第2講綜合大題部分1.(2018高考全國(guó)卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值解析：(1)證明：由已知可得BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)如圖，作PHEF，垂足為H.由(1)得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH，EH.則H(0,0,0)，P，D，.又為平面ABFD的法向量，設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則sin .所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.2(2018高考全國(guó)卷)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角MPAC為30，求PC與平面PAM所成角的正弦值解析：(1)證明：因?yàn)镻APCAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2.如圖，連接OB.因?yàn)锳BBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC.(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2)，(0,2,2)取平面PAC的一個(gè)法向量(2,0,0)設(shè)M(a,2a,0)(0a2)，則(a,4a,0)設(shè)平面PAM的法向量為n(x，y，z)由n0，n0得可取ya，得平面PAM的一個(gè)法向量為n(a4)，a，a)，所以cos ，n.由已知可得|cos，n|cos 30，所以，解得a4(舍去)或a.所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.3(2017高考全國(guó)卷)如圖，在四棱錐PABCD中， ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值解析：(1)證明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，又APPDP，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PFAD，垂足為F.由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，B，C.所以，(，0,0)，(0,1,0)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量，則即可取n(0，1，)設(shè)m(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，則即可取m(1,0,1)則cosn，m.所以二面角APBC的余弦值為.4(2018高考全國(guó)卷)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值解析：(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，D的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn)由題設(shè)得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，A(2,1,1)，A(0,2,0)，D(2,0,0)，設(shè)n(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即可取n(1,0,2)，D是平面MCD的法向量，因此cosn，D，sinn，D.所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.1. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC2AB4，ABC60，PAAD，E，F(xiàn)分別為BC，PE的中點(diǎn)，AF平面PED.(1)求證：PA平面ABCD；(2)求直線BF與平面AFD所成角的正弦值解析：(1)證明：連接AE，由BC2AB4，ABC60，AE2，ED2，從而有AE2ED2AD2，所以AEED，又AFAEA，所以ED平面PAE，PA平面PAE，則EDPA，又PAAD，ADEDD，所以PA平面ABCD.(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,2,0)，D(2，0,0)，B(，1,0)，因?yàn)锳F平面PED，所以AFPE，又F為PE的中點(diǎn)，所以PAAE2，所以P(0,2,2)，F(xiàn)(0,1,1)，(0，1,1)，(2，2,0)，(，0,1)，設(shè)平面AFD的法向量為n(x，y，z)，由得令x1，得n(1，)設(shè)直線BF與平面AFD所成的角為，則sin |cos，n|，即直線BF與平面AFD所成角的正弦值為.2如圖所示，在四棱錐P ABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，ABC45，ADAP2，ABDP2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PB上(1)求證：ADPC；(2)試確定點(diǎn)F的位置，使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等解析：(1)證明：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，連接AC，因?yàn)锳B2，BC2，ABC45，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos 454，得AC2，所以ACB90，即BCAC.又ADBC，所以ADAC，因?yàn)锳DAP2，DP2，所以PAAD，又APACA，所以AD平面PAC，所以ADPC.(2)因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD，PAAD，所以PA底面ABCD，所以直線AC，AD，AP兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，直線AD，AC，AP為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz，則A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,1,0)，P(0,0,2)，所以(0,2，2)，(2,0，2)，(2,2，2)設(shè)(0,1)，則(2，2，2)，F(xiàn)(2，2，22)，所以(21,21，22)，易得平面ABCD的一個(gè)法向量為m(0,0,1)設(shè)平面PDC的法向量為n(x，y，z)，由得令x1，得n(1，1，1)因?yàn)橹本€EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，即|1|(0,1)，解得，所以.即當(dāng)時(shí)，直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等3如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1B145，ACBC，平面BB1C1C平面AA1B1B，E為CC1中點(diǎn)(1)求證：BB1AC；(2)若AA12，AB，直線A1C1與平面ABB1A1所成角為45，求平面A1B1E與平面ABC所成銳二面角的余弦值解析：(1)證明：過(guò)點(diǎn)C做COBB1交BB1于O，因?yàn)槊鍮B1C1C面AA1B1B，BB1C1C面AA1B1BB1B，所以CO面AA1BB1，故COBB1，又因?yàn)锳CBC，OCOC，所以RtAOCRtBOC，故OAOB，因?yàn)锽1A1AOBA45，所以AOBB1，又因?yàn)锽B1CO，所以BB1面AOC，故BB1AC.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OC所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)O xyz，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，A1(1，2,0)，B1(0，1,0)，E(0，1,1)，設(shè)面A1B1E的法向量為n(x1，y1，z1)，則令x11，得n(1,1,0)設(shè)面ABC的法向量為m(x2，y2，z2)，則令x21，得m(1,1,1)，cosm，n，面A1B1E與面ABC所成銳二面角的余弦值為.4(2018臨沂模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC4，E是邊AD上一點(diǎn)，且AE3，把ABE沿BE翻折，使得點(diǎn)A到A滿足平面ABE與平面BCDE垂直(如圖)(1)若點(diǎn)P在棱AC上，且CP3PA，求證：DP平面ABE；(2)求二面角BAED的余弦值的大小解析：(1)證明：在圖中，過(guò)P作PQBC交AB于點(diǎn)Q，連接QE.因?yàn)镃P3PA，所以，因?yàn)锽C4，所以PQ1，因?yàn)镈EBC，DE1，所以DE綊PQ，所以四邊形QEDP為平行四邊形，所以DPEQ.因?yàn)镈P平面ABE，EQ平面ABE，所以DP平面ABE.(2)在圖中，過(guò)A作AFBE于點(diǎn)F，因?yàn)槠矫鍭BE平面BCDE.所以AF平面BCDE.因?yàn)锽AE90，AB，AE3，所以AEB30，AF，EF，過(guò)F作FGDE交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則FG，EG.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，D(0,0,0)，E(1,0,0)，B(4，0)，C(0，0)，A，F(xiàn)，則，(1,0,0)設(shè)平面ABE的法向量n(x，y，z)，則即可取n(1，0)設(shè)平面ADE的法向量m(x1，y1，z1)，則即可取m(0,2，)所以cosm，n.因?yàn)槎娼荁AED為鈍角，所以二面角BAED的余弦值的大小為.