2.6.3 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．(2018全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 [解析]　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．由已知可得直線的方程為y＝(x＋2)，即x＝y(tǒng)－2，由得y2－6y＋8＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8， ∴x1＋x2＝(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝＝4，∵F(1,0)，∴＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8，故選D. [答案]　D 2．(2017全國卷Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 [解析]　由題意可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，直線AB的斜率存在且不為0，故設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1. 由得y2－4my－4＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， ∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4. ∵AB⊥DE，∴直線DE的方程為x＝－y＋1，|DE|＝＋4， ∴|AB|＋|DE|＝4m2＋4＋＋4 ＝4＋8≥42＋8＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)m2＝，即m＝1時，等號成立． ∴|AB|＋|DE|的最小值為16.故選A. [答案]　A 3．(2018全國卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90，是k＝________. [解析]　由題意可知C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以過焦點(diǎn)(1,0)，斜率為k的直線方程為x＝＋1，設(shè)A，B，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得整理得y2－y－4＝0，從而得y1＋y2＝，y1y2＝－4. ∵M(jìn)(－1,1)，∠AMB＝90，∴＝0， 即＋(y1－1)(y2－1)＝0，即k2－4k＋4＝0，解得k＝2. [答案]　2 4．(2018全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． [解]　(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，或k＝1， 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 圓錐曲線的綜合問題多以解答題的形式考查，常作為壓軸題出現(xiàn)在第20題的位置，一般難度較大．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程、定點(diǎn)、定值、最值、范圍以及存在性問題都是考查的重點(diǎn)，常與向量、函數(shù)、不等式等知識結(jié)合．解題時，常以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為突破口，利用設(shè)而不求、整體代換的技巧求解，要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的指導(dǎo)作用．