階段訓練五(范圍：12)一、選擇題1已知某商品生產(chǎn)成本c與產(chǎn)量q(0<q<200)的函數(shù)關系為c1004q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關系為p25q，利潤Lf(q)，則f(80)的值為()A1B2C3D4答案A解析由題意知f(q)pqcq(1004q)q221q100(0<q<200)，f(q)q21，f(80)80211.2設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)考點函數(shù)極值的應用題點函數(shù)極值在函數(shù)圖像上的應用答案D解析由題圖可知，當x<2時，f(x)>0；當2<x<1時，f(x)<0；當1<x<2時，f(x)<0；當x>2時，f(x)>0.由此可以得到函數(shù)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值，故選D.3函數(shù)f(x)exsinx在區(qū)間上的值域為()A.B.C.D.考點利用導數(shù)求函數(shù)的最值題點不含參數(shù)的函數(shù)求最值答案A解析f(x)ex(sinxcosx)，x，f(x)>0，則f(x)在上是增加的，f(x)minf(0)0，f(x)maxfe，函數(shù)f(x)exsinx在區(qū)間上的值域為.4函數(shù)f(x)x3x2xa在區(qū)間0,2上的最大值是3，則a的值為()A2B1C2D1答案B解析由題意得，f(x)3x22x1，令f(x)0，得x1或x(舍去)，又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，所以f(x)的最大值為a23，故a1.5已知函數(shù)f(x)ax3bx21在x1處取得極大值3，則f(x)的極小值為()A1B0C1D2考點函數(shù)的極值與導數(shù)的關系題點含參數(shù)的函數(shù)求極值問題答案C解析由題意知f(1)ab13，即ab2.因為f(x)3ax22bx，f(1)0，所以3a2b0.由得a4，b6.所以f(x)12x212x0，解得x0或x1.易知在x0處f(x)取極小值1.故選C.6已知函數(shù)f(x)axlnx，若f(x)>1在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(，1C(1，) D1，)答案D解析f(x)axlnx，f(x)>1在(1，)內(nèi)恒成立，a>在(1，)內(nèi)恒成立設g(x)，當x(1，)時，g(x)<0，即g(x)在(1，)上是減少的，g(x)<g(1)1，a1，即a的取值范圍是1，)7在三棱錐OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，則三棱錐OABC體積的最大值為()A4B8C.D.考點幾何類型的優(yōu)化問題題點幾何體體積的最值問題答案C解析Vy(0<x<3)，V2xx2x(2x)令V0，得x2或x0(舍去)所以當x2時，V取極大值且為最大值，最大值為.8.如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強度系數(shù)為k，k>0)要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，斷面的寬x應為()A.B.C.dD.d答案C解析設斷面高為h，則h2d2x2.設橫梁的強度函數(shù)為f(x)，則f(x)kxh2kx(d2x2)，0<x<d.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去負值)當0<x<d時，f(x)>0，f(x)是增加的；當d<x<d時，f(x)<0，f(x)是減少的所以函數(shù)f(x)在定義域(0，d)內(nèi)只有一個極大值點xd，所以當xd時，f(x)有最大值二、填空題9若函數(shù)f(x)x3mx21(m0)在(0,2)內(nèi)的極大值為最大值，則m的取值范圍是_考點含參數(shù)的函數(shù)最值問題題點知最值求參數(shù)答案(0,3)解析f(x)3x22mxx(3x2m)令f(x)0，得x0或x.x(0,2)，0<<2，0<m<3.10某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L15.06x0.15x2和L22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為_萬元考點函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點利用導數(shù)求解最大利潤問題答案45.6解析設甲地銷售x輛，則乙地銷售(15x)輛總利潤L5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30(x0)令L0.3x3.060，得x10.2，當x10時，L有最大值45.6.11若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立，則a的取值范圍是_考點函數(shù)最值的應用題點存在性問題答案(1，)解析因為2x(xa)<1，所以a>x.令f(x)x，所以f(x)12xln2>0，所以f(x)在(0，)上是增加的，所以f(x)>f(0)011，所以a的取值范圍為(1，)三、解答題12已知函數(shù)f(x)x(xa)lnx，其中a為常數(shù)(1)當a1時，求f(x)的極值；(2)若f(x)是區(qū)間內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍考點導數(shù)的綜合應用題點導數(shù)的綜合應用解(1)當a1時，f(x)2x1(x>0)，所以f(x)在區(qū)間(0,1)上是減少的，在(1，)上是增加的，于是f(x)有極小值f(1)0，無極大值(2)易知f(x)2xa在區(qū)間上是增加的，又由題意可得f(x)2xa0在上無解即f0或f(1)0，解得a1或a1，即a的取值范圍為(，11，)13設函數(shù)f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm對t(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，當xt時，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1，t1(不合題意，舍去)當t變化時，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1m對t(0,2)，當t1時，g(t)max1m，h(t)<2tm對t(0,2)恒成立，也就是g(t)<0對t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m<0，m>1.故實數(shù)m的取值范圍是(1，)14函數(shù)f(x)ax3ax22ax1的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.考點導數(shù)的綜合應用題點導數(shù)的綜合應用答案D解析f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過四個象限，則f(2)f(1)<0，即<0，解得a<或a>.15設函數(shù)f(x)x32ax23a2xb(0<a<1)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若當xa1，a2時，恒有|f(x)|a，試確定a的取值范圍；(3)當a時，關于x的方程f(x)0在區(qū)間1,3上恒有兩個相異的實根，求實數(shù)b的取值范圍解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)在(，a)和(3a，)上是減少的，在(a,3a)上是增加的當xa時，f(x)取得極小值，f(x)極小值f(a)ba3；當x3a時，f(x)取得極大值，f(x)極大值f(3a)b.(2)f(x)x24ax3a2，其對稱軸為x2a.因為0<a<1，所以2a<a1.所以f(x)在區(qū)間a1，a2上是減少的當xa1時，f(x)取得最大值f(a1)2a1；當xa2時，f(x)取得最小值f(a2)4a4.于是有即a1.又因為0<a<1，所以a<1.(3)當a時，f(x)x3x2xb.f(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，即f(x)在上是減少的，在上是增加的，在(2，)上是減少的要使f(x)0在1,3上恒有兩個相異實根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一個實根，于是有即解得0<b.