第7課時距離公式基礎(chǔ)達標(水平一 )1.若兩條平行直線分別經(jīng)過點A(3,0),B(0,4),則它們之間的距離d滿足的條件是().A.0<d3B.0<d5C.0<d<4D.3d5【解析】當兩條平行直線垂直于AB時,它們之間的距離最大,此時d=|AB|=32+42=5,故0<d5.【答案】B2.兩條直線l1:3ax-y-2=0和l2:(2a-1)x+5ay-1=0分別過定點A和B,則|AB|等于().A.135B.175C.115D.895【解析】直線l1:y=3ax-2過定點A(0,-2),直線l2:a(2x+5y)-(x+1)=0過定點B-1,25,|AB|=(-1-0)2+25-(-2)2=135.故選A.【答案】A3.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)為頂點的三角形是().A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形【解析】|AB|=17,|AC|=17,|BC|=32,三角形為等腰三角形.故選B.【答案】B4.已知P(a,b)是第二象限內(nèi)的點,則它到直線x-y=0的距離是().A.22(a-b)B.b-aC.22(b-a)D.a2+b2【解析】P(a,b)是第二象限內(nèi)的點,a<0,b>0,a-b<0.故點P到直線x-y=0的距離d=|a-b|2=22(b-a).【答案】C5.已知點P(m,n)是直線2x+y+5=0上的任意一點,則m2+n2的最小值為.【答案】56.如果直線l1:ax+(1-b)y+5=0和直線l2:(1+a)x-y-b=0都平行于直線l3:x-2y+3=0,那么直線l1與l2之間的距離為.【解析】l1l3,-2a-(1-b)=0.l2l3,-2(1+a)+1=0,解得a=-12,b=0.因此l1:x-2y-10=0,l2:x-2y=0,故直線l1與l2之間的距離d=25.【答案】257.已知ABD和BCE是在直線AC同側(cè)的兩個等邊三角形,如圖.試用坐標法證明:|AE|=|CD|.【解析】如圖所示,以點B為坐標原點,取AC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系.設(shè)ABD和BCE的邊長分別為a和c,則A(-a,0),C(c,0),Ec2,3c2,D-a2,3a2,于是由距離公式得|AE|=c2-(-a)2+3c2-02=a2+ac+c2,|CD|=c-a22+0-32a2=a2+ac+c2,所以|AE|=|CD|.拓展提升(水平二)8.過點P(-2,4)作圓C:(x-2)2+(y-1)2=25的切線l,若直線m:ax-3y=0與切線l平行,則切線l與直線m之間的距離為().A.4B.2C.85D.125【解析】由題意知,點P在圓C上,圓心C的坐標為(2,1),切線l的斜率k=-1kCP=-11-42+2=43,切線l的方程為y-4=43(x+2),即4x-3y+20=0.又直線m與切線l平行,直線m的方程為4x-3y=0.故切線l與直線m之間的距離d=|0-20|42+(-3)2=4.【答案】A9.若直線l垂直于直線y=x+1,原點O到l的距離為1,且直線l與y軸正半軸有交點,則直線l的方程是().A.x+y-2=0 B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=0【解析】因為直線l與直線y=x+1垂直,所以設(shè)直線l的方程為y=-x+b.又l與y軸正半軸有交點,所以b>0.由原點到該直線的距離為1,得|0+0-b|12+12=1,求得b=2(b=-2舍去),故所求直線l的方程為x+y-2=0.【答案】A10.已知l1,l2是分別經(jīng)過點A(1,1),B(0,-1)的兩條平行直線,則當l1與l2之間的距離最大時,直線l1的方程是.【解析】當直線AB與l1,l2均垂直時,l1與l2之間的距離最大.A(1,1),B(0,-1),kAB=-1-10-1=2,kl1=-12.直線l1的方程為y-1=-12(x-1),即x+2y-3=0.【答案】x+2y-3=011.已知定點P(1,2)和直線l:(1+3)x+(1+2)y-(2+5)=0,R.求證:不論取何值時,點P到直線l的距離不大于1.【解析】(法一)由點到直線的距離得P(1,2)到直線l的距離d=|(1+3)1+(1+2)2-(2+5)|(1+3)2+(1+2)2=|1+2|132+10+2.整理得(13d2-4)2+(10d2-4)+2d2-1=0.R,=(10d2-4)2-4(13d2-4)(2d2-1)0,解得0d1.故結(jié)論成立.(法二)由已知l的方程得x+y-2+(3x+2y-5)=0.由x+y-2=0,3x+2y-5=0,解得x=1,y=1,直線l過定點M(1,1).又PM=(1-1)2+(2-1)2=1,當且僅當l為過點M且與PM垂直的直線時才能使P到l的距離最大,故0d1.