專題突破練(7)概率與其他知識(shí)的交匯一、選擇題1(2018太原五中測(cè)試)在區(qū)間1，5上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)m，則方程4x2m2y21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率是()A B C D答案B解析由方程4x2m2y21，即1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，得<，即m2<4，而1m5，則1m2，則所求概率為故選B2(2018湖南六校聯(lián)考)折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一種重要工具和手段，已知在折疊“愛(ài)心”活動(dòng)中，會(huì)產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點(diǎn)，四邊形AEFG與四邊形DGHI也是正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為()A B C D答案C解析設(shè)AB2，則BG1，AG，故多邊形AEFGHID的面積S()222212，由sinEABcosGAB，所以S陰影部分AEABsinEAB2，故所求概率P故選C3(2018黑龍江虎林一中期末)若隨機(jī)變量XN(，2)(>0)，則有如下結(jié)論：P(<X)06826，P(2<X2)09544，P(3<X3)09974高三(1)班有40名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為120，方差為100，理論上說(shuō)成績(jī)?cè)?30分以上人數(shù)約為()A19 B12 C6 D5答案C解析由條件知120，10，則P(X>130)(106826)01587，所以成績(jī)?cè)?30分以上人數(shù)約為40015876故選C4(2018廣東三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3ax2b2x1，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A B C D答案D解析將a記為橫坐標(biāo)，b記為縱坐標(biāo)，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9個(gè)基本事件，而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件為其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根因?yàn)閒(x)x22axb2，滿足題中條件為4a24b2>0，即a>b，所以滿足條件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6個(gè)基本事件，所以所求的概率為P故選D5(2018湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考二)已知實(shí)數(shù)a，b是利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的01之間的均勻隨機(jī)數(shù)，設(shè)事件A為“(a1)2b2>”，則事件A發(fā)生的概率為()A B1 C D1答案B解析分別以a，b為橫軸和縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，則符合題意的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)表示的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部，其中使得事件A不發(fā)生的實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)表示的平面區(qū)域?yàn)橐?1，0)為圓心，半徑為的四分之一個(gè)圓及其內(nèi)部，則事件A發(fā)生的概率為1故選B6(2018山東青島統(tǒng)測(cè))矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f(x)sinx(x(0，)及直線xa(a(0，)與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則a的值為()A B C D答案A解析根據(jù)題意，陰影部分的面積為sinxdx1cosa，矩形的面積為a8，故由幾何概型的概率公式可得，解得cosa，所以a故選A7(2018山西考前適應(yīng)訓(xùn)練)甲、乙二人約定7：10在某處會(huì)面，甲在7：007：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，乙在7：057：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是()ABCD答案C解析設(shè)甲、乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻分別是x，y，則取值范圍為對(duì)應(yīng)區(qū)域是以20和15為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，其中甲至少需等待乙5分鐘滿足yx5，對(duì)應(yīng)區(qū)域是以15為直角邊的等腰直角三角形(如圖中陰影部分(含邊界)所示)，則所求概率為故選C二、填空題8(2019成都模擬)甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成績(jī)的莖葉圖如圖所示，其中一個(gè)數(shù)字被污損，記甲、乙的平均成績(jī)分別為甲，乙，則甲>乙的概率是_答案解析乙的綜合測(cè)評(píng)成績(jī)?yōu)?6，87，91，92，94，乙90，污損處可取數(shù)字0，1，2，9，共10種，而甲>乙發(fā)生對(duì)應(yīng)的數(shù)字有6，7，8，9，共4種，故甲>乙的概率為9(2018安徽聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使l1：xay3，l2：bx6y3平行的概率為P1，不平行的概率為P2，若點(diǎn)(P1，P2)在圓(xm)2y2的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案<m<解析由l1l2得ab6且a6，b1，滿足條件的(a，b)為(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有6636種，P1，P2，22<，解得<m<10(2018福州畢業(yè)質(zhì)檢)如圖，在菱形ABCD中，AB2，ABC60，以該菱形的4個(gè)頂點(diǎn)為圓心的扇形的半徑都為1若在菱形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色部分的概率是_答案解析由題可知四個(gè)扇形的面積之和剛好為半徑為1的圓的面積，此時(shí)黑色部分的面積即為菱形面積減去半徑為1的圓的面積，從而所求概率為P三、解答題11(2018河北衡水中學(xué)九模)某儀器經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)合格才能出廠，初檢合格率為；若初檢不合格，則需要進(jìn)行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為每臺(tái)儀器各項(xiàng)費(fèi)用如表：項(xiàng)目生產(chǎn)成本檢驗(yàn)費(fèi)/次調(diào)試費(fèi)出廠價(jià)金額(元)10001002003000(1)求每臺(tái)儀器能出廠的概率；(2)求生產(chǎn)一臺(tái)儀器所獲得的利潤(rùn)為1600元的概率(注：利潤(rùn)出廠價(jià)生產(chǎn)成本檢驗(yàn)費(fèi)調(diào)試費(fèi))；(3)假設(shè)每臺(tái)儀器是否合格相互獨(dú)立，記X為生產(chǎn)兩臺(tái)儀器所獲得的利潤(rùn)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)記每臺(tái)儀器不能出廠為事件A，則P(A)11，所以每臺(tái)儀器能出廠的概率為P()1(2)生產(chǎn)一臺(tái)儀器利潤(rùn)為1600元的概率P1(3)X的取值可能為3800，3500，3200，500，200，2800P(X3800)，P(X3500)C，P(X3200)2，P(X500)C，P(X200)C，P(X2800)2，X的分布列為X3800350032005002002800PE(X)380035003200500200(2800)335012(2018湖南雅禮中學(xué)月考三)某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶15噸，使用設(shè)備15小時(shí)，獲利1200元要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過(guò)A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過(guò)12小時(shí)假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位：噸)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為W121518P030502該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z(單位：元)是一個(gè)隨機(jī)變量(1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過(guò)10000元的概率解(1)設(shè)每天A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x，y，相應(yīng)的獲利為z，則有(*)目標(biāo)函數(shù)為z1000x1200y將z1000x1200y變形為l：yx，設(shè)l0：yx當(dāng)W12時(shí)，(*)表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，0)，B(24，48)，C(6，0)平移直線l0知當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B，即當(dāng)x24，y48時(shí)，z取最大值，故最大獲利Zzmax2410004812008160(元)當(dāng)W15時(shí)，(*)表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，0)，B(3，6)，C(75，0)平移直線l0知當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B，即當(dāng)x3，y6時(shí)，z取得最大值，故最大獲利Zzmax310006120010200(元)當(dāng)W18時(shí)，(*)表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)平移直線l0知當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)C，即當(dāng)x6，y4時(shí)，z取得最大值，故最大獲利Zzmax610004120010800(元)故最大獲利Z的分布列為Z81601020010800P030502因此，E(Z)816003102000510800029708(2)由(1)知，一天最大獲利超過(guò)10000元的概率p1P(Z>10000)050207，由二項(xiàng)分布，3天中至少有1天最大獲利超過(guò)10000元的概率為p1(1p1)31033097313(2018河南八市聯(lián)考一)我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中，老有所依也是政府的民生工程某市共有戶籍人口400萬(wàn)，其中老人(年齡60歲及以上)人數(shù)約有66萬(wàn)，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí)，并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本頻數(shù)分布被制作成如下圖表：(1)若采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人？(2)估算該市80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比；(3)據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無(wú)固定收入，政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：80歲及以上老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元；80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元；不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100元利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算(單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù))解(1)數(shù)據(jù)整理如下表：健康狀況健康基本健康不健康尚能自理不能自理80歲及以上2045201580歲以下2002255025從圖表中知采用分層抽樣的方法從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，80歲及以上應(yīng)抽取83(人)，80歲以下應(yīng)抽取85(人)(2)在600人中80歲及以上老人在老人中占比為，用樣本估計(jì)總體，80歲及以上長(zhǎng)者為6611(萬(wàn)人)，80歲及以上老人占全市戶籍人口的百分比為100%275%(3)解法一：用樣本估計(jì)總體，設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元，P(X0)，P(X120)，P(X200)，P(X220)，P(X300)，則隨機(jī)變量X的分布列為X0120200220300PE(X)28，全市老人的總預(yù)算為28126610422176108元故政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為222億元解法二：在無(wú)固定收入的戶籍老人中，80歲及以上老人有66(萬(wàn))，80歲以下老人有6611(萬(wàn))，不能自理老人有66(萬(wàn))所以全市老人總預(yù)算為：200111201001041222176108元故政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為222億元