2.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率等.2.能用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題.3.了解直線與雙曲線相交的相關(guān)問題知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中ca，b，c間的關(guān)系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)特別提醒：(1)已知雙曲線方程為1(a>0，b>0)，可知雙曲線的漸近線方程：令1為0可得0yx，這樣便于記憶(2)雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交(3)與雙曲線1(a>0，b>0)有共同漸近線的雙曲線的方程可表示為(0)知識(shí)點(diǎn)二等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線，它的漸近線方程是yx，離心率為.1雙曲線1與1(a>0，b>0)的形狀相同()2雙曲線1與1(a>0，b>0)的漸近線相同()3等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率e.()4橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同()5雙曲線有四個(gè)頂點(diǎn)，分別是雙曲線與其實(shí)軸及虛軸的交點(diǎn)()題型一由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c，漸近線解將9y24x236化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即1，所以a3，b2，c.因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(3,0)，A2(3,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，實(shí)軸長(zhǎng)2a6，虛軸長(zhǎng)2b4，離心率e，漸近線方程為yxx.引申探究求雙曲線nx2my2mn(m>0，n>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程解把方程nx2my2mn(m>0，n>0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m>0，n>0)，由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a，虛半軸長(zhǎng)b，c，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率e，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，所以漸近線方程為yx，即yx.反思感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線9y216x2144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程求a，b，c，漸近線解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a4，虛半軸長(zhǎng)b3；c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)；離心率e；漸近線方程為yx.題型二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以直線2x3y0為漸近線，過點(diǎn)(1,2)；(2)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點(diǎn)M(3，2)；(3)過點(diǎn)(2,0)，與雙曲線1離心率相等；(4)與橢圓1有公共焦點(diǎn)，離心率為.考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程解(1)方法一由題意可設(shè)所求雙曲線方程為4x29y2(0)，將點(diǎn)(1,2)的坐標(biāo)代入方程解得32.因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二由題意可設(shè)所求雙曲線方程為1(mn>0)由題意，得解得因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)所求雙曲線方程為(0)由點(diǎn)M(3，2)在雙曲線上，得，2.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)其方程為(>0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21；當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)其方程為(>0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得<0(舍去)綜上可知，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(4)方法一由橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(3,0)，即c3且焦點(diǎn)在x軸上設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)因?yàn)閑，所以a2，則b2c2a25，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(16<<25)因?yàn)閑，所以1，解得21.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.反思感悟(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式(2)巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a>0，b>0)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為1(a>0，b>0)與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(0，b2<<a2)與雙曲線1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)漸近線為ykx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2y2(0)漸近線為axby0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2b2y2(0)跟蹤訓(xùn)練2求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長(zhǎng)為8，離心率為；(2)兩頂點(diǎn)間的距離是6，兩焦點(diǎn)的連線被兩頂點(diǎn)和中心四等分；(3)焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)(5,4)考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程解(1)由題意知，2b8，又c2a2b2，a3，b4，故雙曲線方程為1.(2)由題意知，2a6,2c4a12，又b2c2a2，a29，b227，雙曲線方程為1或1.(3)，雙曲線為等軸雙曲線，則可設(shè)雙曲線方程為x2y2(>0)，將點(diǎn)(5,4)代入雙曲線方程，得9，雙曲線方程為1.題型三雙曲線離心率問題例3設(shè)F1和F2為雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2，P(0,2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于()A.B2C.D3考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析設(shè)O為原點(diǎn)，則有|PO|2b，|OF1|c，又因?yàn)镻F1F2為等邊三角形，所以|PF1|2c.而POF1F2，所以c2(2b)2(2c)2，即4b23c2，即4c24a23c2，于是c24a2，因此e24，故e2.反思感悟求雙曲線的離心率時(shí)，可以求出a與c的值，然后根據(jù)離心率的定義求得但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能根據(jù)題目條件獲得關(guān)于a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得，這時(shí)關(guān)鍵是利用圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，再結(jié)合c2a2b2，化簡(jiǎn)為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練3過雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F引它的一條漸近線的垂線FM，垂足為M，并且交y軸于E，若M為EF的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為()A2B.C3D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案D題型四直線與雙曲線的位置關(guān)系例4已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的焦距為4，且經(jīng)過點(diǎn)(3,2)(1)求雙曲線C的方程和其漸近線方程；(2)若直線l：ykx2與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求所有滿足條件的k的取值考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)為(2,0)和(2,0)，根據(jù)定義有2a2，a1，由以上可知，a21，c24，b23，所求雙曲線C的方程為x21.漸近線方程為yx.(2)由得(3k2)x24kx70.當(dāng)3k20，即k時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線相交于一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意當(dāng)3k20，即k時(shí)，由0得k，此時(shí)直線與雙曲線相切于一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意綜上所述，符合題意的k的所有取值為，.引申探究本例條件不變，若直線y2xm被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為2，求實(shí)數(shù)m的值解設(shè)直線y2xm與雙曲線C的交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，得x24mxm230，16m24(m23)>0，得m<1或m>1，x1x24m，x1x2m23，|AB|2，解得m，適合m<1或m>1，故m.反思感悟(1)直線與雙曲線位置關(guān)系的判定方法通常把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2bxc0的形式，在a0的情況下考查方程的判別式當(dāng)>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)<0時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)當(dāng)a0時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)(2)雙曲線的弦長(zhǎng)公式與直線與橢圓相交所得的弦的長(zhǎng)度求法一樣設(shè)直線ykxb與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.跟蹤訓(xùn)練4已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，直線yx1與其相交于M，N兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)依題意可知c，方程可以化為1，將直線yx1代入，得(72a2)x22a2x8a2a40，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，解得a22，此時(shí)>0，曲線的方程為1.存在性問題需驗(yàn)證典例已知雙曲線2x2y22，過點(diǎn)B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于點(diǎn)Q1，Q2，且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的其他問題解由題意知，設(shè)Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是雙曲線上的兩點(diǎn)，則x1x2，且x1x22，y1y22，由兩式相減并變形得2，若存在，則直線l為y12(x1)，即y2x1，聯(lián)立得2x24x30，而8<0，方程無實(shí)根，即直線與雙曲線無交點(diǎn)，故不存在滿足條件的直線素養(yǎng)評(píng)析(1)利用“點(diǎn)差法”解題，其過程是無法保證直線與雙曲線相交的，因此必須對(duì)所求得直線方程的存在性進(jìn)行驗(yàn)證(2)確定好運(yùn)算方法，形成運(yùn)算程序的完備性，有利于培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)素養(yǎng).1雙曲線2x2y28的實(shí)軸長(zhǎng)是()A2B2C4D4答案C解析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故實(shí)軸長(zhǎng)為4.2設(shè)雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A4B3C2D1答案A解析方程表示雙曲線，a<0，標(biāo)準(zhǔn)方程為1，漸近線方程為yx，解得a4.3已知雙曲線1(a0)的右焦點(diǎn)為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()A.B.C.D.答案C解析由題意知a259, 解得a2，則e.4設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析由條件知2b2,2c2，b1，c，a2c2b22，即a.雙曲線的漸近線方程為yxx.5已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|4，求直線l的方程考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)實(shí)軸長(zhǎng)為2，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)，2a2，即a，c，b2c2a22，雙曲線C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為y2xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得10x212mx3(m22)0，由24(m210)>0，得|m|>，又x1x2，x1x2，|AB|4，解得m，滿足|m|>，直線l的方程為y2x或y2x.1通過雙曲線方程可以討論雙曲線的幾何性質(zhì)，通過雙曲線的幾何性質(zhì)也可以得到雙曲線方程2漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)右邊的常數(shù)“1”換為“0”，就是漸近線方程反之由漸近線方程axby0變?yōu)閍2x2b2y2，再結(jié)合其他條件求得就可得雙曲線方程3直線與雙曲線的位置關(guān)系可以通過聯(lián)立直線方程與雙曲線方程得到的方程來判斷，首先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，若不為零，再利用來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系.一、選擇題1下列雙曲線中，漸近線方程為y2x的是()Ax21B.y21Cx21D.y21答案A解析由雙曲線漸近線方程的求法知，雙曲線x21的漸近線方程為y2x，故選A.2雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A2B2C.D1答案A解析雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(4,0)，其中一條漸近線方程為yx，點(diǎn)F(4,0)到xy0的距離為2.3已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率等于，則雙曲線C的方程是()A.1B.1C.1D.1答案B解析依題意得，c3，e，所以a2，從而a24，b2c2a25，故選B.4直線ykx1與雙曲線1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值為()AkBkCk或kDk答案C解析將直線方程代入雙曲線方程，得(94k2)x28kx400.當(dāng)94k20，即k時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)94k20，0時(shí)，k，此時(shí)直線與雙曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)5若實(shí)數(shù)k滿足0<k<5，則曲線1與曲線1的()A實(shí)半軸長(zhǎng)相等B虛半軸長(zhǎng)相等C離心率相等D焦距相等答案D解析因?yàn)?<k<5，所以兩曲線都表示雙曲線在1中，a216，b25k.在1中，a216k，b25.由c2a2b2知，兩雙曲線的焦距相等，故選D.6雙曲線1和橢圓1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長(zhǎng)的三角形是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形答案B解析雙曲線的離心率e1，橢圓的離心率e2，由e1e21，得(a2b2)(m2b2)a2m2，故a2b2m2，因此三角形為直角三角形7設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D3答案B解析不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|r1，|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a.又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(負(fù)值舍去)故e，故選B.二、填空題8與雙曲線x21有共同的漸近線，且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案1解析設(shè)所求雙曲線方程為x2，將點(diǎn)(2,2)代入，可得3，雙曲線方程為1.9過雙曲線x21的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為的弦AB，則|AB|_.考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)與三角形的面積答案3解析易得雙曲線的左焦點(diǎn)F1(2,0)，直線AB的方程為y(x2)，與雙曲線方程聯(lián)立，得8x24x130.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|3.10已知雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)在圓x2y22x80上，則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析由已知得一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，故雙曲線方程為1，雙曲線的漸近線方程為yx.11已知雙曲線C：1的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(4，)解析等軸雙曲線的離心率為，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線更開闊，雙曲線C：1的離心率e，即2，m4.三、解答題12過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，點(diǎn)F1是另一個(gè)焦點(diǎn)，若PF1Q90，求雙曲線的離心率解設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，由題意知在焦點(diǎn)三角形F1PF2中，|PF1|2c，|PF2|2c，又|PF1|PF2|2a，故有e1.13已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2，)(1)求雙曲線C的方程；(2)已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x2y25上，求m的值考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)由題意有解得雙曲線C的方程是x21.(2)由消去y得x22mxm220，4m24(m22)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22m，y1y2x1x22m4m，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是x0m，y02m，又(m,2m)在圓x2y25上，m2(2m)25，解得m1.14已知F是雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_答案(1,2)解析要使ABE是銳角三角形，只需滿足AEB為銳角又ABE是等腰三角形，其中|AE|BE|，所以只需滿足AEF45.在RtAFE中，tanAEF1，即c2ac2a20，兩邊同除以a2，得e2e20，所以1e2.又e1，所以離心率e的取值范圍是(1,2)15已知雙曲線C1：x21.(1)求與雙曲線C1有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P(4，)的雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：yxm分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)3時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的其它問題解(1)雙曲線C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，設(shè)雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，則解得所以雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)雙曲線C1的漸近線方程為y2x，y2x，設(shè)A(x1,2x1)，B(x2，2x2)，由消去y化簡(jiǎn)得3x22mxm20，由(2m)243(m2)16m2>0，得m0.因?yàn)閤1x2，x1x22x1(2x2)3x1x2m2，所以m23，即m.