)在t0到t0t的平均變化率趨近于常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度2函數(shù)的瞬時(shí)變化率設(shè)函數(shù)yf(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量在xx0附近改變x時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變yf(x0x)f(x0)，如果當(dāng)x趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)l，則常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率知識點(diǎn)二函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率稱為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或，即f(x0).2導(dǎo)函數(shù)定義如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)，這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f(x)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)f(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)記為f(x)(或yx、y)3函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值，即f(x0).1函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率()2平均變化率刻畫函數(shù)在區(qū)間上的變化的快慢，瞬時(shí)變化刻畫的是函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化情況()3f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值()題型一求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例1求yx2在點(diǎn)x1處的導(dǎo)數(shù)解y(1x)2122x(x)2，2x， (2x)2，y|x12.反思感悟求函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0).跟蹤訓(xùn)練1(1)若k，則等于()A2kBkC.kD以上都不是答案A解析，22k.(2)求y2x24x在點(diǎn)x3處的導(dǎo)數(shù)解y2(3x)24(3x)(23243)2(x)216x，2x16， (2x16)16，所以y|x316.題型二求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度例2某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)t2t1表示，求物體在t1s時(shí)的瞬時(shí)速度解3t， (3t)3.物體在t1處的瞬時(shí)變化率為3，即物體在t1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.引申探究1若本例的條件不變，試求物體的初速度解1t， (1t)1.物體在t0處的瞬時(shí)變化率為1，即物體的初速度為1m/s.2若本例的條件不變，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s，2t01t. (2t01t)2t01.則2t019，t04.則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.反思感悟(1)不能將物體的瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時(shí)變化率是導(dǎo)致無從下手解答本題的常見問題(2)求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟求時(shí)間改變量t和位移改變量ss(t0t)s(t0)求平均速度.求瞬時(shí)速度，當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度，即vs(t0)跟蹤訓(xùn)練2一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)at21做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值解質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t2處的瞬時(shí)變化率質(zhì)點(diǎn)M在t2附近的平均變化率4aat，4a8，即a2.題型三導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義例3一條水管中流出的水量y(單位：m3)是時(shí)間x(單位：s)的函數(shù)yf(x)x27x15(0x8)計(jì)算2s和6s時(shí)，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并說明它們的實(shí)際意義解在2s和6s時(shí)，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f(2)和f(6)，當(dāng)x2時(shí)，x11，所以f(2) (x11)11，即在2s時(shí)的水流速度為11m3/s.同理可得在6s時(shí)的水流速度為19m3/s.在2s與6s時(shí)，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為11與19.它說明在2s時(shí)附近，水流大約以11m3/s的速度流出，在6s時(shí)附近，水流大約以19m3/s的速度流出反思感悟?qū)?shù)實(shí)質(zhì)上就是瞬時(shí)變化率，它描述物體的瞬時(shí)變化，例如位移s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)就是運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度，氣球體積V關(guān)于半徑r的導(dǎo)數(shù)就是氣球的瞬時(shí)膨脹率跟蹤訓(xùn)練3服藥后，人體血液中藥物的質(zhì)量濃度y(單位：g/mL)關(guān)于時(shí)間t(單位：min)的函數(shù)為yf(t)，假設(shè)函數(shù)yf(t)在t10和t100處的導(dǎo)數(shù)分別為f(10)1.5和f(100)0.60，試解釋它們的實(shí)際意義解f(10)1.5表示服藥后10 min時(shí)，血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5 g/(mLmin)f(100)0.6表示服藥后100 min時(shí)，血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為0.6 g/(mLmin)1如果某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s2(1t2)(s的單位為m，t的單位為s)，那么其在1.2s末的瞬時(shí)速度為()A4.8m/s B0.88 m/sC0.88m/s D4.8 m/s答案A解析物體運(yùn)動(dòng)在1.2s末的瞬時(shí)速度即為s在1.2處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求得2設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則等于()Af(1) B3f(1)C.f(1) Df(3)答案A解析f(1)3函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則()A與x0，h都有關(guān)B僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān)C僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān)D與x0，h均無關(guān)答案B4設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b為常數(shù))，則()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b考點(diǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)題點(diǎn)根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)答案C解析f(x0) (abx)a.5已知函數(shù)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù)為2，則實(shí)數(shù)a的值是_答案2解析f(1)a.由題意知，a2，a2.利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)三步曲(1)作差求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)作比求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x0).簡記為一差，二比，三極限一、選擇題1一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s53t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段1，1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，則該質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度是()A3B3C6D6答案D解析由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度為s(3t6)6.2設(shè)函數(shù)f(x)ax3，若f(1)3，則a等于()A2B2C3D3答案C解析f(1)a，又f(1)3，a3.3若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且滿足1，則f(0)等于()A2B1C1D2答案B解析f(x)的圖象過原點(diǎn)，f(0)0，f(0)1.4物體的運(yùn)動(dòng)方程是s4t216t，在某一時(shí)刻的速度為0，則相應(yīng)時(shí)刻為()At1Bt2Ct3Dt4答案B解析設(shè)在t0時(shí)刻速度為0，s(t0) (8t0164t)8t0160，t02.5已知f(x)x23x，則f(0)等于()Ax3B(x)23xC3D0答案C解析f(0) (x3)3.6設(shè)函數(shù)yf(x)在xx0處可導(dǎo)，且1，則f(x0)等于()A1B1CD.答案C解析因?yàn)?f(x0)1，所以f(x0)，故選C.7已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線yf(x)3x26x1上一點(diǎn)，且f(x0)0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(1,10) B(1，2)C(1，2) D(1,10)答案B解析3x6x06，f(x0) (3x6x06)6x060，x01.把x01代入y3x26x1，得y02.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)二、填空題8已知f(3)2，f(3)2，則_.答案8解析2232323f(3)8.9對于函數(shù)y，其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點(diǎn)是_答案解析設(shè)導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點(diǎn)是(x0，f(x0)，則f(x0).由題意知，f(x0)f(x0)，即，解得x02，從而y0.所以導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點(diǎn)是.10.如圖所示，水波的半徑以1m/s的速度向外擴(kuò)張，當(dāng)半徑為5m時(shí)，則水波面的圓面積的膨脹率是_答案10解析 (10r)10.11已知函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)為11，則_.答案22解析22f(x0)22.三、解答題12某一運(yùn)動(dòng)物體，在x(s)時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離(單位：m)是f(x)x3x22x.(1)求在第1s內(nèi)的平均速度；(2)求在1s末的瞬時(shí)速度；(3)經(jīng)過多長時(shí)間該物體的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到14m/s?解(1)物體在第1s內(nèi)的平均變化率(即平均速度)為m/s.(2)63x(x)2.當(dāng)x0時(shí)，6，所以物體在1s末的瞬時(shí)速度為6m/s.(3)2x22x2(x)22xxx.當(dāng)x0時(shí)，2x22x2，令2x22x214，解得x2或x3(舍)，即經(jīng)過2s該物體的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到14m/s.13已知f(x)x2，g(x)x3，求適合f(x0)2g(x0)的x0的值解由導(dǎo)數(shù)的定義知，f(x0)2x0，g(x0)3x.因?yàn)閒(x0)2g(x0)，所以2x023x，即3x2x020，解得x0或x0.14已知函數(shù)f(x)，則f(1)等于()AB1C2D.答案A解析f(1).15建造一棟面積為xm2的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，yf(x)0.3，求f(100)，并解釋它的實(shí)際意義解，所以當(dāng)x100時(shí)，0.105 (萬元/m2)，即f(100)0.105.f(100)0.105表示當(dāng)建筑面積為100m2時(shí)，成本增加的速度為1050元/m2，也就是說當(dāng)建筑面積為100m2時(shí)，每增加1m2的建筑面積，成本就要增加1050元