考點測試38直接證明與間接證明高考概覽考綱研讀1了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點2了解反證法的思考過程和特點一、基礎(chǔ)小題1命題“對于任意角，cos4sin4cos2”的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”過程應用了()A分析法 B綜合法C綜合法、分析法綜合使用 D間接證明法答案B解析因為證明過程是“從左往右”，即由條件結(jié)論2用反證法證明結(jié)論“三角形內(nèi)角至少有一個不大于60”，應假設(shè)()A三個內(nèi)角至多有一個大于60B三個內(nèi)角都不大于60C三個內(nèi)角都大于60D三個內(nèi)角至多有兩個大于60答案C解析“三角形內(nèi)角至少有一個不大于60”即“三個內(nèi)角至少有一個小于等于60”，其否定為“三角形內(nèi)角都大于60”故選C3若a，b，c是不全相等的實數(shù)，求證：a2b2c2>abbcca證明過程如下：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac又a，b，c不全相等，以上三式至少有一個“”不成立將以上三式相加得2(a2b2c2)>2(abbcac)a2b2c2>abbcca此證法是()A分析法 B綜合法C分析法與綜合法并用 D反證法答案B解析由已知條件入手證明結(jié)論成立，滿足綜合法的定義4分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且abc0，求證<a”索的因應是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0答案C解析<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>05若P，Q，a0，則P，Q的大小關(guān)系是()AP>Q BPQCP<Q D由a的取值確定答案C解析令a0，則P26，Q37，P<Q據(jù)此猜想a0時P<Q證明如下：要證P<Q，只要證P2<Q2，只要證2a72<2a72，只要證a27a<a27a12，只要證0<12，0<12成立，P<Q成立故選C6兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是()窗口12671112過道3458910131415窗口A48，49 B62，63 C75，76 D84，85答案D解析由已知圖形中座位的排序規(guī)律可知，被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號靠窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號知，只有D符合條件7有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：1，2，6號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4，5，6號選手都不可能獲得第一名比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結(jié)果，此人是()A甲 B乙 C丙 D丁答案D解析若1，2號得第一名，則乙丙丁都對，若3號得第一名，則只有丁對，若4，5號得第一名，則甲乙都對，若6號得第一名，則乙丙都對，因此只有丁猜對故選D8記S，則S與1的大小關(guān)系是_答案S<1解析<，<，<，S<1二、高考小題9(2014山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是()A方程x3axb0沒有實根B方程x3axb0至多有一個實根C方程x3axb0至多有兩個實根D方程x3axb0恰好有兩個實根答案A解析“方程x3axb0至少有一個實根”的否定是“方程x3axb0沒有實根”三、模擬小題10(2019山東濟南模擬)用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)用反證法證明時，下列假設(shè)正確的是()A假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C假設(shè)a，b，c至多有一個偶數(shù)D假設(shè)a，b，c至多有兩個偶數(shù)答案B解析“至少有一個”的否定為“都不是”，故選B11(2018寧夏銀川調(diào)研)設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；a>b，a<b及ab中至少有一個成立；ac，bc，ab不能同時成立其中正確判斷的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案C解析正確；中，ab，bc，ac可以同時成立，如a1，b2，c3，故正確的判斷有2個12(2018長春模擬)設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則a，b，c三個數(shù)()A都大于2 B都小于2C至少有一個不大于2 D至少有一個不小于2答案D解析假設(shè)a，b，c都小于2，則有abc<6因為a，b，c都是正數(shù)，所以abc2226，這與abc<6矛盾，故假設(shè)不成立，所以a，b，c至少有一個不小于2故選D13(2018山東煙臺模擬)設(shè)a>b>0，m，n，則m，n的大小關(guān)系是_答案n>m解析解法一(取特殊值法)：取a2，b1，則m<n解法二(分析法)：<>a<b2ab2>0，顯然成立一、高考大題1(2018北京高考)設(shè)n為正整數(shù)，集合A|(t1，t2，tn)，tk0，1，k1，2，n對于集合A中的任意元素(x1，x2，xn)和(y1，y2，yn)，記M(，)(x1y1|x1y1|)(x2y2|x2y2|)(xnyn|xnyn|)(1)當n3時，若(1，1，0)，(0，1，1)，求M(，)和M(，)的值；(2)當n4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當，相同時，M(，)是奇數(shù)；當，不同時，M(，)是偶數(shù)求集合B中元素個數(shù)的最大值；(3)給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M(，)0寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由解(1)因為(1，1，0)，(0，1，1)，所以M(，)(11|11|)(11|11|)(00|00|)2，M(，)(10|10|)(11|11|)(01|01|)1(2)設(shè)(x1，x2，x3，x4)B，則M(，)x1x2x3x4由題意知x1，x2，x3，x40，1，且M(，)為奇數(shù)，所以x1，x2，x3，x4中1的個數(shù)為1或3所以B(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)將上述集合中的元素分成如下四組：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)經(jīng)驗證，對于每組中兩個元素，均有M(，)1所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素所以集合B中元素的個數(shù)不超過4又集合(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)滿足條件，所以集合B中元素個數(shù)的最大值為4(3)設(shè)Sk(x1，x2，xn)|(x1，x2，xn)A，xk1，x1x2xk10(k1，2，n)，Sn1(x1，x2，xn)|x1x2xn0，所以AS1S2Sn1對于Sk(k1，2，n1)中的不同元素，經(jīng)驗證，M(，)1所以Sk(k1，2，n1)中的兩個元素不可能同時是集合B的元素所以B中元素的個數(shù)不超過n1取ek(x1，x2，xn)Sk且xk1xn0(k1，2，n1)令Be1，e2，en1SnSn1，則集合B的元素個數(shù)為n1，且滿足條件故B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合2(2018江蘇高考)記f(x)，g(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導函數(shù)，若存在x0R，滿足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”(1)證明：函數(shù)f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點”；(2)若函數(shù)f(x)ax21與g(x)ln x存在“S點”，求實數(shù)a的值；(3)已知函數(shù)f(x)x2a，g(x)，對任意a>0，判斷是否存在b>0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)存在“S點”，并說明理由解(1)證明：函數(shù)f(x)x，g(x)x22x2，則f(x)1，g(x)2x2，由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程組無解因此，f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點”(2)函數(shù)f(x)ax21，g(x)ln x，則f(x)2ax，g(x)，設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，則a當a時，x0e滿足方程組(*)，即x0為f(x)與g(x)的“S點”，因此，a的值為(3)f(x)2x，g(x)，x0，f(x0)g(x0)bex0>0x0(0，1)，f(x0)g(x0)xaax，令h(x)x2a，x(0，1)，a>0，設(shè)m(x)x33x2axa，x(0，1)，a>0，則m(0)a<0，m(1)2>0m(0)m(1)<0，又m(x)的圖象在(0，1)上連續(xù)不斷，m(x)在(0，1)上有零點，則h(x)在(0，1)上有零點因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)存在“S點”二、模擬大題3(2018貴州安順調(diào)研)已知函數(shù)f(x)3x2x，求證：對于任意的x1，x2R，均有f證明要證明f，即證明32，因此只要證明(x1x2)3(x1x2)，即證明3，因此只要證明，由于x1，x2R時，3x1>0，3x2>0，由基本不等式知(當且僅當x1x2時等號成立)顯然成立，故原結(jié)論成立4(2018山東臨沂三校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列解(1)當n1時，a1S12a12，則a11又anSn2，所以an1Sn12，兩式相減得an1an，所以an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以an(2)證明(反證法)：假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(p<q<r，且p，q，rN*)，則2，所以22rq2rp1又因為p<q<r，且p，q，rN*，所以rq，rpN*所以式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立所以假設(shè)不成立，原命題得證