第二講 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)一、選擇題1(2018廣西南寧模擬)雙曲線1的漸近線方程為()AyxByxCyxDyx解析：在雙曲線 1中，a5，b2，而其漸近線方程為yx，其漸近線方程為yx，故選D.答案：D2已知橢圓C的方程為1(m0)，如果直線yx與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F，則m的值為()A2B2C8D2解析：根據(jù)已知條件得c，則點(diǎn)在橢圓1(m0)上，1，可得m2.答案：B3(2018張掖模擬)雙曲線1(a0，b0)的漸近線與圓x2(y2)21相切，則雙曲線的離心率為()A.B. C2D3解析：雙曲線1的漸近線與圓x2(y2)21相切，則圓心(0,2)到直線bxay0的距離為1，所以1，即1，所以雙曲線的離心率e2，故選C.答案：C4(2017高考全國(guó)卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A.B. C.D.解析：以線段A1A2為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)，半徑為a.由題意，圓心到直線bxay2ab0的距離為a，即a23b2.又e21，所以e.答案：A5已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為4，漸近線方程為2xy0，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1D.1解析：易知雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)在x軸上，所以由漸近線方程為2xy0，得2，因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c2，結(jié)合c2a2b2，可得a2，b4，所以雙曲線的方程為1，故選A.答案：A6(2018長(zhǎng)春模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|()A1B2C4D.解析：不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)M，由于PH既是F1PF2的平分線又垂直于F1M，故PF1M為等腰三角形，|PF1|PM|且H為F1M的中點(diǎn)，所以O(shè)H為MF1F2的中位線，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.故選A.答案：A7(2018高考全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.B2C.D2解析：由題意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因?yàn)閍0，b0，所以ab，漸近線方程為xy0，點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為2，故選D.答案：D8(2018石家莊一模)已知直線l：y2x3被橢圓C：1(ab0)截得的弦長(zhǎng)為7，有下列直線：y2x3；y2x1；y2x3；y2x3.其中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有()A1條B2條C3條D4條解析：易知直線y2x3與直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線y2x3與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱，直線y2x3與直線l關(guān)于y軸對(duì)稱，故由橢圓的對(duì)稱性可知，有3條直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7.選C.答案：C9(2018洛陽(yáng)模擬)設(shè)雙曲線C：1的右焦點(diǎn)為F，過F作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若d是雙曲線上任意一點(diǎn)P到直線MN的距離，則的值為()A.B.C.D無(wú)法確定解析：雙曲線C：1中，a4，b3，c5，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線方程為yx.不妨設(shè)M在直線 yx上，N在直線yx上，則直線MF的斜率為，其方程為y(x5)，設(shè)M(t，t)，代入直線MF的方程，得t(t5)，解得t，即M(，)由對(duì)稱性可得N(，)，所以直線MN的方程為x.設(shè)P(m，n)，則d|m|，1，即n2(m216)，則|PF|5m16|.故，故選B.答案：B10(2018高考全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則()A5B6 C7D8解析：由題意知直線MN的方程為y(x2)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得解得或不妨設(shè)M為(1,2)，N為(4,4)又拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，(0,2)，(3,4)，03248.故選D.答案：D11(2018廣西五校聯(lián)考)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，若10，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(，1)B(1，1)C(1，)D(，)解析：設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，依題意可得1，得到y(tǒng)，不妨設(shè)M，N，則114c20，得到4a2c2(c2a2)20，即a4c46a2c20，故e46e210，解得32e232，又e1，所以1e232，解得1e1答案：B12(2018南昌模擬)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若x1x24|AB|，則AFB的最大值為()A.B.C.D.解析：由拋物線的定義可得|AF|x12，|BF|x22，又x1x24|AB|，得|AF|BF|AB|，所以|AB|(|AF|BF|)所以cosAFB2，而0AFB，所以AFB的最大值為.答案：D二、填空題13(2018成都模擬)已知雙曲線1(a0)和拋物線y28x有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_解析：易知拋物線y28x的焦點(diǎn)為(2,0)，所以雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則a2222，即a，所以雙曲線的離心率e.答案：14(2018武漢調(diào)研)雙曲線：1(a0，b0)的焦距為10，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則的實(shí)軸長(zhǎng)等于_解析：雙曲線的焦點(diǎn)(0,5)到漸近線yx，即axby0的距離為b3，所以a4,2a8.答案：815(2018唐山模擬)過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|2|BF|6，則p_.解析：設(shè)AB的方程為xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過A作ACl，垂足為C，過B作BDl，垂足為D，因?yàn)閨AF|2|BF|6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：416(2017高考全國(guó)卷改編)設(shè)A，B是橢圓C：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則m的取值范圍是_解析：當(dāng)0m3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則tan 60，即 ，解得0m1.當(dāng)m3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則tan 60，即，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)答案：(0,19，)三、解答題17(2018遼寧五校聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，若BF1F2的周長(zhǎng)為6，且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為b.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A1，A2是橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P交直線xm于點(diǎn)M，若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，求實(shí)數(shù)m的值解析：(1)由題意得F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，則2a2c6，直線BF2的方程為bxcybc0，所以b，即2ca，又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以橢圓C的方程為1.(2)不妨設(shè)A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，則直線A1P的方程為y(x2)，所以M(m，(m2)，又點(diǎn)P在橢圓C上，所以y3(1)，若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，則A2MA2P，0，所以(m2，(m2)(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)(m)0.又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1，A2，所以x02，所以m14.18(2018福州模擬)拋物線C：y2x24xa與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，其中與y軸的交點(diǎn)為P.(1)若點(diǎn)Q(x，y)(1x4)在C上，求直線PQ斜率的取值范圍；(2)證明：經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓E過定點(diǎn)解析：(1)由題意得P(0，a)(a0)，Q(x,2x24xa)(1x4)，故kPQ2x4，因?yàn)?x4，所以2kPQ4，所以直線PQ的斜率的取值范圍為(2,4)(2)證明：法一：P(0，a)(a0)令2x24xa0，則168a0，a2，且a0，解得x1，故拋物線C與x軸交于A(1，0)，B(1，0)兩點(diǎn)故可設(shè)圓E的圓心為M(1，t)，由|MP|2|MA|2，得12(ta)2()2t2，解得t，則圓E的半徑r|MP|.所以圓E的方程為(x1)2(y)21()2，所以圓E的一般方程為x2y22x(a)y0，即x2y22xya(y)0.由得或故圓E過定點(diǎn)(0，)，(2，)法二：P(0，a)(a0)，設(shè)拋物線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,0)，B(x2,0)，圓E的一般方程為x2y2DxFyG0，則因?yàn)閤1，x2是方程2x24xa0，即x22x0的兩根，所以x2x10，x2x20，所以D2，G，所以F(a)，所以圓E的一般方程為x2y22x(a)y0，即x2y22xya(y)0.由得或故圓E過定點(diǎn)(0，)，(2，)19(2018廣州模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)的上焦點(diǎn)為F1，橢圓C的離心率為，且過點(diǎn)(1，)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于點(diǎn)B(B不在y軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)H，若0，且|MO|MA|，求直線l的方程解析：(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以，即a2c.又a2b2c2，所以b23c2，即b2a2，所以橢圓C的方程為1.把點(diǎn)(1，)代入橢圓C的方程中，解得a24.所以橢圓C的方程為1.(2)由(1)知，A(0,2)，設(shè)直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為ykx2，由得(3k24)x212kx0.設(shè)B(xB，yB)，得xB，所以yB，所以B(，)設(shè)M(xM，yM)，因?yàn)閨MO|MA|，所以點(diǎn)M在線段OA的垂直平分線上，所以yM1，因?yàn)閥MkxM2，所以xM，即M(，1)設(shè)H(xH,0)，又直線HM垂直于直線l，所以kMH，即.所以xHk，即H(k，0)又F1(0,1)，所以(，)，(k，1)因?yàn)?，所以(k)0，解得k.所以直線l的方程為yx2.