第三章 概率1辨析頻率與概率概率與頻率雖只有一字之差，但意義大不相同，同時二者之間又有一定的聯(lián)系下面和同學(xué)們一起認(rèn)識一下這對“孿生兄弟”一、頻率與概率的區(qū)別頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，它的值等于隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比頻率是隨機(jī)的，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗得到的某事件發(fā)生的頻率不一定相同而概率是一個確定的值，是客觀存在的，與每次試驗無關(guān)，與試驗次數(shù)也無關(guān)例1連續(xù)拋擲一枚硬幣10次，落地后正面向上出現(xiàn)了6次，設(shè)“拋一次硬幣，正面向上”為事件A，則下列說法正確的有_P(A)；P(A)；再連續(xù)拋擲該硬幣10次，落地后出現(xiàn)正面的次數(shù)還是6；事件A發(fā)生的頻率為；無論哪一次拋，硬幣落地后正面向上的概率相同解析正確在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為，再連續(xù)拋擲該硬幣10次，落地后出現(xiàn)正面的次數(shù)不確定答案點評頻率的隨機(jī)性和概率的確定性是二者的本質(zhì)區(qū)別二、頻率與概率的聯(lián)系1在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，頻率總是在某個常數(shù)附近擺動由于事件的隨機(jī)性，有時候頻率也可能出現(xiàn)偏離該“常數(shù)”較大的情形，但隨著試驗次數(shù)的增加，這種情形出現(xiàn)的可能性會減小概率是頻率的穩(wěn)定值，可看作是頻率在理論上的平均值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小2在實際問題中，某些隨機(jī)事件的概率往往難以確切的得到，因此我們常常通過大量的重復(fù)試驗，用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計概率例2一個不透明的袋中裝有大小質(zhì)地相同的紅、白兩種顏色的小球，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，每次從袋中摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻后再摸試驗的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：摸球次數(shù)306090120150180210270300摸到紅球的次數(shù)6253138455367摸到紅球的頻率0.3000.247(1)將表格補(bǔ)充完整；(所求頻率保留3位小數(shù))(2)估計從中隨機(jī)摸一個球，求摸到紅球的概率P.(保留2位小數(shù))解(1)第二行依次填：18,74.第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248.(2)由(1)知，雖然抽取次數(shù)不同，所得頻率值不同，但隨試驗次數(shù)的增加，頻率在常數(shù)0.250附近擺動，故P0.25.點評只有當(dāng)頻率值在某一常數(shù)附近擺動時，才能將此常數(shù)近似看作該事件發(fā)生的概率現(xiàn)實生活中很多事件的概率是難以確切得到的，鑒于隨機(jī)事件的發(fā)生帶有隨機(jī)性的同時又存在一定的規(guī)律性，故一般通過大量的重復(fù)試驗，用隨機(jī)事件的頻率來估計概率.2概率加法公式應(yīng)用點撥概率的加法公式是計算概率的一個最基本的公式，根據(jù)它可以計算一些復(fù)雜事件的概率概率的加法公式可推廣為若事件A1，A2，An彼此互斥(兩兩互斥)，則P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各個事件發(fā)生的概率之和用此公式時，同學(xué)們首先要判斷事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式下面舉例說明概率加法公式的應(yīng)用一、計算互斥事件和的概率例1由經(jīng)驗得知，某市某大型超市付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下表：排隊人數(shù)012345人以上概率0.100.160.300.30.100.04求：(1)至多2人排隊的概率；(2)至少2人排隊的概率解(1)記“沒有人排隊”為事件A，“1人排隊”為事件B，“2人排隊”為事件C，則A，B，C彼此互斥P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.100.160.300.56.(2)記“至少2人排隊”為事件D，“少于2人排隊”為事件AB，那么事件D與事件AB是對立事件，則P(D)P()1P(A)P(B)1(0.100.16)0.74.點評應(yīng)用概率加法公式求概率的前提有兩個：一是所求事件是幾個事件的和，二是這幾個事件彼此互斥在應(yīng)用概率加法公式前，一定要弄清各事件之間的關(guān)系，把一個事件分拆為幾個彼此互斥的事件的和，再應(yīng)用公式求解所求概率二、求解“至少”與“至多”型問題例2甲、乙、丙、丁四人同時參加一等級考試，已知恰有1人過關(guān)(事件A)的概率為0.198，恰有2人過關(guān)(事件B)的概率為0.38，恰有3人過關(guān)(事件C)的概率為0.302,4人都過關(guān)(事件D)的概率為0.084.求：(1)至少有2人過關(guān)的概率P1；(2)至多有3人過關(guān)的概率P2.分析“至少有2人過關(guān)”即事件BCD.“至多有3人過關(guān)”即事件A，B，C與事件“4人均未過關(guān)”的并事件，其對立事件為D.(注意“4人均未過關(guān)”這種可能情況)解由條件知，事件A，B，C，D彼此互斥(1)P1P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.766.(2)P2P()1P(D)10.0840.916.點評處理“至多”“至少”型問題，既可以分情況討論，也可以從反面考慮，即借助對立事件的概率間接求解當(dāng)事件包含的情況較多時，常利用P(A)1P()求P(A)三、列方程求解概率問題例3某班級同學(xué)的血型分別為A型、B型、AB型、O型，從中任取一名同學(xué)，其血型為AB型的概率為0.09，為A型或O型的概率為0.61，為B型或O型的概率為0.6，試求任取一人，血型為A型、B型、O型的概率各是多少？分析設(shè)出所求事件的概率，將題中涉及到的事件用所求事件表示出來，借助這些事件的概率及公式，列方程求解即可解記“任取一人，血型為A型”，“任取一人，血型為B型”，“任取一人，血型為AB型”，“任取一人，血型為O型”分別為事件E，F(xiàn)，G，H，顯然事件E，F(xiàn)，G，H兩兩互斥故解得所以任取一人，血型為A型、B型、O型的概率分別為0.31、0.3、0.3.點評本題很好地應(yīng)用了全體事件的和為必然事件這一點挖掘題目中的隱含條件并合理利用是解決某些問題的關(guān)鍵，同學(xué)們應(yīng)注重這種能力的培養(yǎng).3隨機(jī)事件的概率結(jié)論1概率大的隨機(jī)事件不一定意味著肯定發(fā)生在一次試驗中，概率大的隨機(jī)事件的發(fā)生不一定優(yōu)于概率小的隨機(jī)事件的發(fā)生釋義對于概率的大小問題，只能說明相對于同一隨機(jī)事件而言，概率大的發(fā)生的可能性大，概率小的發(fā)生的可能性小例1在一次試驗中，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是0.3，隨機(jī)事件B發(fā)生的概率是0.7，你認(rèn)為如果做一次試驗，可能出現(xiàn)B不發(fā)生A發(fā)生的現(xiàn)象嗎？為什么？解這是可能的因為隨機(jī)事件B的發(fā)生概率大于隨機(jī)事件A的發(fā)生概率，但并不意味著在一次試驗中隨機(jī)事件B的發(fā)生一定優(yōu)于隨機(jī)事件A的發(fā)生，隨機(jī)事件的發(fā)生是不確定的結(jié)語結(jié)論1實現(xiàn)實際生活中小概率事件發(fā)生的可能性對于概率問題，必須注意的是概率是相對于大量重復(fù)試驗的前提下得到的理論值，但在少數(shù)的有限試驗中，概率不一樣的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性無法確定結(jié)論2概率是由巨大數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結(jié)論，是一種大的整體的趨勢；而頻率是數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結(jié)果，是一種具體的趨勢和規(guī)律概率可以看作頻率在理論上的期望值釋義概率與頻率的關(guān)系是整體與具體、理論與實踐、戰(zhàn)略與戰(zhàn)術(shù)的關(guān)系，頻率隨著隨機(jī)事件次數(shù)的增加會趨向于概率在處理具體的隨機(jī)事件時，用概率作指導(dǎo)，以頻率為依據(jù)例2在某次射擊比賽中，甲運(yùn)動員在決賽中以0.2環(huán)的微弱優(yōu)勢戰(zhàn)勝了乙運(yùn)動員，摘得該項的金牌下表是兩人在參賽前訓(xùn)練中擊中10環(huán)以上的次數(shù)統(tǒng)計：甲運(yùn)動員：射擊次數(shù)n102050100200500擊中10環(huán)以上的次數(shù)m9174492179450擊中10環(huán)以上的頻率乙運(yùn)動員：射擊次數(shù)n102050100200500擊中10環(huán)以上的次數(shù)m8194493177453擊中10環(huán)以上的頻率請根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)回答以下問題：(1)分別計算出兩位運(yùn)動員擊中10環(huán)以上的頻率；(2)根據(jù)(1)中計算的結(jié)果預(yù)測兩位運(yùn)動員在該比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率解(1)兩運(yùn)動員擊中10環(huán)以上的頻率分別為：甲：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；乙：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906；(2)由(1)中的數(shù)據(jù)可知兩位運(yùn)動員擊中10環(huán)以上的頻率都集中在0.9這個數(shù)的附近，所以可以預(yù)測兩位運(yùn)動員在該比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率為0.9，即兩人的實力相當(dāng)結(jié)語結(jié)論2實現(xiàn)頻率與概率既有聯(lián)系又有區(qū)別，頻率隨著隨機(jī)事件的試驗次數(shù)的不斷增加而趨向于概率結(jié)論3兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立釋義對立事件是互斥事件的一個特例，兩個互斥事件不一定是對立事件，而兩個對立事件必為互斥事件例3一個不透明的袋中裝入4個白球與4個黑球，從中任意摸出3個球(1)可能發(fā)生哪些事件？(2)指出其中每個事件的互斥事件；(3)事件“至少摸出1個白球”是哪幾個事件的和事件？它的對立事件是哪個事件？解(1)以白球或黑球的個數(shù)作為討論標(biāo)準(zhǔn)，可能發(fā)生下列事件：摸出3個白球，記為事件A；摸出2個白球，1個黑球，記為事件B；摸出1個白球，2個黑球，記為事件C；摸出3個黑球，記為事件D；(2)事件A，B，C，D彼此互斥；(3)“至少摸出1個白球”的事件為A，B，C的和事件，即“至少摸出1個白球”的對立事件是D.結(jié)語結(jié)論3實現(xiàn)對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別特別在解答一些問題時，在把復(fù)雜事件加以分解的事件個數(shù)不是太多的情況下，可以把所有的事件羅列下來，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念加以辨析.4點擊互斥事件一、互斥事件、對立事件的概念1“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，也就是說互斥事件至多有一個發(fā)生，也有可能兩個都不發(fā)生，而對立事件是其中必有一個發(fā)生的互斥事件因此，對立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說對立事件是互斥事件的充分不必要條件2從集合的角度理解：兩個互斥事件對應(yīng)的基本事件所組成的集合的交集為空集，并集可能是全集，也可能不是全集；當(dāng)A，B是對立事件時，其交集為空集，并集是全集3互斥事件之間的關(guān)系中的“不能同時發(fā)生”體現(xiàn)了分類討論的原則“不重復(fù)”，而“不遺漏”則表現(xiàn)在所有互斥事件的和是整個事件(必然事件)二、例題點擊1互斥事件、對立事件的判斷例1從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球，那么互斥但不對立的事件是()A至少有1個紅球與都是紅球B至少有1個黑球與至少有1個紅球C恰有1個黑球與恰有2個紅球D至少有1個黑球與都是紅球解析“從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個球”這一事件共包含3個基本事件：(紅，紅)，(黑，黑)，(紅，黑)，故恰有1個黑球與恰有2個紅球互斥但不對立，所以選C.答案C評注借助于列舉基本事件，結(jié)合定義，易判斷出互斥與對立事件2互斥事件的計算例2袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中任取1只，有放回地抽取3次，求3只顏色不全相同的概率解記“3只顏色全相同”為事件A，則所求事件為A的對立事件因為“3只顏色全相同”又可分為“3只全是紅球(事件B)”“3只全是黃球(事件C)”“3只全是白球(事件D)”，且它們彼此互斥，故3只顏色全相同即為事件BCD，由于紅球、黃球、白球的個數(shù)一樣，故有P(B)P(C)P(D)，所以P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)，因此有P()1.答3只顏色不全相同的概率是.評注本題可將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，但比較麻煩，故轉(zhuǎn)化為其對立事件求解，體現(xiàn)了“正難則反”的思想注意“3只顏色全相同”可分為三個彼此互斥的基本事件，它的對立事件為“3只顏色不全相同”.5解古典概型的幾個注意解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點：(1)有限性：做一次試驗，可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限個，即只有有限個不同的基本事件(2)等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的其計算公式P(A)也比較簡單，但是這類問題的解法多樣，技巧性強(qiáng)，下面說一下在解題中需要注意的幾個問題注意1有限性和等可能性例1擲兩枚均勻的硬幣，求出現(xiàn)一正一反的概率分析這個試驗的基本事件(所有可能結(jié)果)共有4種：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A“出現(xiàn)一正一反”的所有可能結(jié)果為：(正，反)，(反，正)解P(A).評注均勻硬幣在拋擲過程中出現(xiàn)正、反面的概率是相等的，并且試驗結(jié)果是有限個注意2計算基本事件的數(shù)目時，必須做到不重不漏例2從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，求下列事件的概率：(1)A三個數(shù)字中不含1和5；(2)B三個數(shù)字中含1或5分析這個試驗的所有可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10種解(1)事件A為(2,3,4)，故P(A).(2)事件B的所有可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9種故P(B).評注在計算事件數(shù)目時，要做到不重不漏，如B中可分為含1的：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)含5的：(1,2,5)，(1,3,5)，(2,3,5)，(3,4,5)，(1,4,5)，(2,4,5)在歸于集合B中時，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)這三個不能重復(fù)計算注意3利用事件間的關(guān)系例3有3個完全相同的小球a，b，c，隨機(jī)放入甲、乙兩個盒子中，求兩個盒子都不空的概率分析先分析三個小球隨機(jī)放入甲、乙兩個盒子的基本事件，再確定兩個盒子都不空的對立事件是至少有一個盒子為空所包含事件，從而確定該事件的概率解a，b，c三個小球隨機(jī)放入甲、乙兩個盒子的基本事件為：甲盒a，b，ca，baa，cb，cbc空乙盒空cb，cbac，aa，ba，b，c兩個盒子都不空的對立事件是至少有一個盒子為空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共兩個，故P1.評注在求解較復(fù)雜事件的概率時，可將其分解為幾個互斥的簡單事件的和事件，由公式P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)求得或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為其對立事件，再用公式P(A)1P()求得.6走出解幾何概型的幾個誤區(qū)幾何概型和古典概型是概率中典型的問題，幾何概型和古典概型有共同點，也有很多不一樣的地方我們在求解幾何概型問題時，經(jīng)常會出現(xiàn)一些典型的錯誤下面用具體的例子幫你走出誤區(qū)一、若P(A)0，則A未必是不可能事件；若P(A)1，則A未必是必然事件例1有一個底面是圓形的容器，底面圓半徑是一枚硬幣半徑的10倍，現(xiàn)在把這枚硬幣隨機(jī)地扔進(jìn)容器，求硬幣與底面恰好相切的概率解記“硬幣與底面圓相切”為事件A，由題意知所求問題是以面積為測度的幾何概型的概率問題，事件A中硬幣的位置可由硬幣的中心確定，當(dāng)硬幣與底面相切時，硬幣的中心形成一個圓周(不包括圓周內(nèi)部)，故其對應(yīng)的面積可以認(rèn)為是0，故P(A)0.點評在古典概型中，P(A)0A是不可能事件；而在幾何概型P(A)0，則A未必是不可能事件；P(A)1，A也未必是必然事件二、背景相似的問題，當(dāng)試驗的角度不同時，其概率不一樣例2(1)在直角三角形ABC中，A90，ABAC，過點A作一射線交線段BC于點M，求BMAB的概率(2)在等腰直角三角形ABC中，A90，在線段BC上取一點M，求BMAB的概率解(1)記“過點A作一射線交線段BC于點M，使BMAB”為事件，由于是過點A作一射線交線段BC于點M，所以射線在BAC內(nèi)是等可能出現(xiàn)的，又當(dāng)ABBM時BAM67.5，所以P().(2)設(shè)ABAC1，則BC，設(shè)“在線段BC上取一點M，使BMAB”為事件，則P().點評幾何概型有關(guān)問題，有的背景相似，試驗的角度不同時，其概率是不一樣的三、錯用測度類型例3在區(qū)間0,2中隨機(jī)地取出兩個數(shù)，求兩數(shù)之和小于1的概率錯解兩數(shù)之和小于1，那么每一個數(shù)是0,1之間，故每一個數(shù)對應(yīng)的概率為，那么所求兩個數(shù)的概率為.錯因分析因為兩數(shù)之和小于1，故兩個數(shù)之間有相互制約的關(guān)系，即兩個變量之間不是相互獨立的，不可將兩個變量的概率相乘，故這種做法是錯誤的，應(yīng)用面積做測度，計算概率正確答案設(shè)x，y表示所取的任意兩個數(shù)，由于x0,2，y0,2，以兩數(shù)x，y為坐標(biāo)的點在以2為邊長的正方形區(qū)域內(nèi)，設(shè)兩數(shù)和小于1為事件A，則事件A所在區(qū)域為直線xy1的下方且在正方形內(nèi)的陰影區(qū)域P(A).四、忽視等可能例4以等腰直角三角形的直角頂點為圓心作圓，使這個圓與斜邊相交，則截得弦長不大于直角邊的概率為多少？錯解如圖所示，設(shè)MN是以C為圓心，以MC為半徑的圓所截取的線段，故所求事件發(fā)生的概率為P.錯因分析本試驗以直角頂點為圓心作圓，使這個圓與斜邊相交，因此用圓和線段相交的長度反映概率，忽視了等可能正確答案以直角頂點為圓心作圓，使這個圓與斜邊相交，半徑r的取值范圍在CH<rCA；而事件對應(yīng)的r的取值范圍為CH<rCM，故記所求事件為，則P()，設(shè)AC2，則CH，CM，故P().7概率中的數(shù)學(xué)思想概率的有關(guān)知識在實際生活中的應(yīng)用非常廣泛，恰當(dāng)合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，可以幫助我們更快、更準(zhǔn)確地解決問題下面舉例說明求解概率問題時常用的三種思想方法一、數(shù)形結(jié)合思想例1在一次商貿(mào)交易會上，某商家開展促銷抽獎活動，甲、乙兩人相約參與抽獎若甲計劃在9：009：40之間趕到，乙計劃在9：2010：00之間趕到，求甲比乙提前到達(dá)的概率分析本題屬于幾何概型問題，由于涉及到兩個變量，故可建立坐標(biāo)系，借助面積來解決解設(shè)兩人到達(dá)的時間分別為9點到10點之間的第x分鐘、第y分鐘，用(x，y)表示，則所有可能結(jié)果可表示為(x，y)|0x40,20y60記“甲比乙提前到達(dá)”為事件A，則事件A的可能結(jié)果為(x，y)|x<y,0x40,20y60如圖所示，試驗全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為圖中的正方形，而構(gòu)成事件A的區(qū)域是正方形內(nèi)的陰影部分，所以P(A).點評某些概率問題用常規(guī)方法來解，比較困難，而利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，則可以形象地反映概率的本質(zhì)，從而順利解決問題二、轉(zhuǎn)化與化歸思想例2現(xiàn)從5名優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加數(shù)學(xué)競賽，問其中的甲、乙兩人至多有一人去參加競賽的概率是多少？分析對于這種含有“至多”“至少”等類型的概率問題，我們往往采用“正難則反”原理這里因為每名學(xué)生被抽出的概率相等，且所有可能結(jié)果有限，所以為古典概型問題解從5名優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)抽取2人去參加競賽，共有10個基本事件設(shè)事件A為“甲、乙兩人至多有一人去參加競賽”，它的對立事件是“甲、乙兩人都去參加競賽”，而“甲、乙兩人都去參加競賽”的抽取方法只有1種，所以P()，故P(A)1P()，即甲、乙兩人至多有一人去參加競賽的概率是.點評從正面求解比較困難時，可以逆向思考一般我們是先求其對立事件發(fā)生的概率，再利用P(A)1P()求所求事件的概率三、分類討論思想例3將數(shù)1.5隨機(jī)地分成兩個正實數(shù)之和，例如1.1430.357，或者0.60.9，然后對每一個數(shù)四舍五入取整數(shù)如在上述第一種分法中取1和0，在第二種分法中取1和1.那么這兩個整數(shù)之和等于2的概率是多少？分析隨機(jī)地將1.5分成兩個正實數(shù)之和，就是在區(qū)間(0,1.5)內(nèi)隨機(jī)地取一個實數(shù)x，將該區(qū)間分成兩部分，且另一個數(shù)是1.5x.由于對x和1.5x取整數(shù)有多種情況，故最好分類討論解若在區(qū)間(0,1.5)內(nèi)隨機(jī)地取一個實數(shù)x，則另一個數(shù)是y1.5x.若x(0,0.5)，則y(1,1.5)，此時有011；若x0.5,1，則y0.5,1，此時有112；若x(1,1.5)，則y(0,0.5)，此時有101.記事件A為“兩整數(shù)之和等于2”因為實數(shù)x是在區(qū)間(0,1.5)內(nèi)隨機(jī)抽取的，所以屬長度型幾何概型問題因為構(gòu)成事件A的區(qū)域長度是0.5，所以P(A).點評概率中的分類討論，一般是對試驗結(jié)果是否滿足事件A進(jìn)行的