第六講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（二） 1．(2018山西八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x－1－aln x(a∈R)，g(x)＝. (1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程； (2)若a<0，且對(duì)任意x1，x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<4|g(x1)－g(x2)|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x－1＋2ln x， f′(x)＝1＋，f(1)＝0，切線的斜率k＝f′(1)＝3， 故曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為3x－y－3＝0. (2)對(duì)x∈(0,1]，當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)＝1－>0，∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，易知g(x)＝在(0,1]上單調(diào)遞減， 不妨設(shè)x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，f(x1)<f(x2)，g(x1)>g(x2)， ∴f(x2)－f(x1)<4[g(x1)－g(x2)]，即f(x1)＋>f(x2)＋. 令h(x)＝f(x)＋，則當(dāng)x1<x2時(shí)，有h(x1)>h(x2)，∴h(x)在(0,1]上單調(diào)遞減， ∴h′(x)＝1－－＝≤0在(0,1]上恒成立， ∴x2－ax－4≤0在(0,1]上恒成立，等價(jià)于a≥x－在(0,1]上恒成立， ∴只需a≥(x－)max. ∵y＝x－在(0,1]上單調(diào)遞增，∴ymax＝－3，∴－3≤a<0， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－3,0)． 2. (2018蘭州診斷)已知函數(shù)f(x)＝＋ln x在(1，＋∞)上是增函數(shù)，且a>0. (1)求a的取值范圍； (2)若b>0，試證明<ln <. 解析：(1)f′(x)＝－＋＝， 因?yàn)樵?1，＋∞)上f′(x)≥0，且a>0， 所以ax－1≥0，即x≥， 所以≤1，即a≥1. 故a的取值范圍為[1，＋∞)． (2)證明：因?yàn)閎>0，a≥1，所以>1， 又f(x)＝＋ln x在(1，＋∞)上是增函數(shù)， 所以f>f(l)，即＋ln >0， 化簡(jiǎn)得<ln ， ln <等價(jià)于ln －＝ln －<0， 令g(x)＝ln(1＋x)－x(x∈(0，＋∞))， 則g′(x)＝－1＝<0， 所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)， 所以g＝ln －＝ln －<g(0)＝0，即ln <. 綜上，<ln <. 3．(2018石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)(a∈R) . (1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)) 處的切線方程； (2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，求證：f(x2) >－. 解析：(1)由已知得，f(x)＝x(ln x－x)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝－1， f′(x)＝ln x＋1－2x，當(dāng)x＝1時(shí)，f′(x)＝－1，所以所求切線方程為y＋1＝－(x－1)，即x＋y＝0. (2)證明：由已知條件可得f′(x)＝ln x＋1－2ax有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且兩零點(diǎn)的左、右兩側(cè)附近的函數(shù)值符號(hào)相反， 令f′(x)＝h(x), 則h′(x)＝－2a(x>0)， 若a≤0，則h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，f′(x)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)； 若a>0， 令h′(x)＝0得x＝，可知h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減， 令f′()>0，解得0<a<， 此時(shí)<，f′()＝－<0， >，f′()＝－2ln a＋1－<0， 所以當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2， 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  f(x1)  f(x2)  因?yàn)閒′(1)＝1－2a>0，所以0<x1<1<x2，f(x)在[1，x2]上單調(diào)遞增， 所以f(x2)>f(1)＝－a>－. 4．(2018南寧二中、柳州一中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是x1，x2，求證：f′() <0. 解析：(1)函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－， ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a>0時(shí)，若x∈(0，)，則f′(x)>0，若x∈(，＋∞)，則f′(x)<0，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)證明：由(1)易知a>0，且f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)0<x1<<x2， f′()<0?>?x1＋x2>，故要證f′()<0，只需證x1＋x2>即可． 構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(－x)，x∈(0，)， F′(x)＝f′(x)－[f(－x)]′＝f′(x)＋f′(－x)＝＝， ∵x∈(0，)，∴F′(x)＝>0，∴F(x)在(0，)上單調(diào)遞增， ∴F(x)<F()＝f()－f(－)＝0， 即f(x)<f(－x)，x∈(0，)． 又x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)且0<x1<<x2，∴f(x1)＝f(x2)<f(－x1)， 而x2，－x1均大于，∴x2>－x1，∴x1＋x2>，得證.