第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是增加的；如果f(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是減少的(2)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極大值：在點(diǎn)xa附近，滿(mǎn)足f(a)f(x)，當(dāng)x<a時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x>a時(shí)，f(x)<0，則點(diǎn)a叫作函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(a)叫作函數(shù)的極大值；極小值：在點(diǎn)xa附近，滿(mǎn)足f(a)f(x)，當(dāng)x<a時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>a時(shí)，f(x)>0，則點(diǎn)a叫作函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫作函數(shù)的極小值2求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值題型一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)例1已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)當(dāng)a0時(shí)，求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)的斜率；(2)試求f(x)的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.即曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)的斜率為3e，(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，當(dāng)2aa2，即a時(shí)，f(x)0，f(x)在R上是增加的；當(dāng)2a<a2，即a>時(shí)，則當(dāng)x(，2a)或x(a2，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(，2a)，(a2，)上為增函數(shù)，當(dāng)x(2a，a2)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(2a，a2)上為減函數(shù)；當(dāng)2a>a2，即a<時(shí)，則當(dāng)x(，a2)或x(2a，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(，a2)，(2a，)上為增函數(shù)當(dāng)x(a2，2a)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(a2，2a)上為減函數(shù)綜上所述，當(dāng)a<時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(，a2)，(2a，)，減區(qū)間為(a2，2a)；當(dāng)a時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(，)；當(dāng)a>時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(，2a)，(a2，)，減區(qū)間為(2a，a2)反思感悟(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià)(3)分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集(4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上是減少的，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)解(1)求導(dǎo)得f(x)3x2a，因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)x31在R上是增加的，符合題意所以a的取值范圍是(，0(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上是減少的，則f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因?yàn)樵?1,1)上，03x2<3，所以a3.當(dāng)a3時(shí)，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上是減少的，即a3符合題意所以存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上是減少的，且a的取值范圍是3，)題型二函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)例2已知函數(shù)f(x)x2alnx.(1)若a1，求函數(shù)f(x)的極值，并指出是極大值還是極小值；(2)若a1，求函數(shù)f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求證：在區(qū)間1，)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)x3的圖像的下方考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(1)解由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)a1時(shí)，f(x)x，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)是減少的，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)是增加的，所以f(x)在x1處取得極小值，且極小值為.(2)解當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2lnx，f(x)x>0，則函數(shù)f(x)在1，e上為增函數(shù)，所以f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(3)證明設(shè)F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，則F(x)x2x2，當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)<0，故F(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，又F(1)<0，所以在區(qū)間1，)上，F(xiàn)(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立因此，當(dāng)a1時(shí)，在區(qū)間1，)上，函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)的圖像的下方反思感悟1.已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要代回驗(yàn)證參數(shù)值是否滿(mǎn)足極值的定義2討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f(x)的正負(fù)3求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值即可跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)在2,1上的最大值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的結(jié)合應(yīng)用解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)exa，f(0)e0a0，a1.f(x)ex1，在(，0)上，f(x)<0，f(x)是減少的，在(0，)上，f(x)>0，f(x)是增加的，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極小值，a1.f(x)在2,0上是減少的，在(0,1上是增加的，且f(2)3，f(1)e，f(2)>f(1)，f(x)在2,1的最大值為3.(2)f(x)exa，由于ex>0.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)exa(x1)>0.當(dāng)x<0時(shí)，取x，則f<1aa<0，函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意當(dāng)a<0時(shí)，令f(x)exa0，則xln(a)在(，ln(a)上，f(x)<0，f(x)是減少的，在(ln(a)，)上，f(x)>0，f(x)是增加的，當(dāng)xln(a)時(shí)，f(x)取最小值函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)>0，解得e2<a<0.綜上所述，所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e2,0)題型三生活中的優(yōu)化問(wèn)題例3某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002rh200rh(元)，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又由題意知200rh160r212000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因?yàn)閞>0，又由h>0可得0<r<5.故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)(2)因?yàn)閂(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因?yàn)閞25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0,5)時(shí)，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)當(dāng)r(5,5)時(shí)，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8.即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大反思感悟利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值的一般方法(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大或最小值的變量y與自變量x，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即列出函數(shù)關(guān)系yf(x)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定yf(x)的定義域(2)求方程f(x)0的所有實(shí)數(shù)根(3)比較導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)根和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義確定函數(shù)的最大值或最小值跟蹤訓(xùn)練3一家公司計(jì)劃生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品，該產(chǎn)品的月固定成本為1萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件需要再投入2萬(wàn)元，設(shè)該公司一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)該小型產(chǎn)品x萬(wàn)件并全部銷(xiāo)售完，每銷(xiāo)售1萬(wàn)件該產(chǎn)品的收入為4x萬(wàn)元，且每生產(chǎn)1萬(wàn)件國(guó)家給予補(bǔ)助萬(wàn)元(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)寫(xiě)出月利潤(rùn)f(x)(萬(wàn)元)關(guān)于月產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)月生產(chǎn)量在1,2e萬(wàn)件時(shí)，求該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)的最大值(萬(wàn)元)及此時(shí)的月生產(chǎn)量(萬(wàn)件)(注：月利潤(rùn)月銷(xiāo)售收入月國(guó)家補(bǔ)助月總成本)考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)月利潤(rùn)月銷(xiāo)售收入月國(guó)家補(bǔ)助月總成本，f(x)x1x22(e1)x2elnx2(x>0)(2)f(x)2x2(e1)(x>0)，當(dāng)x1,2e時(shí)，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表所示：x1，e)e(e,2ef(x)0f(x)極大值由上表得f(x)x22(e1)x2elnx2在1,2e上的最大值為f(e)，且f(e)e22.即月生產(chǎn)量在1,2e萬(wàn)件時(shí)，該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的月利潤(rùn)最大值為e22(萬(wàn)元)，此時(shí)的月生產(chǎn)量為e萬(wàn)件導(dǎo)數(shù)中不等式證明問(wèn)題典例已知函數(shù)f(x)xax2lnx(a>0)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(x1)f(x2)>32ln2.考點(diǎn)題點(diǎn)(1)解f(x)(x>0，a>0)，不妨設(shè)(x)2ax2x1(x>0，a>0)，(*)則關(guān)于x的方程2ax2x10的判別式18a.當(dāng)a時(shí)，0，(x)0，故f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上是減少的；當(dāng)0<a<時(shí)，>0，方程f(x)0有兩個(gè)不相等的正根x1，x2，不妨設(shè)x1<x2，則當(dāng)x(0，x1)及x(x2，)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x(x1，x2)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(0，x1)，(x2，)上是減少的，在(x1，x2)上是增加的(2)證明由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)，f(x)有極小值點(diǎn)x1和極大值點(diǎn)x2，且x1，x2是方程(*)的兩個(gè)正根，則x1x2，x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)22x1x2(lnx1lnx2)ln(2a)1lnaln21，令g(a)lnaln21，當(dāng)a時(shí)，g(a)<0，g(a)在內(nèi)是減少的，故g(a)>g32ln2，f(x1)f(x2)>32ln2.素養(yǎng)評(píng)析(1)不等式證明中，常構(gòu)造函數(shù)把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值解決(2)通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，探索論證思路，選擇合適的論證方法給予證明，這正是邏輯推理素養(yǎng)的充分體現(xiàn).1已知f(x)是定義在(0，)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足xf(x)f(x)0，對(duì)任意的正數(shù)a，b，若a<b，則必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)比較函數(shù)值的大小答案A解析設(shè)g(x)xf(x)，x(0，)，則g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在區(qū)間(0，)上是減少的或g(x)為常函數(shù)a<b，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)故選A.2用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為21，則該長(zhǎng)方體的最大體積為()A2m3B3m3C4m3D5m3考點(diǎn)幾何類(lèi)型的優(yōu)化問(wèn)題題點(diǎn)幾何體體積的最值問(wèn)題答案B解析設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，高為h3x(m)，故長(zhǎng)方體的體積為V(x)2x29x26x3，從而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去)當(dāng)0<x<1時(shí)，V(x)>0；當(dāng)1<x<時(shí)，V(x)<0，故在x1處V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值，從而最大體積VV(1)9126133(m3)3對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿(mǎn)足(x1)f(x)0，則必有()Af(0)f(2)<2f(1)Bf(0)f(2)>2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)比較函數(shù)值的大小答案D解析若f(x)不恒為0，則當(dāng)x>1時(shí)，f(x)0，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增加的，在(，1)上是減少的所以f(2)>f(1)，f(1)<f(0)，即f(0)f(2)>2f(1)若f(x)0恒成立，則f(2)f(0)f(1)綜合，知f(0)f(2)2f(1)4若函數(shù)yx3ax有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是_考點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)答案(0，)解析由題意知，y4x2a的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，16a>0，a>0.5已知函數(shù)f(x)lnx，其中aR，且曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值考點(diǎn)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求極值問(wèn)題解(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)，由f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)lnx(x>0)，則f(x)(x>0)令f(x)0，解得x1(舍)或x5.當(dāng)x(0,5)時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x(5，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(5，)內(nèi)為增函數(shù)所以函數(shù)f(x)在x5時(shí)取得極小值f(5)ln5.1導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問(wèn)題，都可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)得以解決不但如此，利用導(dǎo)數(shù)研究得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進(jìn)一步研究方程、不等式等諸多代數(shù)問(wèn)題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的各種方法2利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題