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第二講 講明不等式的基本方法 滾動(dòng)訓(xùn)練(二)(第二講) 一、選擇題 1．設(shè)Q表示要證明的結(jié)論，Pn(n＝1,2,3，…)表示一個(gè)明顯成立的條件，那么下列表示的證明方法是(　　) Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一個(gè)明顯成立的條件 A．綜合法 B．分析法 C．反證法 D．比較法 答案　B 解析　分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件，只要使結(jié)論成立的充分條件已具備，此結(jié)論就一定成立．故選B. 2．用反證法證明命題“若自然數(shù)a，b，c的積為偶數(shù)，則a，b，c中至少有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，對(duì)結(jié)論正確的反設(shè)為(　　) A．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c至多有一個(gè)奇數(shù) D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) 答案　B 解析　“a，b，c中至少有一個(gè)偶數(shù)”的否定為“a，b，c中一個(gè)偶數(shù)都沒(méi)有”，即“a，b，c都是奇數(shù)”，故選B. 3．設(shè)x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，則(　　) A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1 C．x＋y≤2(＋1)2 D．xy≥2(＋1) 答案　A 解析　因?yàn)閤＞0，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，所以(x＋y)＋1＝xy≤2， 所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，解得x＋y≥2(＋1)． 4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，設(shè)M＝，N＝(a＋c)(a＋b)，則(　　) A．M≥N B．M≤N C．M＞N D．M＜N 答案　A 解析　依題意易知1－a,1－b,1－c∈R＋，由基本不等式知≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，取等號(hào)． ∴(1－a)(1－b)(1－c)≤. 從而有≥(1－b)(1－c)＝(a＋c)(a＋b)，即M≥N.故選A. 5．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，A＝＋，B＝，則(　　) A．A≤B B．A＜B C．A≥B D．A＞B 答案　D 解析　∵a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，∴c＜a＋b， ∴B＝＝＜＝＝＋＜＋＝A， ∴B＜A，故選D. 6．若關(guān)于x的不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7＞0的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　) A．(－∞，4) B．[4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，4] 答案　C 解析　由|x＋1|＋|x－2|＋m－7＞0，得|x＋1|＋|x－2|＞7－m.又|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，且原不等式的解集為R，∴3＞7－m，解得m＞4，故選C. 7．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．大小不確定 答案　A 解析　P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜a3＋1＜a2＋1,0＜＜1，所以loga＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.當(dāng)a＞1時(shí)，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，所以loga＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.故選A. 二、填空題 8．若x，y是正數(shù)，則2＋2的最小值是________． 答案　4 解析　2＋2＝＋＋≥2＋2＋2＝1＋2＋1＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)，等號(hào)成立． 9．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為_(kāi)_______． 答案　(5,7) 解析　由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4， 即＜x＜. ∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則?∴5＜b＜7. 10．函數(shù)f(x)＝x(5－2x)2的最大值是________． 答案　 解析　f(x)＝4x(5－2x)(5－2x) ≤3＝， 當(dāng)且僅當(dāng)4x＝5－2x，即x＝時(shí)，等號(hào)成立． 故函數(shù)f(x)＝x(5－2x)2的最大值為. 11．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　 解析　|2x－1|＋|x＋2|＝ ∴當(dāng)x＝時(shí)，|2x－1|＋|x＋2|取得最小值，從而a2＋＋2≤，解得－1≤a≤. 三、解答題 12．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x＋＝1. (1)若|7－y|＜2x＋3，求x的取值范圍； (2)若x＞0，y＞0，求證：≥xy. (1)解　∵x＋＝1，∴4x＋y＝4， 則由|7－y|＜2x＋3，得|4x＋3|＜2x＋3， 則－2x－3＜4x＋3＜2x＋3， 即 即 解得－1＜x＜0，∴x的取值范圍為(－1,0)． (2)證明　∵x＞0，y＞0，∴1＝x＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝時(shí)等號(hào)成立， ∴0＜≤1， ∴－xy＝(1－)≥0， ∴≥xy. 13．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R＋，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. (1)解　因?yàn)閒(x＋2)＝m－|x|， 所以f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m. ∵m∈R＋， ∴|x|≤m， ∴解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，所以m＝1. (2)證明　由(1)知，＋＋＝1，a，b，c∈R＋， 所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c＝3時(shí)，等號(hào)成立． 14．(1)已知a，b，c，d∈R＋，設(shè)S＝＋＋＋，求證：1＜S＜2； (2)已知a，b，c都是正數(shù)，求證：≥abc. 證明　(1)因?yàn)閍，b，c，d∈R＋，所以＋＋＋＞＋＋＋＝＝1， 即S＞1.又由＜，＜，＜，＜，得＋＜＋＝1，＋＜＋＝1，所以＋＋＋＜2，即S＜2.故1＜S＜2成立． (2)因?yàn)閎2＋c2≥2bc，a2＞0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc. ① 同理b2(a2＋c2)≥2ab2c， ② c2(a2＋b2)≥2abc2. ③ 由①②③， 得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2， 所以a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 由a，b，c都是正數(shù)，得a＋b＋c＞0， 因此≥abc(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)．