第2講 解三角形 一、選擇題 A組　小題提速練 1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．2 D．3 解析：由余弦定理，得4＋b2－22bcos A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D. 答案：D 2．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．5 解析：化簡(jiǎn)23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入數(shù)據(jù)，解方程，得b＝5. 答案：D 3．鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝(　　) A．5 B. C．2 D．1 解析：由題意可得ABBCsin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45或B＝135.當(dāng)B＝45時(shí)，由余弦定理可得AC＝＝1，此時(shí)AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90，與已知條件“鈍角三角形”矛盾，舍去．所以B＝135.由余弦定理可得AC＝＝. 答案：B 4．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin A＝，a＝2，S△ABC＝，則b的值為(　　) A. B. C．2 D．2 解析：由S△ABC＝bcsin A＝bc＝，解得bc＝3.因?yàn)锳為銳角，sin A＝，所以cos A＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，代入數(shù)據(jù)解得b2＋c2＝6，則(b＋c)2＝12，b＋c＝2，所以b＝c＝，故選A. 答案：A 5．(2017高考全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝sin＋cos的最大值為(　　) A. B．1 C. D. 解析：法一：∵f(x)＝sin＋cos ＝＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＝sin， ∴當(dāng)x＝＋2kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值. 故選A. 法二：∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos ＝sin(x＋)＋cos(－x) ＝sin＋sin ＝sin≤. ∴f(x)max＝. 故選A. 答案：A 6．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，則A＝(　　) A. B. C. D. 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0<A<π，所以A＝. 答案：C 7．(2018蘭州診斷考試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsin A＝acos B，則B＝(　　) A. B. C. D. 解析：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B．因?yàn)閟in A≠0，所以sin B＝cos B，即＝tan B＝，所以B＝，故選C. 答案：C 8．(2018南昌調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，則角C＝(　　) A. B. C.或 D.或 解析：在△ABC中，由余弦定理得cos A＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc.又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，即c＝(－1)b<b，則a＝b，所以cos C＝＝，解得C＝.故選B. 答案：B 9．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若＝＝，則該三角形的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 解析：因?yàn)椋?，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180－2B，即A＋B＝90，所以C＝90，于是△ABC是直角三角形．故選A. 答案：A 10．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，其對(duì)邊為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 解析：∵內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列， ∴A＋C＝2B. 又A＋B＋C＝π.∴B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. 又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0， ∴a＝c， 又B＝，∴△ABC為等邊三角形；選B. 答案：B 11．在△ABC中，＝|－|＝3，則△ABC面積的最大值為(　　) A. B. C. D．3 解析：設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c， ∵＝|－|＝3， ∴bccos A＝a＝3. 又cos A＝≥1－＝1－， ∴cos A≥， ∴0＜sin A≤， ∴△ABC的面積S＝bcsin A＝tan A≤＝，故△ABC面積的最大值為. 答案：B 12．(2017高考全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)閍＝2，c＝， 所以由正弦定理可知，＝， 故sin A＝sin C. 又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C為△ABC的內(nèi)角， 故sin C≠0， 則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1. 又A∈(0，π)，所以A＝. 從而sin C＝sin A＝＝. 由A＝知C為銳角，故C＝. 故選B. 答案：B 二、填空題 13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足bsin A＝acos B，則角B的大小為________． 解析：∵bsin A＝acos B，由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B．∵sin A≠0，∴sin B＝cos B，∵B為△ABC內(nèi)角，∴B＝. 答案： 14．(2017高考北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sin α＝，則cos(α－β)＝________. 解析：由題意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)， ∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)， sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 又sin α＝， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1 ＝2－1＝－. 答案：－ 15．在△ABC中，若C＝60，AB＝2，則AC＋BC的取值范圍為________． 解析：設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.由題意，得c＝2.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2，得a＋b≤4.又由三角形的性質(zhì)可得a＋b>2，綜上可得2<a＋b≤4. 答案：(2,4] 16．(2018吉林三校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b2＋c2＝2a2，則cos A的最小值為________． 解析：因?yàn)閎2＋c2＝2a2，則由余弦定理可知a2＝2bccos A，所以cos A＝＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立)，即cos A的最小值為. 答案： B組　大題規(guī)范練 1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，∠PAC＝60，PC＝2，AP＋AC＝4. (1)求∠ACP； (2)若△APB的面積是，求sin∠BAP. 解析：(1)在△APC中，因?yàn)椤螾AC＝60，PC＝2，AP＋AC＝4，由余弦定理得PC2＝AP2＋AC2－2APACcos∠PAC.所以22＝AP2＋(4－AP)2－2AP(4－AP)cos 60，整理得AP2－4AP＋4＝0.解得AP＝2.所以AC＝2，所以△APC是等邊三角形，所以∠ACP＝60. (2)由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝120.因?yàn)椤鰽PB的面積是，所以APPBsin∠APB＝，所以PB＝3.在△APB中，AB2＝AP2＋PB2－2APPBcos∠APB＝22＋32－223cos 120＝19， 所以AB＝. 在△APB中，由正弦定理得＝，所以sin∠BAP＝＝. 2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積． 解析：(1)因?yàn)閟in A＋cos A＝0， 所以sin A＝－cos A， 所以tan A＝－. 因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 代入a＝2，b＝2得c2＋2c－24＝0， 解得c＝－6(舍去)或c＝4， 所以c＝4. (2)由(1)知c＝4. 因?yàn)閏2＝a2＋b2－2abcos C， 所以16＝28＋4－222cos C， 所以cos C＝，所以sin C＝， 所以tan C＝. 在Rt△CAD中，tan C＝， 所以＝，即AD＝. 則S△ADC＝2＝， 由(1)知S△ABC＝bcsin A＝24＝2， 所以S△ABD＝S△ABC－S△ADC＝2－＝. 3.如圖，我國(guó)海監(jiān)船在D島海域例行維權(quán)巡航，某時(shí)刻航行至A處，此時(shí)測(cè)得其東北方向與它相距16海里的B處有一外國(guó)船只，且D島位于海監(jiān)船正東14海里處． (1)求此時(shí)該外國(guó)船只與D島的距離； (2)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，此外國(guó)船只正以每小時(shí)4海里的速度沿正南方向航行．為了將該船攔截在離D島12海里處，不讓其進(jìn)入D島12海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值． (參考數(shù)據(jù)：sin 3652′≈0.6，sin 5308′≈0.8) 解析：(1)依題意，在△ABD中，∠DAB＝45，由余弦定理得 DB2＝AD2＋AB2－2ADABcos 45 ＝(14)2＋162－21416＝200， 所以DB＝10， 即此時(shí)該外國(guó)船只與D島的距離為10海里． (2)過點(diǎn)B作BC⊥AD于點(diǎn)C，在Rt△ABC中，AC＝BC＝8， 所以CD＝AD－AC＝6，以D為圓心，12為半徑的圓交BC于點(diǎn)E，連接AE，DE，在Rt△DEC中，CE＝＝6， 所以BE＝2， 又AE＝＝10， 所以sin∠EAC＝＝?∠EAC≈3652′， 外國(guó)船只到達(dá)點(diǎn)E的時(shí)間t＝＝(小時(shí))， 所以海監(jiān)船的速度v≥＝20(海里/小時(shí))， 故海監(jiān)船的航向?yàn)楸逼珫|90－3652′＝5308′，速度的最小值為20海里/小時(shí)． 4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且4bsin A＝a. (1)求sin B的值； (2)若a，b，c成等差數(shù)列，且公差大于0，求cos A－cos C的值． 解析：(1)由4bsin A＝a，根據(jù)正弦定理得4sin Bsin A＝sin A，所以sin B＝. (2)由已知和正弦定理以及(1)得sin A＋sin C＝ ①， 設(shè)cos A－cos C＝x?、冢? ①2＋②2，得2－2cos(A＋C)＝＋x2③， 又a<b<c，A<B<C， 所以0<B<， cos A>cos C，故cos(A＋C)＝－cos B＝－，代入③式得x2＝，因此cos A－cos C＝.