1.1.1算法的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解算法的含義.2.了解算法的思想.3.會(huì)用自然語言描述一些具體問題的算法知識(shí)點(diǎn)一算法的概念思考1有一碗醬油，一碗醋和一個(gè)空碗現(xiàn)要把兩碗盛的物品交換過來，試用自然語言表述你的操作辦法答案先把醋倒入空碗，再把醬油倒入原來盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原來盛醬油的碗，就完成了交換思考2某笑話有這樣一個(gè)問題：把大象裝進(jìn)冰箱總共分幾步？答案是分三步第一步：把冰箱門打開；第二步：把大象裝進(jìn)去；第三步：把冰箱門關(guān)上這是一個(gè)算法嗎？答案是梳理算法概念12世紀(jì)的算法是指用阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算的過程數(shù)學(xué)中的算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟現(xiàn)代算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題知識(shí)點(diǎn)二算法的特征思考算法與一般意義上具體問題的解法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？答案(1)它們之間是一般與特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系(2)要設(shè)計(jì)出解決一類問題的算法，可以借助于此類問題中的某一個(gè)問題的解決過程和思路進(jìn)行設(shè)計(jì)，而此類問題中的任何一個(gè)具體問題都可以利用這類問題的一般算法來解決梳理算法的五個(gè)特征(1)有限性：一個(gè)算法的步驟是有限的，它應(yīng)在有限步操作之后停止(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不是模棱兩可的(3)邏輯性：算法從初始步驟開始，分為若干個(gè)明確的步驟，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能進(jìn)行下一步，而且每一步都是正確無誤的，從而組成具有很強(qiáng)邏輯性的步驟序列(4)普遍性：一個(gè)確定的算法，應(yīng)該能夠解決一類問題(5)不唯一性：求解某一個(gè)問題的算法不一定只有唯一的一個(gè)，也可以有不同的算法特別提醒：判斷一個(gè)問題是不是算法，關(guān)鍵是明確算法的含義及算法的特征知識(shí)點(diǎn)三算法的設(shè)計(jì)思考自然語言是唯一描述算法的語言嗎？答案不是描述算法可以有不同的方式，常用的有自然語言、框圖(流程圖)、程序設(shè)計(jì)語言等梳理(1)設(shè)計(jì)算法的目的設(shè)計(jì)算法的目的實(shí)際上是尋求一類問題的解決方法，它可以通過計(jì)算機(jī)來完成設(shè)計(jì)算法的關(guān)鍵是把過程分解成若干個(gè)明確的步驟，然后用計(jì)算機(jī)能夠接受的“語言”準(zhǔn)確地描述出來，從而達(dá)到讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行的目的(2)設(shè)計(jì)算法的要求寫出的算法必須能解決一類問題要使算法盡量簡(jiǎn)單、步驟盡量少要保證算法步驟有效，且計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行1算法是解決一個(gè)問題的方法()2一個(gè)算法可以產(chǎn)生不確定的結(jié)果()3算法的步驟必須是明確的、有限的()題型一算法概念的理解例1下列關(guān)于算法的說法，正確的個(gè)數(shù)有()求解某一類問題的算法是唯一的；算法必須在有限步操作之后停止；算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊；算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果A1B2C3D4答案C解析由于算法具有有限性、確定性等特點(diǎn)，因而正確，而解決某類問題的算法不一定唯一，從而錯(cuò)反思與感悟算法實(shí)際上是解決問題的一種程序性方法，它通常用來解決某一個(gè)或某一類問題，在用算法解決問題時(shí)，體現(xiàn)了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想跟蹤訓(xùn)練1下列描述不能看作算法的是()A做米飯需要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟B洗衣機(jī)的使用說明書C解方程2x2x10D利用公式Sr2，計(jì)算半徑為4的圓的面積，就是計(jì)算42答案C解析A，B，D都描述了解決問題的過程，可以看作算法，而C只描述了一個(gè)事實(shí)，沒說明怎么解決問題，不是算法題型二算法的閱讀理解例2下面算法要解決的問題是_S1輸入三個(gè)數(shù)，并分別用a，b，c表示S2比較a與b的大小，如果a<b，則交換a與b的值S3比較a與c的大小，如果a<c，則交換a與c的值S4比較b與c的大小，如果b<c，則交換b與c的值S5輸出a，b，c.答案輸入三個(gè)數(shù)a，b，c，并按從大到小的順序輸出解析第一步是給a，b，c賦值第二步運(yùn)行后a>b.第三步運(yùn)行后a>c.第四步運(yùn)行后b>c，所以a>b>c.第五步運(yùn)行后，顯示a，b，c的值，且從大到小排列反思與感悟一個(gè)算法的作用往往并不顯而易見，這需要我們結(jié)合具體數(shù)值去執(zhí)行一下才知道跟蹤訓(xùn)練2下面給出了一個(gè)問題的算法：S1輸入a.S2若a4，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第四步S3輸出2a1.S4輸出a22a3.這個(gè)算法解決的問題是_答案求函數(shù)f(x)當(dāng)xa時(shí)的函數(shù)值f(a)題型三算法的設(shè)計(jì)與應(yīng)用例3有一個(gè)底面半徑為3，母線為5的圓錐，寫出求該圓錐體積的算法解如圖，先給r，l賦值，計(jì)算h，再根據(jù)圓錐體積公式Vr2h計(jì)算V，然后輸出結(jié)果S1令r3，l5.S2計(jì)算h.S3計(jì)算Vr2h.S4輸出運(yùn)算結(jié)果反思與感悟利用公式解決問題時(shí)，必須先求出公式中的各個(gè)量，在設(shè)計(jì)算法時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮未知量的求法跟蹤訓(xùn)練3已知一個(gè)等邊三角形的周長(zhǎng)為a，求這個(gè)三角形的面積設(shè)計(jì)一個(gè)算法解決這個(gè)問題解S1輸入a的值S2計(jì)算l的值S3計(jì)算Sl2的值S4輸出S的值例4已知函數(shù)f(x)設(shè)計(jì)一個(gè)算法求函數(shù)的任一函數(shù)值解S1輸入xa.S2若a2，則執(zhí)行第三步；若a2，則執(zhí)行第四步S3輸出f(a)a2a1.S4輸出f(a)a1.反思與感悟首先結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式的特征，然后選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ㄕZ言進(jìn)行描述跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)|x2|1, 設(shè)計(jì)一個(gè)算法求函數(shù)的任一函數(shù)值解S1輸入xa.S2若a2，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第四步S3輸出f(a)3a.S4輸出f(a)a1.例5所謂正整數(shù)p為素?cái)?shù)是指：p的所有約數(shù)只有1和p.例如，35不是素?cái)?shù)，因?yàn)?5的約數(shù)除了1,35外，還有5與7；29是素?cái)?shù)，因?yàn)?9的約數(shù)只有1和29.試設(shè)計(jì)一個(gè)能夠判斷一個(gè)任意正整數(shù)n(n1)是否為素?cái)?shù)的算法解算法如下：S1給出任意一個(gè)正整數(shù)n(n1)S2若n2，則輸出“2是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束S3令m1.S4mm1.S5如果mn，則輸出“n是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束S6判斷m能否整除n，如果能整除，則輸出“n不是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束；如果不能整除，則轉(zhuǎn)第四步反思與感悟設(shè)計(jì)一個(gè)具體問題的算法，通常按以下步驟：(1)認(rèn)真分析問題，找出解決該問題的一般數(shù)學(xué)方法(2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述(3)將解決問題的過程劃分為若干步驟(4)用簡(jiǎn)練的語言將這個(gè)步驟表示出來跟蹤訓(xùn)練5判斷一個(gè)大于2的整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的算法步驟如何設(shè)計(jì)？解S1給定大于2的整數(shù)n.S2令i2.S3用n除以i，得到余數(shù)r.S4判斷“r0”是否成立若成立，則n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，將i的值增加1，仍用i表示S5判斷“i>(n1)”是否成立若成立，則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，返回第三步1下列關(guān)于算法的說法正確的是()A一個(gè)算法的步驟是可逆的B描述算法可以有不同的方式C算法可以看成是按照要求設(shè)計(jì)好的、有限的、確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列只能解決當(dāng)前問題D算法只能用一種方式顯示答案B解析由算法的定義知A，C，D錯(cuò)2計(jì)算下列各式中S的值，能設(shè)計(jì)算法求解的是()S；S；S(n1，nN)ABCD答案B解析由算法的有限性知不能設(shè)計(jì)算法求解，都能通過有限步輸出確定結(jié)果3已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，求斜邊長(zhǎng)c的一個(gè)算法分下列三步：(1)計(jì)算c；(2)輸入直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a，b的值；(3)輸出斜邊長(zhǎng)c的值其中正確的順序是_答案(2)(1)(3)解析算法的步驟是有先后順序的，第一步是輸入，最后一步是輸出，中間的步驟是賦值、計(jì)算4求過P(a1，b1)，Q(a2，b2)兩點(diǎn)的直線的斜率有如下的算法，請(qǐng)?jiān)跈M線上填出適當(dāng)步驟S1令x1a1，y1b1，x2a2，y2b2.S2判斷“x1x2”是否成立若成立，則輸出“斜率不存在”；否則，執(zhí)行第三步S3_.S4輸出k.答案計(jì)算斜率k解析由題意可知，“第三步”應(yīng)根據(jù)直線斜率公式計(jì)算斜率k的值5寫出解二元一次方程組的算法解S12得7x1.S2解得x.S332得7y5.S4解得y.S5得到方程組的解為1算法的特點(diǎn)：有限性、確定性、邏輯性、不唯一性、普遍性2算法設(shè)計(jì)的要求：(1)寫出的算法必須能夠解決一類問題(如判斷一個(gè)整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，求任意一個(gè)方程的近似解等)，并且能夠重復(fù)使用(2)要使算法盡量簡(jiǎn)單，步驟盡量少(3)要保證算法正確，且算法步驟能夠一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切，不能含混不清，而且在有限步后能得到結(jié)果一、選擇題1下列可以看成算法的是()A學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，課前預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽講并記好筆記，課下先復(fù)習(xí)再做作業(yè)，之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題B今天餐廳的飯真好吃C這道數(shù)學(xué)題難做D方程2x2x10無實(shí)數(shù)根答案A解析A是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)步驟，所以是算法2下面是判斷一元二次方程ax2bxc0是否有實(shí)數(shù)根的算法步驟對(duì)該算法步驟排序正確的是()輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c.計(jì)算b24ac的值判斷0是否成立若0成立，則輸出“方程有實(shí)數(shù)根”；否則輸出“方程無實(shí)數(shù)根”，結(jié)束算法ABCD答案A解析根據(jù)該算法的構(gòu)成，容易得到答案為A.3在用二分法求方程零點(diǎn)的算法中，下列說法正確的是()A這個(gè)算法可以求所有的零點(diǎn)B這個(gè)算法可以求任何方程的零點(diǎn)C這個(gè)算法能求所有零點(diǎn)的近似解D這個(gè)算法可以求變號(hào)零點(diǎn)的近似解答案D解析二分法的理論依據(jù)是函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理它解決的是求變號(hào)零點(diǎn)的問題，并不能求所有零點(diǎn)的近似值4有藍(lán)、黑兩個(gè)墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯(cuò)把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯(cuò)裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換，現(xiàn)有空墨水瓶若干，解決這一問題最少需要的步驟數(shù)為()A2B3C4D5答案B解析S1將藍(lán)墨水裝到一個(gè)空墨水瓶中；S2將黑墨水裝到黑墨水瓶中；S3將藍(lán)墨水裝到藍(lán)墨水瓶中，這樣就解決了這個(gè)問題，故選B.5已知一個(gè)算法：(1)給出三個(gè)數(shù)x、y、z；(2)計(jì)算Mxyz；(3)計(jì)算NM；(4)得出每次計(jì)算結(jié)果則上述算法是()A求和B求余數(shù)C求平均數(shù)D先求和再求平均數(shù)答案D解析由算法過程可知，M為三數(shù)之和，N為這三數(shù)的平均數(shù)，故選D.6下面是對(duì)高斯消去法的理解：它是解方程組的一種方法；它可以用來解多元一次方程組；用它來解方程組時(shí)，有些方程組的答案可能不準(zhǔn)確其中正確的是()ABCD答案A解析只有符合題意7下列各式中T的值不能用算法求解的是()AT122232421002BTCT12345DT12345699100答案C解析根據(jù)算法的有限性知C不能用算法求解8對(duì)于算法：S1輸入n.S2判斷n是否等于2，若n2，則n滿足條件；若n2，則執(zhí)行第三步S3依次從2到(n1)檢驗(yàn)?zāi)懿荒鼙籲整除，若不能被n整除，則執(zhí)行第四步；若能整除n，則結(jié)束算法S4輸出n.滿足條件的n是()A質(zhì)數(shù)B奇數(shù)C偶數(shù)D約數(shù)答案A解析此題首先要理解質(zhì)數(shù)，只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫質(zhì)數(shù).2是最小的質(zhì)數(shù)，這個(gè)算法通過對(duì)2到(n1)一一驗(yàn)證，看是否有其他約數(shù)，來判斷其是否為質(zhì)數(shù)二、填空題9下面是解決一個(gè)問題的算法：S1輸入x.S2若x6，轉(zhuǎn)到S3；否則轉(zhuǎn)到S4.S3輸出3x2.S4輸出x22x4.當(dāng)輸入x的值為_時(shí)，輸出的數(shù)值最小，且最小值為_答案13解析所給算法解決的是求分段函數(shù)f(x)的函數(shù)值的問題當(dāng)x6時(shí)，f(x)3x236216；當(dāng)x6時(shí)，f(x)x22x4(x1)233.所以f(x)min3，此時(shí)x1，即當(dāng)輸入x的值為1時(shí)，輸出的數(shù)值最小，且最小值是3.10一個(gè)算法的步驟如下：S1令i0，S2.S2如果i15，則執(zhí)行S3，否則執(zhí)行S6.S3計(jì)算Si并將結(jié)果代替S.S4用i2的值代替i.S5轉(zhuǎn)去執(zhí)行S2.S6輸出S.運(yùn)行該算法輸出的結(jié)果S_.答案58解析據(jù)題意知，S2246810121458.11下面給出了解決問題的算法：S1輸入x.S2若x1，則y2x1，否則yx23.S3輸出y.當(dāng)輸入的x值為_時(shí)，輸入值與輸出值相等答案1解析該算法的作用是求分段函數(shù)y的函數(shù)值解得x1；無解12給出下列算法：S1輸入x的值S2當(dāng)x4時(shí)，計(jì)算yx2；否則執(zhí)行下一步S3計(jì)算y.S4輸出y.當(dāng)輸入x0時(shí)，輸出y_.答案2解析04，執(zhí)行第三步，y2.三、解答題13某商場(chǎng)舉辦優(yōu)惠促銷活動(dòng)若購(gòu)物金額在800元以上(不含800元)，打7折；若購(gòu)物金額在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否則，不打折請(qǐng)為商場(chǎng)收銀員設(shè)計(jì)一個(gè)算法，要求輸入購(gòu)物金額x，輸出實(shí)際交款額y.解算法步驟如下：S1輸入購(gòu)物金額x(x>0)S2判斷“x>800”是否成立，若成立，則y0.7x，轉(zhuǎn)第四步；否則，執(zhí)行第三步S3判斷“400x800”是否成立，若成立，則y0.8x，轉(zhuǎn)第四步；否則，yx.S4輸出y，結(jié)束算法四、探究與拓展14下面是求15和18的最小公倍數(shù)的算法，其中不恰當(dāng)?shù)囊徊绞莀S1先將15分解素因數(shù)：1535.S2然后將18分解素因數(shù)：18322.S3確定它們的所有素因數(shù)：2,3,5.S4計(jì)算出它們的最小公倍數(shù)：23530.答案第四步解析素因數(shù)2,3,5的最高指數(shù)分別是1,2,1，算出它們的最小公倍數(shù)為232590.15如圖所示，漢諾塔問題是指有3根桿子A，B，C，桿子上有若干碟子，把所有的碟子從B桿移動(dòng)到A桿上，每次只能移動(dòng)一個(gè)碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面把B桿上的3個(gè)碟子全部移動(dòng)到A桿上，最少需要移動(dòng)的次數(shù)是_答案7解析直接進(jìn)行分析，將最小的碟子命名為，中間的碟子命名為，最大的碟子命名為，進(jìn)行如下移動(dòng)：A，C，C，A，B，A，A，此時(shí)按要求全部放好，移動(dòng)7次