第2講 不等式選講 1．(2018沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|－x(a>0)． (1)若a＝3，解關(guān)于x的不等式f(x)<0； (2)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，不等式f(x)－f(x＋a)<a2＋恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)當(dāng)a＝3時(shí)，f(x)＝|x－3|－x， 即|x－3|－x<0， 原不等式等價(jià)于－x<x－3<x，解得2<x<6， 故不等式的解集為{x|2<x<6}． (2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋， 原不等式等價(jià)于|x－a|－|x|<a2， 由三角絕對(duì)值不等式的性質(zhì)， 得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|， 原不等式等價(jià)于|a|<a2. 又a>0，∴a<a2，解得a>1. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，＋∞)． 2．(2018石家莊質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值為m. (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值． 解析：(1)f(x)＝ 畫(huà)出圖象如圖所示． (2)由(1)知m＝. ∵＝m＝a2＋2c2＋3b2 ＝(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc， ∴ab＋2bc≤，∴ab＋2bc的最大值為， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立． 3．(2018寶雞質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式|g(x)|<5； (2)若對(duì)任意x1∈R，都存在x2∈R， 使得f(x1)＝g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)由||x－1|＋2|<5， 得－5<|x－1|＋2<5， ∴－7<|x－1|<3， 得不等式的解集為{x|－2<x<4}． (2)因?yàn)閷?duì)任意x1∈R，都有x2∈R， 使得f(x1)＝g(x2)成立， 所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}， 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|， g(x)＝|x－1|＋2≥2， 所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－5]∪[－1，＋∞)． 4．已知函數(shù)f(x)＝4－|x|－|x－3|. (1)求不等式f≥0的解集； (2)若p，q，r為正實(shí)數(shù)，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值． 解析：(1)由f＝4－－≥0， 得＋≤4. 當(dāng)x<－時(shí)，－x－－x＋≤4， 解得－2≤x<－； 當(dāng)－≤x≤時(shí)，x＋－x＋≤4恒成立， ∴－≤x≤； 當(dāng)x>時(shí)，x＋＋x－≤4， 解得<x≤2. 綜上，f≥0的解集為[－2,2]． (2)令a1＝，a2＝，a3＝. 由柯西不等式，得 (a＋a＋a) ≥2＝9， 即(3p＋2q＋r)≥9. ∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝， 即p＝，q＝，r＝時(shí)，取等號(hào)． ∴3p＋2q＋r的最小值為.