第3課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系(二)題型一弦長(zhǎng)問(wèn)題例1已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(，0)，B(，0)連線的斜率的積為定值.(1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；(2)設(shè)直線l：ykx1與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|時(shí)，求直線l的方程.考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，由題意得kPAkPB.，化簡(jiǎn)整理得y21.故P點(diǎn)的軌跡方程C是y21(x)(2)設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.16k24(12k2)8k24>0，x1x2，x1x20.|MN|，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意直線l的方程是yx1，即xy10或xy10.反思感悟求弦長(zhǎng)的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式：|P1P2|，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長(zhǎng)跟蹤訓(xùn)練1已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓y21的右焦點(diǎn)F，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由橢圓方程知a24，b21，c，F(xiàn)(，0)，直線l的方程為yx，將其代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)、整理得5x28x80，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.題型二中點(diǎn)弦問(wèn)題例2已知橢圓1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，求直線AB的方程考點(diǎn)題點(diǎn)解方法一根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式法由橢圓的對(duì)稱性，知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y1k(x2)將其代入橢圓方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，于是x1x2.又M為線段AB的中點(diǎn)，2，解得k.故所求直線的方程為x2y40.方法二點(diǎn)差法設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2,1)為線段AB的中點(diǎn)，x1x24，y1y22.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則x4y16，x4y16，兩式相減，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直線的方程為x2y40.方法三對(duì)稱點(diǎn)法(或共線法)設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(x，y)，由于點(diǎn)M(2,1)為線段AB的中點(diǎn)，則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4x,2y)A，B兩點(diǎn)都在橢圓上，得x2y40.即點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足這個(gè)方程，而過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線只有一條，故所求直線的方程為x2y40.反思感悟解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，則由，得(xx)(yy)0，變形得，即kAB.跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1B.1C.1D.1考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則得.x1x22，y1y22，kAB.而kAB，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3，E的方程為1.題型三與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題例3已知橢圓C：4x2y21.(1)P(m，n)是橢圓C上一點(diǎn)，求m2n2的取值范圍；(2)設(shè)直線yxm與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，求AOB面積的最大值及AOB面積最大時(shí)的直線方程考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問(wèn)題解(1)m2n2表示原點(diǎn)O到橢圓C上點(diǎn)P的距離的平方，則m2n2.(2)可求得O到AB的距離d，將yxm代入4x2y21，消去y得5x22mxm210.所以x1x2，x1x2，|AB|，(2m)245(m21)2016m2>0，<m<，所以SAOB|AB|d.當(dāng)且僅當(dāng)m2m2時(shí)，上式取“”此時(shí)m.所以AOB面積的最大值為，面積最大時(shí)直線方程為xy0.反思感悟求最值問(wèn)題的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值問(wèn)題，一般通過(guò)橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)|PA|PB|取得最值(2)求解形如|PA|的最值問(wèn)題，一般通過(guò)二次函數(shù)的最值求解，此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍(3)求解形如axby的最值問(wèn)題，一般通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題解決(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍跟蹤訓(xùn)練3已知點(diǎn)A，B分別是橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，直線AP的斜率為，設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值考點(diǎn)題點(diǎn)解直線AP的方程是xy60.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是|m6|，又6m6，解得m2，所以點(diǎn)M(2,0)設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離為d，有d2(x2)2y2x24x420x2215，由于6x6.所以當(dāng)x時(shí)，d取最小值.運(yùn)用“設(shè)而不求”法研究直線和橢圓位置關(guān)系問(wèn)題典例已知橢圓方程為1(a>b>0)，過(guò)點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)斜率大于零的直線過(guò)D(1,0)與橢圓分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若2，求直線EF的方程；(3)對(duì)于D(1,0)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線ykx2分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且|DP|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程解(1)由，ab，得a，b1，所以橢圓的方程是y21.(2)設(shè)EF：xmy1(m>0)代入y21，得(m23)y22my20.設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y得2，m1或m1(舍去)，直線EF的方程為xy1，即xy10.(3)記P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90，(*)x1，x2是此方程的兩個(gè)相異實(shí)根設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，則xM，yMkxM2，由|DP|DQ|，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均使方程(*)沒(méi)有兩相異實(shí)根故這樣的k不存在素養(yǎng)評(píng)析本例(2)(3)均采用了“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)運(yùn)算策略，特別(3)利用定點(diǎn)D與弦端點(diǎn)的幾何關(guān)系，由設(shè)而不求的思想方法，轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)于k的方程，減小了數(shù)學(xué)運(yùn)算的難度，提高了解題效率.1若直線l：2xby30過(guò)橢圓C：10x2y210的一個(gè)焦點(diǎn)，則b等于()A1B1C1D2考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析因?yàn)闄E圓x21的焦點(diǎn)F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b1或1.2直線yx1被橢圓1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析聯(lián)立消去y，得3x24x20，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，故AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)x0.縱坐標(biāo)y0x011.3已知橢圓的方程是x22y240，則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是()Ax2y30B2xy30Cx2y30D2xy30考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)求橢圓中的直線方程答案A解析由題意易知所求直線的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線方程為yk(x1)1，即ykx1k.由消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以1，解得k，所以所求直線方程為yx，即x2y30.4過(guò)橢圓1的右焦點(diǎn)F作與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓的面積是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析由題意可知，在1中，c，故F(，0)當(dāng)x時(shí)，y3，所以|AB|，所以以AB為直徑的圓的面積是2.5求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被橢圓1所截得的線段的長(zhǎng)度考點(diǎn)題點(diǎn)解過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入橢圓方程得1，即x23x80.x1x23，x1x28.|AB|.解決直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，經(jīng)常利用設(shè)而不求的方法，解題步驟為：(1)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程；(3)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；(4)利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；(5)把題干中的條件轉(zhuǎn)化為x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，進(jìn)而求解一、選擇題1斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2B.C.D.答案C解析設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，當(dāng)t0時(shí)，|AB|max.2已知F是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過(guò)橢圓中心的一條弦，則ABF面積的最大值為()A6B15C20D12考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析S|OF|y1y2|OF|2b12.3已知F1為橢圓C：y21的左焦點(diǎn)，直線l：yx1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么|F1A|F1B|的值為()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由聯(lián)立得3x24x0，可知A(0，1)，B，又F1(1,0)，|F1A|F1B|.4橢圓mx2ny21與直線y1x交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是()A.B.C.D.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交時(shí)弦中點(diǎn)問(wèn)題答案A解析聯(lián)立方程組可得即(mn)x22nxn10，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，則x0，y01x01，所以kOP.5已知直線yx1與橢圓1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，焦距為2，則線段AB的長(zhǎng)是()A.B2C.D.考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交求弦長(zhǎng)與三角形面積答案D解析由題意得橢圓方程為y21，聯(lián)立化簡(jiǎn)得3x24x0，得x0或x，代入直線方程得或不妨設(shè)A(0,1)，B，所以|AB|.6經(jīng)過(guò)橢圓y21的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于()A3BC或3D考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交的其他問(wèn)題答案B解析由y21，得a22，b21，c2a2b21，焦點(diǎn)為(1,0)不妨設(shè)直線l過(guò)右焦點(diǎn)，傾斜角為45，直線l的方程為yx1.代入y21得x22(x1)220，即3x24x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x20，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，所以x1x2y1y20.7設(shè)斜率為的直線l與橢圓1(a>b>0)交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)是c，c，所以兩個(gè)交點(diǎn)分別為，代入橢圓方程得1，兩邊乘以2a2b2，則c2(2b2a2)2a2b2，b2a2c2，c2(3a22c2)2a42a2c2，2a45a2c22c40，(2a2c2)(a22c2)0，2或，0<e<1，e.二、填空題8過(guò)橢圓1的右焦點(diǎn)F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_(kāi)考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交求弦長(zhǎng)與三角形面積答案解析由已知可得直線方程為y2x2，|OF|1，聯(lián)立方程得解得A(0，2)，B，所以SAOB|OF|yAyB|.9已知橢圓1(0<b<2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是_答案解析由題意知a2，所以|BF2|AF2|AB|4a8，因?yàn)閨BF2|AF2|的最大值為5，所以AB的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)ABx軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)A，B，代入橢圓方程得1，又c2a2b24b2，所以1，即11，所以，解得b23，所以b.10已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點(diǎn)是M(4,1)，則橢圓的離心率是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)直線xy50與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x28，y1y22，直線AB的斜率k1.由兩式相減得0，1，故橢圓的離心率e.11已知P(1,1)為橢圓1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為_(kāi)答案x2y30解析方法一易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為y1k(x1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直線方程為y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直線方程為y1(x1)，即x2y30.三、解答題12已知橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1的一條直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)(1)求ABF2的周長(zhǎng)；(2)若直線AB的傾斜角為，求弦長(zhǎng)|AB|.考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)橢圓1，a2，b，c1，由橢圓的定義，得|AF1|AF2|2a4，|BF1|BF2|2a4，又|AF1|BF1|AB|，ABF2的周長(zhǎng)為|AB|AF2|BF2|4a8.(2)由(1)可得F1(1,0)，AB的傾斜角為，則AB的斜率為1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直線AB的方程為yx1，由整理得7y26y90，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2，y1y2，則由弦長(zhǎng)公式|AB|.13橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點(diǎn)，C是線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AB|2，直線OC的斜率為，求橢圓的方程考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交時(shí)弦中點(diǎn)問(wèn)題解易知a>0，b>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由題意得axby1，axby1，得a(x1x2)(x2x1)b(y2y1)(y2y1)0.kAB1，kOC，ba.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.由得(ab)x22bxb10，x1x2，x1x2，|x2x1|2(x1x2)24x1x2244，將ba代入上式，得a，b，所求橢圓的方程為y21.14已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，|1，且0，則|的最小值是_考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與橢圓相交的其他問(wèn)題答案解析由|1，A(3,0)，知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，0且P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，PMAM，即PM為A的切線，連接PA(如圖)，則|，當(dāng)|minac532時(shí)，|min.15已知點(diǎn)P是圓O：x2y21上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQy軸于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)QP到點(diǎn)M，使.(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)C(m,0)作圓O的切線l，交(1)中的曲線E于A，B兩點(diǎn)，求AOB面積的最大值解(1)設(shè)M(x，y)，P為QM的中點(diǎn)，又有PQy軸，P，點(diǎn)P是圓O：x2y21上的點(diǎn)，2y21，即點(diǎn)M的軌跡E的方程為y21.(2)由題意可知直線l與y軸不垂直，故可設(shè)l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)，l與圓O：x2y21相切，1，即m2t21，由消去x，并整理得(t24)y22mtym240，其中4m2t24(t24)(m24)48>0，y1y2，y1y2.|AB|，將代入上式得|AB|，|m|1，SAOB|AB|11，當(dāng)且僅當(dāng)|m|，即m時(shí)，等號(hào)成立，AOB面積的最大值為1.