專題對點(diǎn)練26坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修44)1.(2018全國,文22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程.2.(2018全國,文22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cos,y=4sin(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos,y=2+tsin(t為參數(shù)).(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.3.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2cos,y=sin(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為(tan cos -sin )=1為常數(shù),0<<,且2,點(diǎn)A,B(A在x軸下方)是曲線C1與C2的兩個(gè)不同交點(diǎn).(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)求|AB|的最大值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo).4.已知曲線C的參數(shù)方程為x=2cos,y=3sin(為參數(shù)),在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線C上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換x=12x,y=13y得到曲線C,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)若過點(diǎn)A32,(極坐標(biāo))且傾斜角為6的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),弦MN的中點(diǎn)為P,求|AP|AM|AN|的值.專題對點(diǎn)練26答案1.解 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2,由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-或k=0.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=-時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn);當(dāng)k=時(shí),l2與C2沒有公共點(diǎn).綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2.2.解 (1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24+y216=1.當(dāng)cos 0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為y=tan x+2-tan ,當(dāng)cos =0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為x=1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi),所以有兩個(gè)解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直線l的斜率k=tan =-2.3.解 (1)曲線C1的參數(shù)方程為x=2cos,y=sin(其中為參數(shù)),普通方程為x24+y2=1;曲線C2的極坐標(biāo)方程為(tan cos -sin )=1,直角坐標(biāo)方程為xtan -y-1=0.(2)C2的參數(shù)方程為x=tcos,y=-1+tsin(t為參數(shù)),代入x24+y2=1,得14cos2+sin2t2-2tsin =0,t1+t2=2sin14cos2+sin2,t1t2=0,|AB|=2sin14cos2+sin2=83sin+1sin.0<<,且,sin (0,1),|AB|max=433,此時(shí)B的坐標(biāo)為423,13.4.解 (1)C:x=2cos,y=3sinx24+y23=1,將x=12x,y=13yx=2x,y=3y代入C的普通方程可得x2+y2=1.因?yàn)?=x2+y2,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為C:=1.(2)點(diǎn)A32,的直角坐標(biāo)是A-32,0,將l的參數(shù)方程x=-32+tcos6,y=tsin6代入x2+y2=1,可得4t2-63t+5=0,t1+t2=332,t1t2=,|AP|AM|AN|=t1+t22|t1t2|=335.