第01節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)【考綱解讀】考 點考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計分析預(yù)測1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算.無1.三角函數(shù)的定義； 2.扇形的面積、弧長及圓心角；3.在大題中考查三角函數(shù)的定義，主要考查：一是直接利用任意角三角函數(shù)的定義求其三角函數(shù)值；二是根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義確定終邊上一點的坐標(biāo)4.備考重點： (1) 理解三角函數(shù)的定義；(2) 掌握扇形的弧長及面積計算公式.2.三角函數(shù)的定義理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義.2018年浙江卷18【知識清單】1象限角及終邊相同的角1任意角、角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角按終邊位置不同分為象限角和軸線角(2)終邊相同的角：終邊與角相同的角可寫成k360(kZ)2.弧度制：1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|，l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制比值與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)3.弧度與角度的換算：3602弧度；180弧度2三角函數(shù)的定義1.任意角的三角函數(shù)定義： 設(shè)是一個任意角，角的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin y，cos x，tan ，它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)2 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函數(shù)線設(shè)角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標(biāo)為(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線.三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線3. 扇形的弧長及面積公式弧長公式：l|r，扇形面積公式：S扇形lr|r2.【重點難點突破】考點1 象限角及終邊相同的角【1-1】已知角45，(1)在7200范圍內(nèi)找出所有與角終邊相同的角；(2)設(shè)集合，判斷兩集合的關(guān)系【答案】（1）675或315.(2).【1-2】終邊在直線yx上的角的集合為_【答案】|k，kZ【解析】終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ【1-3】若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置【答案】角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負半軸上,的終邊在第一象限或第三象限.【解析】角是第二象限角， ，（1）， 角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負半軸上（2），當(dāng)時， ，的終邊在第一象限當(dāng)時，的終邊在第三象限綜上所述，的終邊在第一象限或第三象限【領(lǐng)悟技法】1.對與角終邊相同的角的一般形式k360(kZ)的理解;(1)kZ;(2)任意角;(3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.2.利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角3.已知角的終邊位置，確定形如k，等形式的角終邊的方法：先表示角的范圍，再寫出k、等形式的角范圍，然后就k的可能取值討論所求角的終邊位置【觸類旁通】【變式一】【浙江省杭州第二中學(xué)三角函數(shù)】若是第三象限的角, 則是 （ ）A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角【答案】B【變式二】【浙江省東陽中學(xué)3月月考】已知且，則角的終邊所在的象限是A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】依據(jù)題設(shè)及三角函數(shù)的定義可知角終邊上的點的橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)大于零，所以終邊在第二象限，應(yīng)選答案B.考點2 三角函數(shù)的定義【2-1】【浙江省臺州中學(xué)期中】已知角的終邊過點,且，則的值為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用角的終邊過點，結(jié)合，判斷所在象限，利用三角函數(shù)的定義，求出的值即可.詳解：由題意可知，是第三象限角，可得，即，解得，故選B. 【2-2】【浙江省嘉興市第一中學(xué)期中】已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可詳解：由三角函數(shù)的定義可得故選B【2-3】【福建省福州市期末】如圖，在直角坐標(biāo)系中，射線交單位圓于點，若，則點的坐標(biāo)是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接由三角函數(shù)的定義得到結(jié)果即可.詳解：根據(jù)三角函數(shù)的定義得到點的坐標(biāo)為：.故答案為：A.【2-4】已知角的終邊上一點P的坐標(biāo)為，則角的最小正值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知點P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值為.【領(lǐng)悟技法】1.已知角終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解2.已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值【觸類旁通】【變式一】已知角的終邊經(jīng)過點(3a9，a2)，且cos 0，sin >0，則實數(shù)a的取值范圍是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3【答案】A【解析】cos 0，sin >0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上2<a3.故選A.【變式二】已知角的終邊在射線上，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A點睛：（1）本題主要考查直線的斜率和同角的三角函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)在中，存在著“知一求二”的解題規(guī)律，即只要知道了其中一個，就可以求出另外兩個.考點3 扇形的弧長及面積公式【3-1】【浙江省諸暨中學(xué)2017-2018學(xué)年第二階段】已知扇形的周長是，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】設(shè)扇形的半徑為，弧長為 ，則 解得 或 故選C【3-2】【2018屆黑龍江省齊齊哈爾八中8月月考】若扇形的圓心角，弦長，則弧長_ 【答案】【解析】畫出圖形，如圖所示.設(shè)扇形的半徑為rcm，由sin60=，得r=4cm，l=4= cm.【領(lǐng)悟技法】(1)弧度制下l|r，Slr，此時為弧度在角度制下，弧長l，扇形面積S，此時n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系(2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形【觸類旁通】【變式一】【浙江省杭州第二中學(xué)三角函數(shù) 單元測試題】若扇形的面積為,半徑為1，則扇形的圓心角為 （）A. B. C. D. 【答案】B【解析】設(shè)扇形的圓心角為，則扇形的面積為，半徑為1， 故選B【變式二】【浙江省9+1高中聯(lián)盟期中聯(lián)考】如圖，以正方形中的點A為圓心，邊長AB為半徑作扇形EAB，若圖中兩塊陰影部分的面積相等，則的弧度數(shù)大小為_.【答案】；【解析】設(shè)正方形的邊長為，由已知可得 .【易錯試題常警惕】易錯典例：已知角的終邊過點,求角的的正弦值、余弦值.易錯分析：學(xué)生在做題時容易遺忘的情況正確解析：當(dāng)時，；當(dāng)時，溫馨提醒：本題主要考察了三角函數(shù)的定義以及分類討論思想方法，這也是高考考查的一個重點.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休數(shù)形結(jié)合思想我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果.【典例】【2018年5月3日 三角函數(shù)線每日一題】作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：（1）；（2）【答案】(1)見解析.(2)見解析.【解析】（1）（，），作出角的終邊如圖所示，交單位圓于點P，作PMx軸于M，則有向線段MP=sin，有向線段OM=cos，設(shè)過A（1，0）垂直于x軸的直線交OP的反向延長線于T，則有向線段AT=tan，綜上所述，圖（1）中的有向線段MP、OM、AT分別為角的正弦線、余弦線、正切線；（2）（，），在第三象限內(nèi)作出角的終邊如圖所示，交單位圓于點P，用類似（1）的方法作圖，可得圖（2）中的有向線段MP、OM、AT分別為角的正弦線、余弦線、正切線