培優(yōu)點五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性例1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【答案】見解析【解析】第一步：先確定定義域，定義域為，第二步：求導(dǎo)：，第三步：令，即，第四步：處理恒正恒負(fù)的因式，可得，第五步：求解，列出表格2函數(shù)的極值例2：求函數(shù)的極值【答案】的極大值為，無極小值【解析】令解得：，的單調(diào)區(qū)間為：的極大值為，無極小值3利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值例3：已知函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4，則_【答案】【解析】思路一：函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，當(dāng)時，為增函數(shù)，所以，矛盾舍去；當(dāng)時，若，為減函數(shù)，若，為增函數(shù)，所以為極小值，也是最小值；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，所以（矛盾）；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)，即時，在上的最小值為，此時（矛盾）綜上思路二：，令導(dǎo)數(shù)，考慮最小值點只有可能在邊界點與極值點處取得，因此可假設(shè)，分別為函數(shù)的最小值點，求出后再檢驗即可對點增分集訓(xùn)一、單選題1函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）ABCD【答案】A【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，得，結(jié)合函數(shù)的定義域，得當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故選A2若是函數(shù)的極值點，則（ ）A有極大值B有極小值C有極大值0D有極小值0【答案】A【解析】因為是函數(shù)的極值點，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，因此有極大值，故選A3已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以對于一切恒成立，得，又因為在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，所以，可知在上有零點，也就是極值點，即有解，在上解得，可得，故選C4函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，只需恒成立，即，故選C5遇見你的那一刻，我的心電圖就如函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD【答案】A【解析】由，其定義域為，即，則函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C、D，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除B，故選A6函數(shù)在內(nèi)存在極值點，則（ ）ABC或D或【答案】A【解析】若函數(shù)在無極值點，則或在恒成立當(dāng)在恒成立時，時，得；時，得；當(dāng)在恒成立時，則且，得；綜上，無極值時或在在存在極值故選A7已知，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A或B或C或D或【答案】D【解析】因為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，只需，即解得或，故選D8函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖像如圖所示記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（ ）ABCD【答案】A【解析】由圖象知和上遞減，因此的解集為故選A9設(shè)函數(shù)，則（ ）A在區(qū)間，內(nèi)均有零點B在區(qū)間，內(nèi)均無零點C在區(qū)間內(nèi)有零點，在區(qū)間內(nèi)無零點D在區(qū)間內(nèi)無零點，在區(qū)間內(nèi)有零點【答案】D【解析】的定義域為，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當(dāng)在區(qū)間上時，在其上單調(diào)，故在區(qū)間上無零點，當(dāng)在區(qū)間上時，在其上單調(diào)，故在區(qū)間上有零點故選D10若函數(shù)既有極大值又有極小值，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABC或D或【答案】D【解析】，函數(shù)既有極大值又有極小值，有兩個不等的實數(shù)根，則或，故選D11已知函數(shù)的兩個極值點分別在與內(nèi)，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】由函數(shù)，求導(dǎo)，的兩個極值點分別在區(qū)間與內(nèi)，由的兩個根分別在區(qū)間與內(nèi)，令，轉(zhuǎn)化為在約束條件為時，求的取值范圍，可行域如下陰影（不包括邊界），目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，由圖可知，在處取得最大值，在處取得最小值，可行域不包含邊界，的取值范圍本題選擇A選項12設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】，函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，在上恒成立，即在上恒成立在上為單調(diào)增函數(shù)，故選D二、填空題13函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_【答案】8【解析】，已知，當(dāng)或時，在該區(qū)間是增函數(shù)，當(dāng)時，在該區(qū)間是減函數(shù)，故函數(shù)在處取極大值，又，故的最大值是814若函數(shù)在，上都是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值集合是_【答案】【解析】，函數(shù)在，上都是單調(diào)增函數(shù)，則，即，解得，即，解得，則實數(shù)的取值集合是，故答案為15函數(shù)在內(nèi)不存在極值點，則的取值范圍是_【答案】或【解析】函數(shù)在內(nèi)不存在極值點在內(nèi)單調(diào)函數(shù)或在內(nèi)恒成立，由在內(nèi)恒成立，即，同理可得，故答案為或16已知函數(shù)， 當(dāng)時，有最大值； 對于任意的，函數(shù)是上的增函數(shù)； 對于任意的，函數(shù)一定存在最小值； 對于任意的，都有其中正確結(jié)論的序號是_（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】【解析】由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，據(jù)此可知當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)沒有最大值，說法錯誤；當(dāng)時，函數(shù)，均為單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)是上的增函數(shù)，說法正確；當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，且當(dāng)，據(jù)此可知存在，在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增；函數(shù)在處取得最小值，說法正確；當(dāng)時，由于，故，說法錯誤；綜上可得：正確結(jié)論的序號是三、解答題17已知函數(shù)（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）證明：恒成立【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）見解析【解析】（1），當(dāng)時，恒成立，所以，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得到，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證法一：由（1）可知，當(dāng)時，特別地，取，有，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可，設(shè) ，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增所以，當(dāng)時，即在上恒成立因此，有，又因為兩個等號不能同時成立，所以有恒成立證法二：記函數(shù)，則，可知在上單調(diào)遞增，又由，知，在上有唯一實根，且，則，即（*），當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合（*）式，知，所以，則，即，所以有恒成立18已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，點是曲線上的一個定點，是否存在實數(shù)使得成立？并證明你的結(jié)論【答案】（1）或；（2）不存在，見解析【解析】（1）當(dāng)時，由題意得，即，令，則，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，則或時，在上有且只有一個零點（2）由，得，假設(shè)存在，則有，即，即，令，則，兩邊同時除以，得，即，令，令在上單調(diào)遞增，且，對于恒成立，即對于恒成立，在上單調(diào)遞增，對于恒成立，不成立，同理，時，也不成立，不存在實數(shù)使得成立