3.3動能和動能定理【學(xué)習(xí)目標】1通過設(shè)計實驗探究功與物體速度的變化關(guān)系.2明確動能的表達式及含義3能理解和推導(dǎo)動能定理4掌握動能定理及其應(yīng)用【要點梳理】要點一、探究功與速度變化的關(guān)系要點詮釋：1.探究思路讓小車在橡皮繩的彈力下彈出，沿木板滑行。由于橡皮繩對小車做功，小車可以獲得速度，小車的速度可以通過打點計時器測出。這樣進行若干次測量就可以得到多組數(shù)據(jù)，通過畫圖的方法得出功與速度的關(guān)系。2. 操作技巧（1）功的變化我們可以通過由一根橡皮繩逐漸增加到若干根的方法得到。（2）要將木板傾斜一定角度，使小車在木板上沿斜面向下的重力的分力與其受的摩擦力相等，目的是讓小車在木板上可以做勻速直線運動。3.數(shù)據(jù)的處理以單根橡皮繩做的功為橫坐標，以速度的平方為縱坐標描點連線，畫出圖象。4.實驗結(jié)論畫出圖象，圖象為直線，即。要點二、動能、動能的改變要點詮釋：1.動能： (1)概念：物體由于運動而具有的能叫動能物體的動能等于物體的質(zhì)量與物體速度的二次方的乘積的一半 (2)定義式：，v是瞬時速度(3)單位：焦(J)(4)動能概念的理解動能是標量，且只有正值動能具有瞬時性，在某一時刻，物體具有一定的速度，也就具有一定的動能動能具有相對性，對不同的參考系，物體速度有不同的瞬時值，也就具有不同的動能，一般都以地面為參考系研究物體的運動2.動能的變化：動能只有正值，沒有負值，但動能的變化卻有正有負“變化”是指末狀態(tài)的物理量減去初狀態(tài)的物理量動能的變化量為正值，表示物體的動能增加了，對應(yīng)于合力對物體做正功；動能的變化量為負值，表示物體的動能減小了，對應(yīng)于合力對物體做負功，或者說物體克服合力做功要點三、動能定理要點詮釋： (1)內(nèi)容表述：外力對物體所做的總功等于物體功能的變化 (2)表達式：，W是外力所做的總功，、分別為初、末狀態(tài)的動能若初、末速度分別為v1、v2，則， (3)物理意義： 動能定理揭示了外力對物體所做的總功與物體動能變化之間的關(guān)系，即外力對物體做的總功，對應(yīng)著物體動能的變化變化的大小由做功的多少來量度動能定理的實質(zhì)說明了功和能之間的密切關(guān)系，即做功的過程是能量轉(zhuǎn)化的過程等號的意義是一種因果關(guān)系的數(shù)值上相等的符號，并不意味著“功就是動能增量”，也不是“功轉(zhuǎn)變成動能”，而是“功引起物體動能的變化” (4)動能定理的理解及應(yīng)用要點 動能定理雖然可根據(jù)牛頓定律和運動學(xué)方程推出，但定理本身的意義及應(yīng)用卻具有廣泛性和普遍性 動能定理既適用于恒力作用過程，也適用于變力作用過程 動能定理既適用于物體做直線運動情況，也適用于物體做曲線運動情況 動能定理的研究對象既可以是單個物體，也可以是幾個物體所組成的一個系統(tǒng) 動能定理的研究過程既可以是針對運動過程中的某個具體過程，也可以是針對運動的全過程 動能定理的計算式為標量式，v為相對同一參考系的速度在中，W為物體所受所有外力對物體所做功的代數(shù)和，正功取正值計算，負功取負值計算；為動能的增量，即為末狀態(tài)的動能與初狀態(tài)的動能之差，而與物體運動過程無關(guān)要點四、應(yīng)用動能定理解題的基本思路和應(yīng)用技巧要點詮釋：1.應(yīng)用動能定理解題的基本思路（1）選取研究對象及運動過程；（2）分析研究對象的受力情況及各力對物體的做功情況：受哪些力？哪些力做了功？正功還是負功？然后寫出各力做功的表達式并求其代數(shù)和；（3）明確研究對象所歷經(jīng)運動過程的初、末狀態(tài)，并寫出初、末狀態(tài)的動能、的表達式；（4）列出動能定理的方程：，且求解。2.動能定理的應(yīng)用技巧（1）由于動能定理反映的是物體在兩個狀態(tài)的動能變化與其合力所做功的量值關(guān)系，所以對由初始狀態(tài)到終止狀態(tài)這一過程中物體運動性質(zhì)、運動軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問題不必加以追究，就是說應(yīng)用動能定理不受這些問題的限制。（2）一般來說，用牛頓第二定律和運動學(xué)知識求解的問題，用動能定理也可以求解，而往往用動能定理求解簡捷；可是有些用動能定理能夠求解的問題，應(yīng)用牛頓第二定律和運動學(xué)知識卻無法求解?？梢哉f，熟練地應(yīng)用動能定理求解問題，是一種高層次的思維和方法，應(yīng)該增強用動能定理解題的主動意識。要點五、動能定理與牛頓第二定律的聯(lián)系和區(qū)別 在推導(dǎo)動能定理的過程中應(yīng)用了只能在慣性參考系中成立的牛頓第二定律，因而動能定理也只適用于慣性參考系而對于不同的慣性參考系，雖然力對物體做的功、物體的動能、動能的變化都不相同，但動能定理作為一個力學(xué)規(guī)律在不同的參考系中仍然成立動能定理適用于在慣性參考系中運動的任何物體 要理解動能定理與牛頓第二定律的聯(lián)系與區(qū)別，應(yīng)該從兩者反映的物理規(guī)律的本質(zhì)上加以認識我們知道力的作用效果能夠使物體的運動狀態(tài)發(fā)生改變，即速度發(fā)生變化，而兩者都是來描述力的這種作用效果的前者對于一個力作用下物體的運動過程著重從空間積累的角度反映作用結(jié)果，而后者注重反映該過程中某一瞬時力的作用結(jié)果動能定理是從功的定義式出發(fā)，結(jié)合牛頓第二定律和動力學(xué)公式推導(dǎo)出來的，所以它不是獨立于牛頓第二定律的運動方程，但它們有較大的區(qū)別：牛頓第二定律是矢量式，反映的是力與加速度的瞬時關(guān)系，即力與物體運動狀態(tài)變化快慢之間的聯(lián)系；動能定理是標量式，反映的是力對物體持續(xù)作用的空間累積效果，即對物體作用的外力所做功與物體運動狀態(tài)變化之間的聯(lián)系，因而它們是研究力和運動的關(guān)系的兩條不同途徑把對一個物理現(xiàn)象每個瞬時的研究轉(zhuǎn)變成對整個過程的研究，是研究方法上的一大進步動能定理適用于直線運動，也適用于曲線運動；適用于恒力做功，也適用于變力做功力可以是各種性質(zhì)的力，既可以是同時作用，也可以是分段作用，只要能夠求出作用過程中各力做功的多少和正負即可這些正是動能定理解題的優(yōu)越性所在【典型例題】類型一、對“探究功與速度變化的關(guān)系”實驗的考查例1、關(guān)于“探究功與速度變化的關(guān)系”實驗中，下列敘述正確的是( ) A每次實驗必須設(shè)法求出橡皮筋對小車做功的具體數(shù)值 B每次實驗中，橡皮筋拉伸的長度沒有必要保持一致 C放小車的長木板應(yīng)該盡量使其水平 D先接通電源，再讓小車在橡皮筋的作用下彈出 【解析】實驗中沒有必要測出橡皮筋做的功到底是多少，只要測出以后各次實驗時橡皮筋做的功是第一次實驗時的多少倍就已經(jīng)足夠了，A錯；每次實驗橡皮筋拉伸的長度必須保持一致，只有這樣才能保證以后各次實驗時，橡皮筋做的功是第一次實驗時的整數(shù)倍，B錯；小車運動中會受到阻力，只有使木板傾斜到一定程度，使重力沿斜面方向的分力與阻力相平衡，才能減少誤差，C錯；實驗時，應(yīng)該先接通電源，讓打點計時器開始工作，然后再讓小車在橡皮筋的作用下彈出，D正確 【答案】D類型二、對動能、動能變化的理解例2、一質(zhì)量為0.1 kg的小球，以5m/s的速度在光滑水平面上勻速運動，與豎直墻壁碰撞后以原速率反彈，若以彈回的速度方向為正方向，則小球碰墻過程中的速度變化和動能變化分別是( ) Av10 m/s Bv0 CEk1 J DEk0【思路點撥】 本題考察動能的變化 【答案】A、D 【解析】速度是矢量，故vv2-v15m/s10m/s而動能是標量，初末兩態(tài)的速度大小相等，故動能相等，因此Ek0選A、D 【總結(jié)升華】物體速度大小變化相等時，物體的動能變化大小是不相同的。舉一反三【變式】關(guān)于運動物體所受的合外力、合外力做的功、物體動能的變化，下列說法正確的是( )A運動物體所受的合外力不為零，合外力必做功，物體的動能肯定要變化B運動物體所受的合外力為零，則物體的動能肯定不變 C運動物體的動能保持不變，則該物體所受合外力一定為零 D運動物體所受合外力不為零，則該物體一定做變速運動，其動能要變化 【答案】B【解析】關(guān)于運動物體所受的合外力、合外力做的功、物體動能的變化三者之間的關(guān)系有下列三個要點： (1)若運動物體所受合外力為零，則合外力不做功(或物體所受外力做功的代數(shù)和必為零)，物體的動能絕對不會發(fā)生變化 (2)物體所受合外力不為零，物體必做變速運動，但合外力不一定做功；合外力不做功，則物體動能不變化 (3)物體的動能不變，一方面表明物體所受的合外力不做功；同時表明物體的速率不變(速度的方向可以不斷改變，此時物體所受的合外力只是用來改變速度方向產(chǎn)生向心加速度，如勻速圓周運動) 根據(jù)上述三個要點不難判斷，本題只有選項B是正確的類型三、動能定理求勻變速直線運動問題例3、如圖所示，質(zhì)量為m的物體，從高為h、傾角為的光滑斜面頂端由靜止開始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為，求： (1)物體滑至斜面底端時的速度； (2)物體在水平面上滑行的距離【思路點撥】物體在斜面上做勻加速運動，在水平面上做勻減速運動，兩過程可分別應(yīng)用動能定理求解?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】(1)由動能定理可得，解得 (2)設(shè)物體在水平面上滑行的距離為l，由動能定理得，解得 此題也可對整個過程運用動能定理求解：，整理得【總結(jié)升華】該題用牛頓運動定律也能求解，但用動能定理不涉及中間過程，所以解法更為簡單，特別是對全程應(yīng)用動能定理時更簡單舉一反三【變式1】如圖所示，質(zhì)量為m的物體從斜面上的A處由靜止滑下,在由斜面底端進入水平面時速度大小不變,最后停在水平面上的B處。量得A、B兩點間的水平距離為s，A高為h，已知物體與斜面及水平面的動摩擦因數(shù)相同，則此動摩擦因數(shù)= ?！敬鸢浮俊咀兪?】如圖所示，ABCD是一條長軌道，其中AB段是傾角為的斜面，CD段是水平的BC是與AB和CD都相切的一小段圓弧，其長度可以忽略不計一質(zhì)量為m的小滑塊在A點從靜止狀態(tài)釋放，沿軌道滑下，最后停在D點，A點和D點的位置如圖所示現(xiàn)用一沿著軌道方向的力推滑塊，把它緩慢地由D點推回到A點時停下設(shè)滑塊與軌道間的動摩擦因數(shù)為，則推力對滑塊做的功等于( )Amgh B2mgh C D 【答案】B【解析】小滑塊在斜面上和在平面上運動時都受到三個力，即重力、支持力和摩擦力整個過程中，支持力由于與速度方向始終垂直，故不做功從A到D的過程中，由動能定理，有，故 當它返回時，從D到A的過程中，重力和摩擦力均做負功，因推力平行于軌道，所受摩擦力大小跟A到D相同，做的功也相等，均為 從D到A的返回過程，根據(jù)動能定理，有 故 【總結(jié)升華】本題中，往返兩過程均克服摩擦力做功，且相等，所以不必通過求力和位移找摩擦力做功的表達式類型四、動能定理求曲線運動問題例4、某興趣小組設(shè)計了如圖所示的玩具軌道，其中“2008”四個等高數(shù)字用內(nèi)壁光滑的薄壁細圓管彎成，固定在豎直平面內(nèi)(所有數(shù)字均由圓或半圓組成，圓半徑比細管的內(nèi)徑大得多)，底端與水平地面相切彈射裝置將一個小物體(可視為質(zhì)點)以5 m/s的水平初速度由a點彈出，從b點進入軌道，依次經(jīng)過“8002”后從p點水平拋出小物體與地面ab段間的動摩擦因數(shù)0.3，不計其他機械能損失已知ab段長L1.5 m，數(shù)字“0”的半徑R0.2 m，小物體的質(zhì)量m0.0l kg，g取10 m/s2求： (1)小物體從p點拋出后的水平射程； (2)小物體經(jīng)過數(shù)字“0”的最高點時管道對小物體作用力的大小和方向【思路點撥】解題的關(guān)鍵是抓住小球到最高點恰無作用力，此時重力作為向心力，在應(yīng)用動能表達式時，搞清初、末狀態(tài)【解析】(1)設(shè)小物體運動到p點時的速度大小為v，對小物體由a運動到p過程應(yīng)用動能定理得： 小物體自p點做平拋運動，設(shè)運動時間為t，水平射程為s，則， svt 聯(lián)立式，代入數(shù)據(jù)解得s0.8 m (2)設(shè)在數(shù)字“0”的最高點時管道對小物體的作用力大小為F，取豎直向下為正方向，聯(lián)立式，代入數(shù)據(jù)解得F0.3 N方向豎直向下【總結(jié)升華】本題的物量情景新穎，實質(zhì)考查的是平拋運動、圓周運動的有關(guān)知識及動能定理的運用，小球在數(shù)字“2008”中運動的過程中4個最高點時的速度是相同的，可以根據(jù)具體情況選取不同的過程列方程，解得的結(jié)果相同【高清課程：動能和動能定理 例5】【變式】質(zhì)量為m的小球被系在輕繩的一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，運動過程中小球受到空氣阻力的作用。設(shè)某一時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg，此后小球繼續(xù)做圓周運動，經(jīng)過半個圓周恰好能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為（ ）A mgR/4 B mgR/3 C mgR/3 D mgR【答案】C類型五、動能定理求多過程問題例5、（2015 福建高考）如圖，質(zhì)量為M的小車靜止在光滑水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，BC段是長為L的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點。一質(zhì)量為m的滑塊在小車上從A點由靜止開始沿軌道滑下，重力加速度為g。（1）若固定小車，求滑塊運動過程中對小車的最大壓力；（2）若不固定小車，滑塊仍從A點由靜止下滑，然后滑入BC軌道，最后從C點滑出小車。已知滑塊質(zhì)量，在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，滑塊與軌道BC間的動摩擦因數(shù)為，求：滑塊運動過程中，小車的最大速度大小vm；滑塊從B到C運動過程中，小車的位移大小s?！舅悸伏c撥】（1）滑塊滑到B點時對小車壓力最大，可由機械能守恒定律求出滑塊到達B點時的速度，再由牛頓第二定律和圓周運動的知識求出壓力。（2）滑塊滑到B點時，小車速度最大，由機械能守恒定律可求出最大速度vm設(shè)滑塊滑到C點時小車速度大小為vc，由功能關(guān)系可求出vc，由牛頓第二定律可求出滑塊從B到C過程中的加速度，再由運動學(xué)規(guī)律求出小車的位移大小s【解析】（1）滑塊滑到B點時對小車壓力最大，可由機械能守恒定律求出滑塊到達B點時的速度，再由牛頓第二定律和圓周運動的知識求出壓力。（2）滑塊滑到B點時，小車速度最大，由機械能守恒定律可求出最大速度vm設(shè)滑塊滑到C點時小車速度大小為vc，由功能關(guān)系可求出vc，由牛頓第二定律可求出滑塊從B到C過程中的加速度，再由運動學(xué)規(guī)律求出小車的位移大小s答案：（1）滑塊滑到B點時對小車壓力最大，從A到B機械能守恒滑塊在B點處，由牛頓第二定律解得 N=3mg由牛頓第三定律 N=3mg（2）滑塊下滑到達B點時，小車速度最大。由機械能守恒解得設(shè)滑塊運動到C點時，小車速度大小為vC，由功能關(guān)系設(shè)滑塊從B到C過程中，小車運動加速度在a，由牛頓第二定律mg=Ma由運動學(xué)規(guī)律解得舉一反三【變式】質(zhì)量為m的滑塊與傾角為的斜面間的動摩擦因數(shù)為，斜面底端有一個和斜面垂直放置的彈性擋板,滑塊滑到底端與它碰撞時沒有機械能損失,如圖所示若滑塊從斜面上高為h處以速度v0開始沿斜面下滑,設(shè)斜面足夠長,求：滑塊在斜面上滑行的總路程是多少? 【答案】類型六、應(yīng)用動能定理求解變力做功的問題例6、如圖，一半徑為R、粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置，直徑POQ水平。一質(zhì)量為m的質(zhì)點自P點上方高度R處由靜止開始下落，恰好從P點進入軌道。質(zhì)點滑到軌道最低點N時，對軌道的壓力為4mg，g為重力加速度的大小。用W表示質(zhì)點從P點運動到N點的過程中克服摩擦力所做的功。則（ ）A. ，質(zhì)點恰好可以到達Q點B. ，質(zhì)點不能到達Q點C. ，質(zhì)點到達Q后，繼續(xù)上升一段距離D. ，質(zhì)點到達Q后，繼續(xù)上升一段距離【答案】C【解析】對質(zhì)點由最高點到N點用動能定理：（1）N點運用牛頓第二定律： （2），（1）（2）式聯(lián)立解得：質(zhì)點運動過程中，對該質(zhì)點進行受力分析，半徑方向的合力提供向心力，根據(jù)左右對稱，在同一高度，由于摩擦力做功導(dǎo)致同一高度上的右半邊的速度小，軌道彈力變小，滑動摩擦力減小，所以摩擦力做功減小。從N到Q過程中，摩擦力做功為，根據(jù)動能定理：解得： 因所以Q點的速度不為零。故選：C?！究偨Y(jié)升華】小球在曲面上受到滑動摩擦力，因隨速度的變化而變化，因此小球在曲面上受到的摩擦力為變力，任取左半圓上的一點A，與其對稱的右半圓上A點相比，因，故小球在A點受軌道彈力更大，則摩擦力更大，同理，左半圓與右半圓對稱的所有點都符合這個規(guī)律，因此右半圓上摩擦力做功一定比右半圓上摩擦力做功少。再結(jié)合動能定理即可判斷小球到達Q點后是否繼續(xù)上升。舉一反三【變式】在光滑的水平面上，物體A以較大的速度vA向右運動，與較小速度vB向同一方向運動的、連有輕質(zhì)彈簧的物體B發(fā)生相互作用，如圖所示。在相互作用的過程中，彈簧的彈性勢能最大時（ ） A、 vA > vB B、 vA < vB C、 vA = vB D、無法確定【答案】C