培優(yōu)點(diǎn)十八 圓錐曲線綜合1直線過定點(diǎn)例1：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，過左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且（1）求的方程；（2）若直線是圓上的點(diǎn)處的切線，點(diǎn)是直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)切線的斜率都存在求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）證明見解析，【解析】（1）由已知，設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)?，不妨設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程得，又因?yàn)椋?，所以，所以的方程為?）依題設(shè)，得直線的方程為，即，設(shè)，由切線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立得，由相切得，化簡(jiǎn)得，即，因?yàn)榉匠讨挥幸唤猓?，所以切線的方程為，即，同理，切線的方程為，又因?yàn)閮汕芯€都經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為，又，所以直線的方程可化為，即，令，得，所以直線恒過定點(diǎn)2面積問題例2：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為4，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上斜率為的直線與線段相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）由橢圓焦距為4，設(shè)，連結(jié)，設(shè)，則，又，得，解得，所以橢圓方程為（2）設(shè)直線方程：，、，由，得，所以，由（1）知直線：，代入橢圓得，得，由直線與線段相交于點(diǎn)，得，而與，知，由，得，所以，四邊形面積的取值范圍3參數(shù)的值與范圍例3：已知拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（1）求拋物線的方程以及的值；（2）記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，若，求的值【答案】（1），；（2）【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)，則，拋物線方程為；點(diǎn)在拋物線上，（2）依題意，設(shè)，設(shè)、，聯(lián)立方程，消去，得所以 ，且，又，則，即，代入得，消去得，則，則，當(dāng)，解得，故4弦長(zhǎng)類問題例4：已知橢圓的左右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（1）求橢圓的方程；（2）若直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可知：，又橢圓的上頂點(diǎn)為，雙曲線的漸近線為：，由點(diǎn)到直線的距離公式有：，橢圓方程（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，代入，消去并整理得：，要與相交于兩點(diǎn)，則應(yīng)有：，設(shè)，則有：，又又：，所以有：，將，代入，消去并整理得：，要有兩交點(diǎn)，則由有設(shè)、有，將代入有，令，令，所以在內(nèi)恒成立，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故5存在性問題例5：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，時(shí)，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）不存在，見解析【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，在橢圓上，故橢圓的方程為（2）假設(shè)這樣的直線存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，的中點(diǎn)為，由，消去，得，且，故且，由，知四邊形為平行四邊形，而為線段的中點(diǎn)，因此為線段的中點(diǎn)，得，又，可得，點(diǎn)不在橢圓上，故不存在滿足題意的直線對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、解答題1已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)并且與圓相外切，動(dòng)圓圓心的軌跡為（1）求曲線的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，直線交于，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）由已知，軌跡為雙曲線的右支，曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（2）由對(duì)稱性可知，直線必過軸的定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，知直線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線，直線，當(dāng)時(shí)，得，下面證明直線經(jīng)過點(diǎn)，即證，即，即，由，整理得，即即證經(jīng)過點(diǎn)，直線過定點(diǎn)2已知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)，分別為橢圓的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線，分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，求四邊形的面積【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，有，由等面積法，可得原點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立兩方程解得，所以橢圓的方程為（2）設(shè)點(diǎn)，則，即直線，令，得從而有，同理，可得所以四邊形的面積為所以四邊形的面積為3已知點(diǎn)為圓的圓心，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓的半徑上，且有點(diǎn)和上的點(diǎn)，滿足，（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷點(diǎn)的軌跡是什么？并求出其方程；（2）若斜率為的直線與圓相切，與（1）中所求點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍【答案】（1）是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，；（2）【解析】（1）由題意是線段的垂直平分線，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，故點(diǎn)的軌跡方程是（2）設(shè)直線：，直線與圓相切，得，即，聯(lián)立，消去得：，得，所以，得，解得或，故所求范圍為4已知橢圓的焦距為，離心率為，圓，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是圓的任意一條直徑，面積的最大值為2（1）求橢圓及圓的方程；（2）若為圓的任意一條切線，與橢圓交于兩點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到軸距離為，則，易知當(dāng)線段在軸時(shí)，所以橢圓方程為，圓的方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)；設(shè)直線方程為：，直線為圓的切線，直線與橢圓聯(lián)立，得，判別式，由韋達(dá)定理得：，所以弦長(zhǎng)，令，所以；綜上，5如圖，己知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線經(jīng)過左焦點(diǎn)，且與橢圓交，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線，使得為等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）不存在，見解析【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)橹本€與軸的交點(diǎn)為，故又的周長(zhǎng)為，即，故，所以，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）不存在理由如下：先用反證法證明不可能為底邊，即由題意知，設(shè)，假設(shè)，則，又，代入上式，消去，得：因?yàn)橹本€斜率存在，所以直線不垂直于軸，所以，故(與，矛盾）聯(lián)立方程，得：，所以矛盾故再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰假設(shè)為等腰直角三角形，不妨設(shè)為直角頂點(diǎn)設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，此方程無解故不存在這樣的等腰直角三角形