第3講 立體幾何中的熱點(diǎn)問題配套作業(yè)一、選擇題1設(shè)a，b，c是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則ab的一個(gè)充分不必要條件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案D解析對(duì)于C，在平面內(nèi)存在cb，因?yàn)閍，所以ac，故ab；A，B中，直線a，b可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直線；D中一定推出ab.2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為BD1的中點(diǎn)，則PAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是()A B C D答案B解析由題可知平面APC平面ABCD，且點(diǎn)P在各個(gè)面內(nèi)的正投影均為正方形的中心根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮PAC在底面、后面、右面的正投影即可顯然PAC在底面的正投影為正方形的對(duì)角線，在后面與右面的正投影相同，均為等腰直角三角形，故選B.3如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案A解析由平面圖形得AHHE，AHHF，又HEHFH，所以AH平面EFH，故選A.4如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖是(用代表圖形)()A BC D答案B解析正視圖應(yīng)為邊長(zhǎng)為3和4的長(zhǎng)方形，且正視圖中右上到左下的對(duì)角線應(yīng)為實(shí)線，故正視圖為；側(cè)視圖應(yīng)為邊長(zhǎng)為4和5的長(zhǎng)方形，且側(cè)視圖中左上到右下的對(duì)角線應(yīng)為實(shí)線，故側(cè)視圖為；俯視圖應(yīng)為邊長(zhǎng)為3和5的長(zhǎng)方形，且俯視圖中左上到右下的對(duì)角線應(yīng)為實(shí)線，故俯視圖為，故選B.5如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，所以AB平面ADC，即平面ABC平面ADC，故選D.6如圖，E是正方體ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，BD1平面B1CE，則()ABD1CEBAC1BD1CD1E2EC1DD1EEC1答案D解析設(shè)B1CBC1O，如圖，BD1平面B1CE，平面BC1D1平面B1CEOE，所以BD1OE.因?yàn)镺為BC1的中點(diǎn)，所以E為C1D1的中點(diǎn)，所以D正確；由異面直線的定義知BD1，CE是異面直線，故A錯(cuò)；在矩形ABC1D1中，AC1與BD1不垂直，故B錯(cuò)，C顯然是錯(cuò)的，所以選D.7(2018甘肅二診)已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1，AB4，若在棱AB上存在點(diǎn)P，使得D1PPC，則AD的取值范圍是()A(0,1 B(0,2 C(1， D1,4)答案B解析連接DP，由D1PPC，DD1PC，且D1P，DD1是平面DD1P上兩條相交直線，得PC平面DD1P，PCDP，即點(diǎn)P在以CD為直徑的圓上，又點(diǎn)P在AB上，則AB與圓有公共點(diǎn)，即0ADCD2，故選B.二、填空題8(2017泉州模擬)點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，給出下列命題：三棱錐AD1PC的體積不變；A1P平面ACD1；DPBC1；平面PDB1平面ACD1.其中正確的命題序號(hào)是_答案解析對(duì)于，VAD1PCVPAD1C點(diǎn)P到面AD1C的距離，即為線BC1與面AD1C的距離，為定值，故正確；對(duì)于，因?yàn)槊鍭1C1B面AD1C，所以線A1P面AD1C，故正確；對(duì)于，DB與BC1就成60角，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由于B1D面ACD1，所以面B1DP面ACD1，故正確9已知正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)P是線段AC1上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BPD最大時(shí)，APAC1_.答案14解析連接AC，BD，交于點(diǎn)O，連接OP，顯然OPBD，BPD2BPO，要使BPD最大，只需BPO最大，只需OP最小，此時(shí)OPAC1.由平面幾何的知識(shí)易得，當(dāng)OPAC1時(shí)，APAC114.10(2018山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐DABC，當(dāng)三棱錐DABC的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為_答案解析依題意知，平面ADC平面ABC時(shí)，點(diǎn)D到平面ABC的距離最大，易知，此時(shí)三棱錐DABC外接球的球心是棱AB的中點(diǎn)，所以其外接球的體積為.11.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，且DFFD1，如果B1E平面ABF，則B1E的長(zhǎng)度為_答案解析取CC1的中點(diǎn)為G，連接BG，F(xiàn)G，因?yàn)锽1EAF，所以B1EBG，從而GBCBB1E.所以tanGBCBB1E，所以E為BC的中點(diǎn)，從而有B1E.三、解答題12(2018北京西城一模)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，PAAC，過點(diǎn)A的平面與棱PB，PC，PD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G(E，F(xiàn)，G三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處)直線AE是否可能與平面PCD平行？證明你的結(jié)論解直線AE與平面PCD不可能平行證明如下：假設(shè)AE平面PCD.因?yàn)锳BCD，AB平面PCD，所以AB平面PCD.而AE平面PAB，AB平面PAB，AEABA，所以平面PAB平面PCD，這與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，即AE與平面PCD不可能平行13如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12，BAD60，AC交BD于點(diǎn)O.將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐BACD，如圖2所示，M，N分別是棱BC，AD的中點(diǎn)，且DM6.(1)求證：OD平面ABC；(2)求三棱錐MABN的體積解(1)證明：四邊形ABCD是菱形，ADDC，ODAC，在ADC中，ADDC12，ADC120，則易得OD6.連接OM，M是BC的中點(diǎn)，OMBC6，又MD6，OD2OM2MD2，DOOM，OM平面ABC，AC平面ABC，OMACO，OD平面ABC.(2)取線段AO的中點(diǎn)E，連接NE.N是棱AD的中點(diǎn)，NEDO3，且NEDO.由(1)得OD平面ABC，NE平面ABC，在ABM中，AB12，BM6，ABM120，SABMABBMsinABM12618.V三棱錐MABNV三棱錐NABMSABMNE18.14(2018北京東城區(qū)期末)已知ABD和BCD是兩個(gè)直角三角形，BADBDC，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABD沿BD邊折起到A1BD的位置，如圖所示，使平面A1BD平面BCD.(1)求證：EF平面BCD；(2)求證：平面A1BC平面A1CD；(3)問A1C與BD是否有可能垂直？做出判斷并說明理由解(1)證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，所以EFBD，因?yàn)镋F平面BCD，BD平面BCD，所以EF平面BCD.(2)證明：因?yàn)槠矫鍭1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，CDBD，所以CD平面A1BD.因?yàn)锳1B平面A1BD，所以CDA1B，因?yàn)锳1BA1D，A1DCDD，所以A1B平面A1CD.因?yàn)锳1B平面A1BC，所以平面A1BC平面A1CD.(3)A1C與BD不可能垂直理由如下：假設(shè)A1CBD，因?yàn)镃DBD，A1CCDC，所以BD平面A1CD，所以BDA1D，與A1BA1D矛盾，故A1C與BD不可能垂直