第1節(jié)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究【內(nèi)容要求】數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.【基本過程】數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過程如下：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.【過程解讀】掌握建?；具^程，會(huì)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行問題分析，善于合理假設(shè).問題分析也常稱為模型準(zhǔn)備或問題重述.由于數(shù)學(xué)模型是建立數(shù)學(xué)與實(shí)際現(xiàn)象之間的橋梁，因此，首要的工作是要設(shè)法用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述實(shí)際現(xiàn)象.所謂問題重述是指把實(shí)際現(xiàn)象盡量地使用貼近數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行重新描述.為此，要充分了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的，盡可能弄清對(duì)象的特征，并為此搜集必需的各種信息或數(shù)據(jù).要善于捕捉對(duì)象特征中隱含的數(shù)學(xué)因素，并將其一一列出.至此，我們便有了一個(gè)很好的開端，而有了這個(gè)良好的開端，不僅可以決定建模方向，初步確定用哪一類模型，而且對(duì)下面的各個(gè)步驟都將產(chǎn)生影響.模型假設(shè)(即合理假設(shè))是與問題分析緊密銜接的又一個(gè)重要步驟.根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，在問題分析基礎(chǔ)上對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的取舍簡(jiǎn)化，并使用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)，這是建模至關(guān)重要的一步.這是因?yàn)?，一個(gè)實(shí)際問題往往是復(fù)雜多變的，如不經(jīng)過合理的簡(jiǎn)化假設(shè)，將很難于轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個(gè)復(fù)雜的難于求解的模型從而使建模歸于失敗.當(dāng)然，假設(shè)作得不合理或過分簡(jiǎn)單也同樣會(huì)因?yàn)榕c實(shí)際相去甚遠(yuǎn)而使建模歸于失敗.一般地，作出假設(shè)時(shí)要充分利用與問題相關(guān)的有關(guān)學(xué)科知識(shí)，充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力，分清問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素.【實(shí)際意義】數(shù)學(xué)建模的實(shí)際意義1.在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地.在以聲、光、熱、力、電這些物理學(xué)科為基礎(chǔ)的諸如機(jī)械、電機(jī)、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然這里的基本模型是已有的，但是由于新技術(shù)、新工藝的不斷涌現(xiàn)，提出了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題；高速、大型計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，使得過去即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的課題(如大型水壩的應(yīng)力計(jì)算，中長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)等)迎刃而解；建立在數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬基礎(chǔ)上的CAD技術(shù)，以其快速、經(jīng)濟(jì)、方便等優(yōu)勢(shì)，大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)中的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)、物理模擬等手段.2.在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具.無論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動(dòng)化等高新技術(shù)本身，還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品，計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段.數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計(jì)算和計(jì)算機(jī)圖形等相結(jié)合形成的計(jì)算機(jī)軟件，已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中，在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用，被認(rèn)為是高新技術(shù)的特征之一.3.數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地.隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟(jì)、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學(xué)科如計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運(yùn)而生.在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當(dāng)大，為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的新天地.馬克思說過，一門科學(xué)只有成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了完善的地步.展望21世紀(jì)，數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時(shí)期.【課題研究】課題研究的過程包括選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié).學(xué)生需要撰寫開題報(bào)告，教師要組織開展開題交流活動(dòng)，開題報(bào)告應(yīng)包括選題意義、文獻(xiàn)綜述、解決問題思路、研究計(jì)劃、預(yù)期結(jié)果等.做題是解決問題的過程，包括描述問題、數(shù)學(xué)表達(dá)、建立模型、求解模型、得到結(jié)論、反思完善等.結(jié)果包括撰寫研究報(bào)告和報(bào)告研究結(jié)果，開展結(jié)題答辯.根據(jù)選題的內(nèi)容，報(bào)告可以采用專題作業(yè)、測(cè)量報(bào)告、算法程序、制作的實(shí)物、研究報(bào)告或小論文等多種形式.【課題引例】測(cè)量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度目的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際測(cè)量高度的問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的完整過程.組織學(xué)生通過分組、合作等形式，完成選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié).情境給出下面的測(cè)量任務(wù)；(1)測(cè)量本校的一座教學(xué)樓的高度；(2)測(cè)量本校的旗桿的高度；(3)測(cè)量學(xué)校院墻外的一座不可及，但在學(xué)校操場(chǎng)上可以看到見的物體的高度.可以每23個(gè)學(xué)生組成一個(gè)測(cè)量小組，以小組為單位完成；各人填寫測(cè)量課題報(bào)告表，一周后上交.測(cè)量課題報(bào)告表項(xiàng)目名稱：_完成時(shí)間：_1.成員與分工姓名分工2.測(cè)量對(duì)象例如，某小組選擇的測(cè)量對(duì)象是：旗桿、教學(xué)樓、校外的大廈.3.測(cè)量方法(請(qǐng)說明測(cè)量的原理、測(cè)量工具、創(chuàng)新點(diǎn)等)4.測(cè)量數(shù)據(jù)、計(jì)算過程和結(jié)果(可以另外附圖或附頁(yè))5.研究結(jié)果(包括誤差分析)6.簡(jiǎn)述工作感受要求(1)成立項(xiàng)目小組，確定工作目標(biāo)，準(zhǔn)備測(cè)量工具.(2)小組成員查閱有關(guān)資料，進(jìn)行討論交流，尋求測(cè)量效率高的方法，設(shè)計(jì)測(cè)量方案(最好設(shè)計(jì)兩套測(cè)量方案).(3)分工合作，明確責(zé)任.例如，測(cè)量、記錄數(shù)據(jù)、計(jì)算求解、撰寫報(bào)告的分工等.(4)撰寫報(bào)告，討論交流.可以用照片、模型、PPT等形式展現(xiàn)獲得的成果.根據(jù)上述要求，每個(gè)小組要完成以下工作.(1)選題本案例活動(dòng)的選題步驟略去.(2)開題可以在課堂上組織開題交流，讓每一個(gè)項(xiàng)目小組陳述初步測(cè)量方案，教師和其他同學(xué)可以提出質(zhì)疑.在討論的基礎(chǔ)上，項(xiàng)目小組最終形成各自的測(cè)量方案.(3)做題依據(jù)小組的測(cè)量方案實(shí)施測(cè)量.盡量安排各個(gè)小組在同一時(shí)間進(jìn)行測(cè)量，這樣有利于教師的現(xiàn)場(chǎng)觀察和管理.要有分工、合作、責(zé)任落實(shí)到個(gè)人.(4)結(jié)題在每一位學(xué)生都完成“測(cè)量報(bào)告”后，安排一次交流講評(píng)活動(dòng).遴選的交流報(bào)告最好有鮮明的特點(diǎn)，如測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確，過程完整清晰，方法有創(chuàng)意，誤差處理得當(dāng)，報(bào)告書寫規(guī)范等；或者測(cè)量的結(jié)果出現(xiàn)明顯誤差，使用的方法不當(dāng).分析測(cè)量高度是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，這樣的問題有助于培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題、動(dòng)手實(shí)踐、誤差分析等方面的能力.測(cè)量模型可以用平面幾何的方法，例如，比例線段、相似形等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，考慮自由落體的時(shí)間；等等.拓展歡迎提出新的問題，積累數(shù)學(xué)建模資源.例如：1.本市的電視塔的高度是多少米？2.一座高度為H m的電視塔，信號(hào)傳播半徑是多少？信號(hào)覆蓋面積有多大？3.找一張本市的地圖，看一看本市的地域面積有多少平方千米？電視塔的位置在地圖上的什么地方？按照計(jì)算得到的數(shù)據(jù)，這座電視塔發(fā)出的電視信號(hào)是否能覆蓋本市？4.本市(外地)到省會(huì)的距離有多少千米？要用一座電視塔把信號(hào)從省會(huì)直接發(fā)送到本市，這座電視臺(tái)的高度至少要多少米？5.如果采用多個(gè)中繼站的方式，用100 m高的塔接力傳輸電視信號(hào)，從省會(huì)到本地至少要建多少座100 m高的中繼傳送塔？6.考慮地球大氣層和電離層對(duì)電磁波的反射作用，重新考慮問題2，4，5.7.如果一座電視塔(例如300 m高)不能覆蓋本市，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)多塔覆蓋方案.8.至少發(fā)射幾顆地球定點(diǎn)的通訊衛(wèi)星，可以使其信號(hào)覆蓋地球？9.如果我國(guó)要發(fā)射一顆氣象監(jiān)測(cè)衛(wèi)星，監(jiān)測(cè)我國(guó)的氣象情況，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)合理的衛(wèi)星定點(diǎn)位置或衛(wèi)星軌道.10.在網(wǎng)上收集資料，了解有關(guān)“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”的內(nèi)容，在班里做一個(gè)相關(guān)內(nèi)容的綜述，并發(fā)表對(duì)這件事的看法.