中難提分突破特訓(xùn)(一) 1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足＝. (1)求角A的大小； (2)若D為BC邊上一點(diǎn)，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a. 解　(1)由已知，得(2c－b)cosA＝acosB， 由正弦定理，得(2sinC－sinB)cosA＝sinAcosB， 整理，得2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB， 即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC. 又sinC≠0，所以cosA＝， 因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝. (2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，又CD＝2DB， ∠BAC＝，所以ED＝AC＝1，∠DEA＝. 由余弦定理可知，AD2＝AE2＋ED2－2AEEDcos，解得AE＝4，則AB＝6. 又AC＝3，∠BAC＝， 所以在△ABC中，由余弦定理，得a＝BC＝3. 2．某企業(yè)招聘大學(xué)畢業(yè)生，經(jīng)過(guò)綜合測(cè)試，錄用了14名女生和6名男生，這20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)(單位：分)如莖葉圖所示，記成績(jī)不小于80分者為A等，小于80分者為B等． (1)求女生成績(jī)的中位數(shù)及男生成績(jī)的平均數(shù)； (2)如果用分層抽樣的方法從A等學(xué)生和B等學(xué)生中抽取5人組成“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”，現(xiàn)從該“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人是A等學(xué)生的概率． 解　(1)由題中莖葉圖知，女生成績(jī)位于中間的兩個(gè)數(shù)是75和76，則女生成績(jī)的中位數(shù)是75.5. 男生成績(jī)的平均數(shù)為(69＋76＋78＋85＋87＋91)＝81. (2)用分層抽樣的方法從A等學(xué)生和B等學(xué)生中抽取5人， 每個(gè)人被抽中的概率是＝， 根據(jù)莖葉圖知，A等學(xué)生有8人，B等學(xué)生有12人， 所以“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”中的A等學(xué)生有8＝2(人)， B等學(xué)生有12＝3(人)， 記“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”中的2名A等學(xué)生分別為A1，A2，“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”中的3名B等學(xué)生分別為B1，B2，B3，從這5人中隨機(jī)抽取2人的所有可能的結(jié)果為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10種， 其中至少有1人是A等學(xué)生的結(jié)果為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7種， 所以至少有1人是A等學(xué)生的概率為. 3. 如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，且EC＝2FB. (1)證明：平面AEF⊥平面ACC1A1； (2)若AB＝EC＝2，求三棱錐C－AEF的體積． 解　(1)證明：取線(xiàn)段AE的中點(diǎn)G，取線(xiàn)段AC的中點(diǎn)M，連接MG， GF，BM，則MG＝EC＝BF， 又MG∥EC∥BF， ∴四邊形MBFG是平行四邊形，故MB∥FG. ∵M(jìn)B⊥AC，平面ACC1A1⊥平面ABC， 平面ACC1A1∩平面ABC＝AC， ∴MB⊥平面ACC1A1，而B(niǎo)M∥FG， ∴FG⊥平面ACC1A1， ∵FG?平面AEF， ∴平面AEF⊥平面ACC1A1. (2)由(1)得FG⊥平面AEC， FG＝BM＝， ∴VC－AEF＝VF－ACE＝S△ACEFG＝22＝. 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C：ρ＝2cos. (1)求直線(xiàn)l的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程； (2)求曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最大值． 解　(1)由消去t，得x＋y－4＝0， 所以直線(xiàn)l的普通方程為x＋y－4＝0. 由ρ＝2cos＝2＝2cosθ＋2sinθ，得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ. 將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)代入上式，得 x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2. 所以曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)解法一：設(shè)曲線(xiàn)C上的點(diǎn)P(1＋cosα，1＋sinα)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d＝＝＝. 當(dāng)sin＝－1時(shí)，dmax＝2. 所以曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最大值為2. 解法二：設(shè)與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)l′的方程為x＋y＋b＝0， 當(dāng)直線(xiàn)l′與圓C相切時(shí)，＝， 解得b＝0或b＝－4(舍去)， 所以直線(xiàn)l′的方程為x＋y＝0. 因?yàn)橹本€(xiàn)l與直線(xiàn)l′的距離d＝＝2， 所以曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最大值為2. 5．設(shè)f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)≤4； (2)若f(x)≥4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x|＋2|x－1|， 當(dāng)x<0時(shí)，由2－3x≤4，得－≤x<0； 當(dāng)0≤x≤1時(shí)，由2－x≤4，得0≤x≤1； 當(dāng)x>1時(shí)，由3x－2≤4，得1<x≤2. 綜上，不等式f(x)≤4的解集為. (2)f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ 可見(jiàn)，f(x)在(－∞，a]上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增． 當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取得最小值a. 所以，a的取值范圍為[4，＋∞)．