第1課時拋物線的簡單性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準(zhǔn)線等簡單性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點一拋物線的簡單性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下通徑過焦點垂直于對稱軸的直線與拋物線交于兩點A，B，線段AB叫拋物線的通徑，長度|AB|2p知識點二焦點弦設(shè)過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y22px(p>0)|AB|x1x2py22px(p>0)|AB|p(x1x2)x22py(p>0)|AB|y1y2px22py(p>0)|AB|p(y1y2)1拋物線有一個頂點，一個焦點，一條對稱軸，一條準(zhǔn)線，一條通徑()2當(dāng)拋物線的頂點在坐標(biāo)原點時，其方程是標(biāo)準(zhǔn)方程()3拋物線的離心率均為1，所以拋物線形狀都相同()4焦準(zhǔn)距p決定拋物線的張口大小，即決定拋物線的形狀()題型一拋物線的簡單性質(zhì)例1已知拋物線y28x.(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點O為頂點，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦點F是OAB的重心，求OAB的周長考點拋物線的簡單性質(zhì)題點焦點、準(zhǔn)線、對稱性的簡單應(yīng)用解(1)拋物線y28x的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x2，x軸，x0.(2)如圖所示，由|OA|OB|可知ABx軸，垂足為點M，又焦點F是OAB的重心，則|OF|OM|.因為F(2,0)，所以|OM|OF|3，所以M(3,0)故設(shè)A(3，m)，代入y28x得m224；所以m2或m2，所以A(3,2)，B(3，2)，所以|OA|OB|，所以O(shè)AB的周長為24.反思感悟把握三個要點確定拋物線的簡單性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖像開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負(2)關(guān)系：頂點位于焦點與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸(3)定值：焦點到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點，OAOB，則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2考點拋物線的簡單性質(zhì)題點焦點、準(zhǔn)線、對稱性的簡單應(yīng)用答案B解析因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或不妨設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.題型二拋物線的焦點弦問題例2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值考點拋物線的焦點弦問題題點求拋物線的焦點弦長解因為直線l的傾斜角為60，所以其斜率ktan60.又F，所以直線l的方程為y.聯(lián)立消去y，得x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x25，所以|AB|AF|BF|x1x2x1x2p538.反思感悟1.解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用，通過定義將焦點弦長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進行求解2設(shè)直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨討論跟蹤訓(xùn)練2已知拋物線方程為y22px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|p，求AB所在直線的方程考點拋物線的焦點弦問題題點知拋物線焦點弦長求方程解由題意可知，焦點F.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)若ABx軸，則|AB|2pp，不合題意，故直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為yk.聯(lián)立消去x，整理得ky22pykp20，則y1y2，y1y2p2.|AB|2pp，解得k2，AB所在直線方程為y2或y2.題型三與拋物線有關(guān)的最值問題例3設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點(1)求點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若點B的坐標(biāo)為(3,2)，求|PB|PF|的最小值考點拋物線的定義題點由拋物線的定義求最值解(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程是x1.由拋物線的定義知，點P到直線x1的距離等于點P到焦點F的距離于是問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小顯然，連接AF，AF與拋物線的交點即為點P，故最小值為，即點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值為.(2)如圖，把點B的橫坐標(biāo)代入y24x中，得y2.因為2>2，所以點B在拋物線內(nèi)部過點B作BQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為點Q，交拋物線于點P1，連接P1F.此時，由拋物線的定義知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值為4.反思感悟拋物線的定義在解題中的作用，就是靈活地對拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距離進行轉(zhuǎn)化，另外要注意平面幾何知識的應(yīng)用，如兩點之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點與直線上點的連線垂線段最短等跟蹤訓(xùn)練3已知點P是拋物線y22x上的一個動點，則點P到點A(0,2)的距離與點P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.B2C.D.考點拋物線的定義題點由拋物線的定義求最值答案A解析如圖，由拋物線的定義知|PA|PQ|PA|PF|，則所求距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|PF|的最小值，則當(dāng)A，P，F(xiàn)三點共線時，|PA|PF|取得最小值又A(0,2)，F(xiàn)，(|PA|PF|)min|AF|.1以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為()Ay28xBy28xCy28x或y28xDx28y或x28y考點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點求拋物線方程答案C解析設(shè)拋物線的方程為y22px或y22px(p>0)，由題意將x或x分別代入y22px和y22px，得|y|p，2|y|2p8，p4.即拋物線方程為y28x.2設(shè)A，B是拋物線x24y上兩點，O為原點，若|OA|OB|，且AOB的面積為16，則AOB等于()A30B45C60D90考點拋物線的簡單性質(zhì)題點焦點、準(zhǔn)線、對稱性的簡單應(yīng)用答案D解析由|OA|OB|，知拋物線上點A，B關(guān)于y軸對稱，設(shè)A，B，a>0.SAOB2a16，解得a4，AOB為等腰直角三角形，AOB90.3已知拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則此拋物線上的點到準(zhǔn)線距離的最小值為()A1B2C3D4考點拋物線的定義題點由拋物線定義求距離答案B解析由題意知拋物線頂點到準(zhǔn)線的距離最短，故最小值為2.4過拋物線y28x的焦點作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長為_考點拋物線的焦點弦問題題點求拋物線的焦點弦長答案16解析由y28x得焦點坐標(biāo)為(2,0)，由此直線方程為yx2，由聯(lián)立得x212x40，設(shè)交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1x212，弦長|AB|x1x2p12416.5已知正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線y22px(p>0)上，求這個正三角形的邊長考點拋物線的簡單性質(zhì)題點拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用解如圖OAB為正三角形，設(shè)|AB|a，則ODa，將A代入y22px，即2pa，解得a4p.正三角形的邊長為4p.1討論拋物線的簡單性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用簡單性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程2拋物線中的最值問題：注意拋物線上的點到焦點的距離與點到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是平面幾何知識的應(yīng)用一、選擇題1設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為3，則拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)考點拋物線的簡單性質(zhì)題點焦點、準(zhǔn)線、對稱性的簡單應(yīng)用答案D解析拋物線的焦點到頂點的距離為3，3，即p6.又拋物線上的點到準(zhǔn)線距離的最小值為，拋物線上的點到準(zhǔn)線距離的取值范圍是3，)2若拋物線y2x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標(biāo)為()A.B.C.D.考點拋物線的定義題點由拋物線的定義求點坐標(biāo)答案B解析由題意知，點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離，因此點P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以點P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程得y，故點P的坐標(biāo)為，故選B.3已知拋物線y2px2(p>0)的焦點為F，點P在拋物線上，過點P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點Q，若拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸相交于點M，則四邊形PQMF的面積為()A.B.C.D.考點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點拋物線方程的應(yīng)用答案C解析由P在拋物線上，得p，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y，焦點為F(0,1)，準(zhǔn)線為y1，|FM|2，|PQ|1，|MQ|1，則四邊形PQMF的面積為1.4已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A2B3C.D.考點拋物線的定義題點由拋物線定義求最值答案A解析如圖所示，動點P到l2：x1的距離可轉(zhuǎn)化為PF的距離，由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d2.5過拋物線y22px(p>0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標(biāo)為3，|PQ|10，則拋物線方程是()Ay28xBy22xCy26xDy24x考點拋物線的焦點弦問題題點知拋物線焦點弦長求方程答案A解析設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則3，即x1x26.又|PQ|x1x2p10，即p4，拋物線方程為y28x.6已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1Bx1Cx2Dx2考點拋物線的焦點弦問題題點與焦點弦有關(guān)的其他問題答案A解析拋物線的焦點為F，所以過焦點且斜率為1的直線方程為yx，即xy.代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20，由根與系數(shù)的關(guān)系，得p2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標(biāo))，所以拋物線方程為y24x，準(zhǔn)線方程為x1.7已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|12，P為C的準(zhǔn)線上的一點，則ABP的面積為()A18B24C36D48考點拋物線的簡單性質(zhì)題點拋物線性質(zhì)的綜合問題答案C解析不妨設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，依題意，lx軸，且焦點F，當(dāng)x時，|y|p，|AB|2p12，p6，又點P到直線AB的距離為p6，故SABP|AB|p12636.8設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則OAB的面積為()A.B.C.D.考點拋物線的焦點弦問題題點拋物線焦點弦的其他問題答案D解析由已知得焦點坐標(biāo)為F，因此直線AB的方程為y.即4x4y30.聯(lián)立直線和拋物線方程，并化簡得x2x0，故xAxB.根據(jù)拋物線的定義有|AB|xAxBp12，同時原點到直線AB的距離為h，因此SOAB|AB|h.二、填空題9拋物線y24x的焦點為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點，|AF|3，則|BF|_.考點拋物線的焦點弦問題題點與焦點弦有關(guān)的其他問題答案解析由題意知F(1,0)，且AB與x軸不垂直，則由|AF|3，知xA2.設(shè)lAB：yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以xAxB1，故xB，故|BF|xB1.10已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，且與圓x2y24相交的公共弦長等于2，則這條拋物線的方程為_考點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點求拋物線方程答案y23x解析由題意設(shè)拋物線方程為y2ax(a0)，當(dāng)a>0時，弦的端點坐標(biāo)為(1，)，代入拋物線方程得y23x，同理，當(dāng)a<0時，弦的端點坐標(biāo)為(1，)，代入拋物線方程得y23x.11已知正三角形的一個頂點位于拋物線y22px(p>0)的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，那么滿足條件的正三角形的個數(shù)為_考點題點答案2解析根據(jù)拋物線的對稱性，正三角形的兩個頂點一定關(guān)于x軸對稱，且過焦點的兩條直線傾斜角分別為30和150，這時過焦點的直線與拋物線只有兩個交點，所以正三角形的個數(shù)為2.三、解答題12若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準(zhǔn)線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|，|AF|3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點求拋物線方程解設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p>0)，A(x0，y0)，由題知M.|AF|3，y03.|AM|，x217，x8，代入方程x2py0，得82p，解得p2或p4.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y或x28y.13已知拋物線C的頂點為O(0,0)，焦點為F(0,1)(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F的直線l：yx1交拋物線C于A，B兩點，求AOB的面積考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點弦長與中點弦的問題解(1)拋物線C的頂點為O(0,0)，焦點為F(0,1)，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.(2)聯(lián)立得x24x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2), 則x1x24，x1x24，|AB|8.又O(0,0)到直線yx1的距離d，AOB的面積為S|AB|d82.14.如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，交其準(zhǔn)線于點C，若|BC|2|BF|且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay23xBy29xCy2xDy2x考點拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點求拋物線方程答案A解析作AM，BN分別垂直準(zhǔn)線于點M，N，則|BN|BF|，|AM|AF|.又|BC|2|BF|，|BC|2|BN|，NCB30，|AC|2|AM|2|AF|6.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|x，則2xx36，得x1，而x13，x21，且x1x2，p，得拋物線方程為y23x.15已知拋物線y22x.(1)設(shè)點A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)在拋物線上求一點P，使P到直線xy30的距離最短，并求出距離的最小值考點拋物線的定義題點由拋物線的定義求最值解(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|22y222x2.x0，)，且在此區(qū)間上函數(shù)是增加的，故當(dāng)x0時，|PA|min，故距離點A最近的點的坐標(biāo)為(0,0)(2)設(shè)點P(x0，y0)是y22x上任一點，則P到直線xy30的距離為d，當(dāng)y01時，dmin，點P的坐標(biāo)為.