第一講 直線與圓一、選擇題1“ab4”是“直線2xay10與直線bx2y20平行”的()A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件解析：因?yàn)閮芍本€平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又當(dāng)a1，b4時(shí)，滿足ab4，但是兩直線重合，故選C.答案：C2已知圓(x1)2y21被直線xy0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為()A12B13C14D15解析：(x1)2y21的圓心為(1,0)，半徑為1.圓心到直線的距離d，所以較短弧所對的圓心角為，較長弧所對的圓心角為，故兩弧長之比為12，故選A.答案：A3(2018臨沂模擬)已知直線3xay0(a0)被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則a的值為()A.B.C2D2解析：由已知條件可知，圓的半徑為2，又直線被圓所截得的弦長為2，故圓心到直線的距離為，即，得a.答案：B4(2018濟(jì)寧模擬)已知圓C過點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，且圓心C在直線xy4上，若直線x2yt0與圓C相切，則t的值為()A62B62C26D64解析：因?yàn)閳AC過點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，所以圓心C在線段AB的垂直平分線yx上，又圓心C在直線xy4上，聯(lián)立，解得xy2，即圓心C(2,2)，圓C的半徑r2.又直線x2yt0與圓C相切，所以2，解得t62.答案：B5(2018南昌第一次模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y2x1與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，則cosAOB()A.BC.D解析：因?yàn)閳Ax2y24的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y2x1的距離d，所以弦長|AB|22.在AOB中，由余弦定理得cosAOB.答案：D6(2018合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，計(jì)算出弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有1，解得k ，綜上，直線l的方程為x0或3x4y120，故選B.答案：B7已知圓O：x2y21，點(diǎn)P為直線1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)()A(，)B(，)C(，0)D(0，)解析：因?yàn)辄c(diǎn)P是直線1上的一動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)P(42m，m)因?yàn)镻A，PB是圓x2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以O(shè)APA，OBPB，所以點(diǎn)A，B在以O(shè)P為直徑的圓C上，即弦AB是圓O和圓C的公共弦因?yàn)閳A心C的坐標(biāo)是(2m，)，且半徑的平方r2，所以圓C的方程為(x2m)2(y)2，又x2y21，所以得，(2m4)xmy10，即公共弦AB所在的直線方程為(2xy)m(4x1)0，所以由得所以直線AB過定點(diǎn)(，)故選B.答案：B8若過點(diǎn)A(1,0)的直線l與圓C：x2y26x8y210相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，l與直線x2y20的交點(diǎn)為N，則|AM|AN|的值為()A5B6C7D8解析：圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x3)2(y4)24，故圓心為C(3,4)，半徑為2，則可設(shè)直線l的方程為kxyk0(k0)，由得N，又直線CM與l垂直，得直線CM的方程為y4(x3)由得M，則|AM|AN|.6.故選B.答案：B二、填空題9(2018高考全國卷)直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.解析：由x2y22y30，得x2(y1)24.圓心C(0，1)，半徑r2.圓心C(0，1)到直線xy10的距離d，|AB|222.答案：210(2018江蘇三市三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)B(1，1)，P為圓x2y22上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是_解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，令t(t0)，則t2，整理得，(1t2)x2(1t2)y22x(24t2)y24t20，(*)易知當(dāng)1t20時(shí)，(*)式表示一個(gè)圓，且動(dòng)點(diǎn)P在該圓上，又點(diǎn)P在圓x2y22上，所以點(diǎn)P為兩圓的公共點(diǎn)，兩圓方程相減得兩圓公共弦所在直線l的方程為x(12t2)y23t20，所以圓心(0,0)到直線l的距離d，解得0t2，所以的最大值為2.答案：2三、解答題11已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且圓C與圓M：(x2)2(y2)2r2(r0)關(guān)于直線xy20對稱(1)求圓C的方程；(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值解析：(1)設(shè)圓心C(a，b)，則解得則圓C的方程為x2y2r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r22，故圓C的方程為x2y22.(2)設(shè)Q(x，y)，則x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2，令xcos ，ysin ，則xy2(sin cos )22sin2，所以的最小值為4.12已知圓C：x2y22x4y30.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)解析：(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)22.當(dāng)此切線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)此切線方程為ykx，由，得k2，此切線方程為y(2)x.當(dāng)此切線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)此切線方程為xya0，由，得|a1|2，即a1或a3.此切線方程為xy10或xy30.綜上，此切線方程為y(2)x或y(2)x或xy10或xy30.(2)由|PO|PM|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2，即xy(x11)2(y12)22，整理得2x14y130，即點(diǎn)P在直線l：2x4y30上，當(dāng)|PM|取最小值時(shí)，|PO|取最小值，此時(shí)直線POl，直線PO的方程為2xy0.解方程組得故使|PM|取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.