專題01 集合與常用邏輯用語(yǔ)一、集合1元素與集合之間有且僅有“屬于（）”和“不屬于（）”兩種關(guān)系，且兩者必居其一.2集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性.3常用數(shù)集及其記法：集合非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集符號(hào)或注意：實(shí)數(shù)集不能表示為x|x為所有實(shí)數(shù)或，因?yàn)椤?”包含“所有”“全體”的含義.4理解子集、真子集的概念，知道由“若，有”得是的子集，記作；上述條件下，若“，”得是的真子集，記作.注意子集表示符號(hào)“”與元素和集合關(guān)系符號(hào)“”的區(qū)別.5給定一個(gè)集合，能夠?qū)懗銎渥蛹⒄孀蛹?、非空子集的個(gè)數(shù)，如給定集合的元素個(gè)數(shù)為，則其子集、真子集、非空子集的個(gè)數(shù)分別為.6交集：，取兩個(gè)集合的公共元素組成集合；并集：，取兩個(gè)集合所有元素組成集合；補(bǔ)集：，取全集中不屬于集合A的元素組成集合.注意：（1）空集不含任何元素，在解題過(guò)程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問(wèn)題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解.（2）集合的運(yùn)算順序，如表示先計(jì)算A的補(bǔ)集，再進(jìn)行并集計(jì)算；則表示先進(jìn)行A與B的并集計(jì)算，再進(jìn)行補(bǔ)集計(jì)算.二、四種命題及其關(guān)系1四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若，則逆否命題若，則2四種命題間的關(guān)系三、充分條件、必要條件1充分條件與必要條件的概念（1）若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）若pq且qp，則p是q的充分不必要條件；（3）若pq且qp，則p是q的必要不充分條件；（4）若pq，則p是q的充要條件； （5）若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.2判斷充分條件、必要條件的方法：（1）定義法：尋找之間的推理關(guān)系，即對(duì)“若則”的真假進(jìn)行判斷，獲得結(jié)論；（2）集合法：借助集合間的基本關(guān)系進(jìn)行充分性與必要性的判斷；（3）等價(jià)法：借助原命題與逆否命題的真假等價(jià)性進(jìn)行判斷.四、邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞1常見(jiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非一般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作，讀作“p且q”；用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作，讀作“p或q”；對(duì)一個(gè)命題p的結(jié)論進(jìn)行否定，得到一個(gè)新命題，記作，讀作“非p”2復(fù)合命題的真假判斷“p且q”“p或q”“非p”形式的命題的真假性可以用下面的表（真值表）來(lái)確定：pq真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假3全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見(jiàn)量詞符號(hào)表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等存在量詞存在一個(gè)、至少一個(gè)、有些、某些等4含有一個(gè)量詞的命題的否定全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如下所示：命題命題的否定一、考查集合間的基本關(guān)系【例1】已知集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)為A BC D【答案】B【解析】集合，故集合的子集的個(gè)數(shù)為.故選B.【名師點(diǎn)睛】對(duì)于集合間的基本關(guān)系，高考中一般考查求子集的個(gè)數(shù)或由集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.二、考查集合的基本運(yùn)算【例2】已知集合，則A BC D【答案】C【解析】由已知得，則，又，故，故選C.【例3】已知集合，則A BC D【答案】C【解析】集合，.集合，.故選C【名師點(diǎn)睛】集合間的運(yùn)算問(wèn)題，常和函數(shù)等其他知識(shí)相結(jié)合，求解時(shí)注意區(qū)分是求有限集間集合的運(yùn)算還是無(wú)限集間集合的運(yùn)算，若是有限集間集合的運(yùn)算問(wèn)題，一般使用定義法和Venn圖法；若是無(wú)限集間集合的運(yùn)算，則一般用數(shù)軸求解.三、充分條件、必要條件【例4】已知條件p：函數(shù)的定義域，條件，則是的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】依題意，要使函數(shù)有意義，則，得x<-3或，故命題p：x<-3或.由5x-6>x2得2<x<3，則q:2<x<3，則，但p不能推出q，故p是q的充分不必要條件【例5】已知，若的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A B C D【答案】A【解析】由基本不等式得，由，又因?yàn)榈囊粋€(gè)充分不必要條件是，則，故選A.【名師點(diǎn)睛】注意區(qū)分A是B的充分條件與A的充分條件是B：（1）“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，即BA且AB；（2）“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A，即AB且.四、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷【例6】已知命題： ，；命題：，則下列命題中為真命題的是A BC D【答案】A【解析】，故為假命題，為真命題.因?yàn)?，所以命題：，為假命題，所以為真命題，則為真命題，故選A【名師點(diǎn)睛】（1）判斷“”、“”形式復(fù)合命題真假的步驟：第一步，確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；第二步，判斷簡(jiǎn)單命題p、q的真假；第三步，根據(jù)真值表作出判斷注意：一真“或”為真，一假“且”為假（2）不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題，通過(guò)辨析命題中詞語(yǔ)的含義和實(shí)際背景，弄清其構(gòu)成形式（3）當(dāng)為真，p與q一真一假；為假時(shí)，p與q至少有一個(gè)為假.五、全稱命題與特稱命題【例7】下列命題中是假命題的是A使 B，函數(shù)都不是偶函數(shù)C使是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減D，函數(shù)有零點(diǎn)【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，如當(dāng)時(shí)，所以選項(xiàng)A的命題為真命題；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，因此選項(xiàng)B中的命題為假命題；對(duì)于選項(xiàng)C，如當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)C中的命題為真命題；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)有零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D中的命題為真命題.【名師點(diǎn)睛】全稱命題與特稱命題的真假判斷在高考中出現(xiàn)時(shí)，常與數(shù)學(xué)中的其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，題型以選擇題為主，難度一般不大.【例8】已知命題，則命題的否定為A BC D【答案】C 【解析】全稱命題的否定為特稱命題，故其否定為.故選C.【名師點(diǎn)睛】全稱（或特性）命題的否定與命題的否定有著一定的區(qū)別，全稱（或特性）命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞（或存在量詞改為全稱量詞），并把結(jié)論否定，而命題的否定則直接否定結(jié)論即可從命題形式上看，全稱命題的否定是特征命題，特征命題的否定是全稱命題 1已知集合，則實(shí)數(shù)a的值為A1 B0 C1 D2【答案】A 2命題“x0R,+x0+1<0”的否定為A“x0R,+x0+10” B“x0R,+x0+10”C“xR,x2+x+10” D“xR,x2+x+1<0”【答案】C 【解析】本題考查全稱量詞與存在量詞易知原命題的否定為“xR,x2+x+10”3設(shè),那么等于A BC D【答案】B【解析】因?yàn)?所以4已知集合P=x|0<x<4,Q=x|x=,yP,則Ax|0<x<2 Bx|0<x<4Cx|2x<4 Dx|x0或x>2【答案】C【解析】因?yàn)镻=x|0<x<4,所以Q=x|0<x<2,所以=x|x0或x2,則,故選C5已知命題p:x>0,x+4,命題q:x0(0,+),則下列判斷正確的是Ap是假命題Bq是真命題Cp(q)是真命題D( p)q是真命題【答案】C【解析】由基本不等式,知p為真命題;由,知x0=-1,故q為假命題所以p(q)為真命題,故選C6已知命題: “關(guān)于的方程有實(shí)根”,若非為真命題的充分不必要條件為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A BC D【答案】A【解析】由命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，得，則，所以非為真命題時(shí)，.又是的充分不必要條件，所以，即，則m的取值范圍為.所以選A.7命題:若，則，其否命題是_.【答案】若a<2，則a2<4【解析】根據(jù)否命題的定義，原命題為：若，則，則否命題為：若a<2，則a2<4.8已知條件p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命題,p(2)是真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】3,8)【解析】由p(1)是假命題,知12+21-m=3-m0,得m3;又由p(2)是真命題,知22+22-m=8-m>0,得m<8所以m的取值范圍是3,8).9下面四個(gè)命題：命題“”的否定是“”；:向量，則是的充分且必要條件；：“在中，若，則”的逆否命題是“在中，若，則”；：若“”是假命題，則是假命題.其中為真命題的是_.（填所有真命題的序號(hào)）【答案】【解析】對(duì)于：命題“”的否定是“”，所以是假命題；對(duì)于:向量，所以等價(jià)于mn=0即m=n，則是的充分且必要條件，所以是真命題；對(duì)于：“在中，若，則”的逆否命題是“在中，若，則”，所以是真命題；對(duì)于：若“”是假命題，則p或q是假命題，所以是假命題.故填.10設(shè)有兩個(gè)命題，:關(guān)于的不等式（,且）的解集是；:函數(shù)的定義域?yàn)?如果為真命題，為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】易知p:0<a<1.函數(shù)的定義域?yàn)镽，等價(jià)于，則：，解得：，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.1（2018新課標(biāo)全國(guó)文科）已知集合，則ABCD 【答案】A【解析】根據(jù)集合的交集中元素的特征，可以求得AB=0,2，故選A.2（2018新課標(biāo)全國(guó)文科）已知集合，則ABCD【答案】C【解析】易得集合,所以，故選C.3（2017新課標(biāo)全國(guó)文科）已知集合A=，B=，則AAB=BABCABDAB=R【答案】A【解析】由得，所以，選A4（2017新課標(biāo)全國(guó)文科）設(shè)集合，則 A BC D【答案】A【解析】由題意，故選A.5（2018天津文科）設(shè)，則“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】求解不等式x3>8可得x>2，求解絕對(duì)值不等式x>2可得x>2或x<-2，據(jù)此可知：“x3>8”是“|x|>2” 的充分而不必要條件.故選A