第1課時(shí) 向量的概念及線性運(yùn)算 1．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b；若a∥b，則a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件． 2．設(shè)a是任一向量，e是單位向量，且a∥e，則下列表示形式中正確的是(　　) A．e＝ B．a(chǎn)＝|a|e C．a(chǎn)＝－|a|e D．a(chǎn)＝|a|e 答案　D 解析　對(duì)于A，當(dāng)a＝0時(shí)，沒(méi)有意義，錯(cuò)誤； 對(duì)于B，C，D當(dāng)a＝0時(shí)，選項(xiàng)B，C，D都對(duì)； 當(dāng)a≠0時(shí)，由a∥e可知，a與e同向或反向，選D. 3．如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在方格紙上作出＋，如圖所示，則容易看出＋＝，故選D. 4．(2014課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，文)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析?。?＋)＋(＋)＝(＋)＝，故選A. 5．(2018安徽示范性高中二模)△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足＋2＋3＝0，直線AO交BC于點(diǎn)D，則(　　) A．2＋3＝0 B．3＋2＝0 C.－5＝0 D．5＋＝0 答案　A 解析　∵△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足＋2＋3＝0，直線AO交BC于點(diǎn)D，∴＋＋＝0.令＝＋，則＋＝0，∴B，C，E三點(diǎn)共線，A，O，E三點(diǎn)共線，∴D，E重合．∴＋5＝0，∴2＋3＝2－2＋3－3＝－－5＝0.故選A. 6．(2018吉林大學(xué)附屬中學(xué)摸底)在梯形ABCD中，＝3，則＝(　　) A．－＋ B．－＋ C.－ D．－＋ 答案　D 解析　在線段AB上取點(diǎn)E，使BE＝DC，連接DE，則四邊形BCDE為平行四邊形，則＝＝－＝－.故選D. 7．(2018江西贛吉撫七校監(jiān)測(cè))在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，那么＝(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 答案　D 解析　在△CEF中，＝＋.因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以＝.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.故選D. 8．(2018安徽毛坦廠中學(xué)期中)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，則＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　C 解析　連接AF，AE，由G為EF的中點(diǎn)，得＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋.故選C. 9．已知向量i與j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n應(yīng)該滿足的條件是(　　) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 答案　C 解析　由A，B，D共線可設(shè)＝λ，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共線，因此即有mn＝1. 10．(2018北京西城一模)在△ABC中，點(diǎn)D滿足＝3，則(　　) A.＝－ B.＝＋ C.＝－ D.＝＋ 答案　D 解析　因?yàn)椋?，所以－＝3(－)，即＝＋.故選D. 11．(2018河北衡水中學(xué)三調(diào))在△ABC中，＝，P是直線BN上的一點(diǎn)．若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 答案　B 解析　方法一：因?yàn)椋剑剑玨＝＋k(－)＝(1－k)＋，且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝2，m＝－1.故選B. 方法二：由＝，得＝5， ∴＝m＋＝m＋2，∴m＋2＝1，得m＝－1. 12.(2018河南中原名校質(zhì)檢)如圖，已知在△ABC中，D為邊BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接AD，E為線段AD的中點(diǎn)．若＝m＋n，則m＋n＝(　　) A．－ B．－ C．－ D. 答案　B 解析　方法一：依題意得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴＝＋＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋＝－.∵＝m＋n，∴m＝，n＝－，∴m＋n＝－＝－.故選B. 方法二：∵在△ADC中，E為AD中點(diǎn)， ∴＝(＋)＝(－＋)＝[－＋(－)]＝－， ∴m＝，n＝－，m＋n＝－. 13．(2018四川成都七中一診)已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且2＝2＋，則(　　) A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上 C．點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上 D．點(diǎn)P不在直線AB上 答案　B 解析　∵2＝2＋，∴2－2＝， 即2＝，∴點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上．故選B. 14．已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝(＋＋2)，則P一定為△ABC的(　　) A．AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心) B．AB邊的中點(diǎn) C．AB邊中線的中點(diǎn) D．重心 答案　A 解析　如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)是E，則＝(＋＋2)＝(＋2)．∵O是△ABC的重心，∴2＝，∴＝(＋4)＝，∴點(diǎn)P在AB邊的中線上，是中線的三等分點(diǎn)，不是重心，故選A. 15．(2018北京東城)在直角梯形ABCD中，∠A＝90，∠B＝30，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范圍是(　　) A．[0，1] B．[0，] C．[0，] D．[，2] 答案　C 解析　如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F.在Rt△BCF中，∠B＝30，BC＝2，∴CF＝1，BF＝.∵AB＝2，∴AF＝.由四邊形AFCD是平行四邊形，可得CD＝AF＝＝AB.∵＝＋＝＋μ，∴＝μ.∵∥，＝，∴0≤μ≤.故選C. 16．如圖所示，下列結(jié)論不正確的是________． ①＝a＋b；②＝－a－b；③＝a－b；④＝a＋b. 答案?、冖? 解析　由a＋b＝，知＝a＋b，①正確；由＝a－b，從而②錯(cuò)誤；＝＋b，故＝a－b，③正確；＝＋2b＝a＋b，④錯(cuò)誤．故正確的為①③. 17．設(shè)a和b是兩個(gè)不共線的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于________． 答案?。? 解析　∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴∥.∵＝2a＋kb，＝＋＝a－2b，∴k＝－4.故填－4. 18.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為_(kāi)_______． 答案　2 解析?。?＋)＝＋. ∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1. ∴m＋n＝2，故填2. 1．(2017唐山統(tǒng)考)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M為BC的中點(diǎn)，則＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　因?yàn)椋剑?，所以＝2.又M是BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故選B. 2．(2017山東膠州期中)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，對(duì)角線AC，DB相交于點(diǎn)O.若＝a，＝b，則＝(　　) A．－－ B.＋ C.＋ D.－ 答案　B 解析　∵AB∥CD，AB＝2CD，∴△DOC∽△BOA且AO＝2OC，則＝2＝，＝，而＝＋＝＋＝a＋b，∴＝＝(a＋b)＝a＋b. 3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對(duì) 答案　C 解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2. ∴∥.又與不平行，∴四邊形ABCD是梯形． 4．在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，如果2＋＝－，那么△PBC的面積與△ABC的面積之比是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知的向量關(guān)系式2＋＝－，得2＋＝，即＝3，所以點(diǎn)P在AC上，且PC＝3AP，由相似的性質(zhì)知，△PBC與△ABC在邊BC上的高的比為3∶4，則△PBC與△ABC的面積比為3∶4，選A. 5．(2017衡水中學(xué)調(diào)研卷)在△ABC中，P是BC邊的中點(diǎn)，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c＋a＋b＝0，則△ABC的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形但不是等邊三角形 答案　A 解析　如圖，由c＋a＋b＝0知，c(－)＋a－b＝(a－c)＋(c－b)＝0，而與為不共線向量，∴a－c＝c－b＝0，∴a＝b＝c.故選A. 6．(2017滄州七校聯(lián)考)如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)－b　　　　 B.a－b C．a(chǎn)＋b　　　　 D.a＋b 答案　D 解析　連接CD，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a. 7．已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ＝________． 答案?。? 解析　因?yàn)閍與b共線，所以a＝xb，故λ＝－. 8．(2017山東棲霞高中)如圖所示，已知△AOB，點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，＝2，DC和OA交于點(diǎn)E，若＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　設(shè)＝a，＝b.由題意知A是BC的中點(diǎn)，且＝，由平行四邊形法則知＋＝2.∴＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，∥，∴＝，∴λ＝. 9.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且＝a，＝b，則＝________． 答案　b－a 解析　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a. 10．(2015北京)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________． 答案　?。? 解析　由題中條件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－. 11．(2013江蘇)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______． 答案　 解析?。剑剑剑?－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.