仿真模擬(二) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．共150分，考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之積為(　　) A．－ B. C.i D．－i 答案　B 解析　∵＝＝＋i，∴其實(shí)部為，虛部為，實(shí)部與虛部之積為，故選B. 2．集合A＝{y|y＝2cos2x＋1}，B＝{x|log2(x＋2)＜2}，則A∩B＝(　　) A．(－2,3] B．(0,2] C．[1,2) D．(2,3] 答案　C 解析　因?yàn)锳＝{y|y＝2cos2x＋1}＝{y|y＝cos2x＋2}＝[1,3]，B＝{x|log2(x＋2)＜2}＝{x|0＜x＋2＜4}＝(－2，2)，所以A∩B＝[1,2)，故選C. 3．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是(　　) A．m＞ B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1 答案　C 解析　若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此當(dāng)不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立時(shí)，必有m＞0，但當(dāng)m＞0時(shí)，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m＞0. 4．甲、乙、丙三名同學(xué)傳閱同一本《中學(xué)生安全手冊(cè)》，乙比甲先看的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　傳閱的順序有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種等可能情況，其中乙比甲先看包括乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，有3種情況，所以乙比甲先看的概率為＝，故選B. 5．《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作．其中有一個(gè)問題大意為：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同(即太陽(yáng)照射物體影子的長(zhǎng)度增加和減少大小相同)．二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，若冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸，夏至晷長(zhǎng)一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長(zhǎng)為(　　) A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 答案　B 解析　設(shè)從夏至到冬至的晷長(zhǎng)依次構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.∴a2＝15＋10＝25， ∴《周髀算經(jīng)》中所記錄的小暑的晷長(zhǎng)是25寸．故選B. 6．函數(shù)f(x)＝cosx的圖象的大致形狀是(　　) 答案　B 解析　∵f(x)＝cosx，∴f(－x)＝cos(－x)＝－cosx＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A，C；又當(dāng)x∈時(shí)，ex＞e0＝1，－1＜0，cosx＞0，∴f(x)＜0，排除D，故選B. 7．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α，β的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊分別與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，若A(3,4)，∠AOB＝90，則sin(α＋β)＝(　　) A．1 B．－ C．－ D. 答案　C 解析　因?yàn)锳(3,4)，所以sinα＝，cosα＝，因?yàn)椤螦OB＝90，所以sinβ＝sin(α＋90)＝cosα＝，cosβ＝cos(α＋90)＝－sinα＝－，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋＝－，故選C. 8．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于(　　) A．72 B．48 C．24 D．16 答案　C 解析　由題中三視圖知，該幾何體為如圖所示的四棱錐P－ABCD.其中底面ABCD 是直角梯形，CD綊AB，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，∴該幾何體的體積V＝PAS梯形ABCD＝46＝24.故選C. 9．已知圓心為O，半徑為1的圓上有不同的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，其中＝0，存在實(shí)數(shù)λ，μ滿足＋λ＋μ＝0，則實(shí)數(shù)λ，μ的關(guān)系為(　　) A．λ2＋μ2＝1 B.＋＝1 C．λμ＝1 D．λ＋μ＝1 答案　A 解析　由題意得||＝||＝||＝1，且＝0，因?yàn)椋耍蹋?，即＝－λ－μ?、?，將①平方得2＝λ22＋2λμ＋μ22，即λ2＋μ2＝1，故選A. 10．實(shí)數(shù)x，y滿足|x＋1|≤y≤－x＋1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝mx＋y的最大值等于5，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．－1 B．－ C．2 D．5 答案　B 解析　實(shí)數(shù)x，y滿足|x＋1|≤y≤－x＋1時(shí)，表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易得A(－1,0)，B(0,1)，由得∴C(－4,3)．目標(biāo)函數(shù)z＝mx＋y，∴y＝－mx＋z，當(dāng)m>時(shí)，直線過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值5，不成立，舍去；當(dāng)0<m<時(shí)，直線過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值5，∴－4m＋3＝5，∴m＝－不成立，舍去；當(dāng)m＝0或時(shí)，易驗(yàn)證z的最大值不可能等于5；當(dāng)m<0 時(shí)，直線過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值5，∴－4m＋3＝5，∴m＝－成立．故選B. 11．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，且|PF2|＝|F1F2|，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　設(shè)切點(diǎn)為M，則|OM|＝a，OM⊥PF1， 取PF1的中點(diǎn)N，連接NF2，則NF2⊥PF1(因?yàn)閨F1F2|＝|PF2|＝2c)， ∵OM⊥F1N，F(xiàn)2N⊥F1N，O為F1F2中點(diǎn)， ∴|NF2|＝2|OM|＝2a， 在△PNF2中，由勾股定理PN＝＝2b， ∴|PF1|＝4b， 由雙曲線的定義|PF1|－|PF2|＝2a， 4b－2c＝2a，即2b＝c＋a， 即4b2＝(c＋a)2，即4(c2－a2)＝(c＋a)2,3e2－2e－5＝0， 解得e＝(e＝－1舍去)．故選C. 12．已知函數(shù)f(x)＝－k，若x＝2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　) A．(－∞，e] B．[0，e] C．(－∞，e) D．[0，e) 答案　A 解析　f(x)＝－k，則f′(x)＝(ex－kx)，∵x＝2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，∴x＝2是f′(x)＝0的唯一根．∴ex－kx≥0在(0，＋∞)上恒成立，即ex≥kx在(0，＋∞)上恒成立，等價(jià)于k≤在(0，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝(x＞0)，由g′(x)＝易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(1)＝e. 于是，只需k≤e即可，故選A. 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．拋物線x2＝2y的準(zhǔn)線方程是________． 答案　y＝－ 解析　由題意知，p＝1，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－＝－. 14．已知函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－1，m]上的最大值是1，則m的取值范圍是________． 答案　[－1,1] 解析　作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，可知當(dāng)－1<m≤1時(shí)，f(x)在[－1，m]上的最大值是1. 15．在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB⊥AD，∠CAD＝30，BC＝2，則△ABC的面積為________． 答案　2 解析　因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以S△ABC＝2S△ABD，即ABACsin120＝2ABAD，所以AD＝AC，于是在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2ACADcos∠CAD，即()2＝AC2＋AC2－2ACAC，解得AC＝4，所以AD＝，于是S△ABC＝2S△ADC＝24＝2. 16．已知三棱錐P－ABC，△ABC為等邊三角形，△PAC為直角三角形，∠PAC＝90，∠PCA＝45，平面PAC⊥平面ABC，若AB＝3，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為________． 答案　21π 解析　由∠PAC＝90，平面PAC⊥平面ABC，可知PA⊥平面ABC，球心在經(jīng)過△ABC的中心且垂直面ABC的垂線上，也在線段PA的中垂面上，故二者交點(diǎn)即球心，因?yàn)椤螾CA＝45，所以PA＝3，所以三棱錐P－ABC 外接球的半徑R滿足R2＝2＋()2＝，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝21π. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－5x＋1，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)f(x)的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)在函數(shù)f(x)的圖象上， 所以Sn＝n2－5n＋1. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－5＋1＝－3； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－5n＋1－[(n－1)2－5(n－1)＋1]＝2n－6； 當(dāng)n＝1時(shí)，a1≠2－6＝－4， 所以an＝ (2)由(1)知，當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝， 當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＝2－3＋2－2＋20＋22＋…＋22n－6 ＝＋＝＋. 當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝也滿足上式， 綜上，Tn＝＋. 18．(本小題滿分12分)隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享自行車”在很多城市相繼出現(xiàn)．某“共享自行車”運(yùn)營(yíng)公司為了了解某地區(qū)用戶對(duì)該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40名用戶，得到用戶的滿意度評(píng)分如下： 用系統(tǒng)抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本，且在第一分段里隨機(jī)抽到的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)為92. (1)請(qǐng)你列出抽到的10個(gè)樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)； (2)計(jì)算所抽到的10個(gè)樣本的均值和方差s2； (3)在(2)的條件下，若用戶的滿意度評(píng)分在(－s，＋s)之間，則滿意度等級(jí)為“A級(jí)”．試應(yīng)用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該地區(qū)滿意度等級(jí)為“A級(jí)”的用戶所占的百分比是多少？(精確到0.1%) 參考數(shù)據(jù)：≈5.48，≈5.74，≈5.92. 解　(1)由題意得，通過系統(tǒng)抽樣分別抽取編號(hào)為4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)為樣本，則樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分別為92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. (2)由(1)中樣本的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)可得 ＝(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83， 則有s2＝[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78－83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－83)2]＝33. (3)解法一：由題意知用戶的滿意度評(píng)分在(83－，83＋)，即(77.26,88.74)之間，滿意度等級(jí)為“A級(jí)”， 由(1)中容量為10的樣本評(píng)分在(77.26,88.74)之間的有5人，則該地區(qū)滿意度等級(jí)為“A級(jí)”的用戶所占的百分比約為100%＝50.0%. 解法二：由題意知用戶的滿意度評(píng)分在(83－，83＋)，即(77.26,88.74)之間，滿意度等級(jí)為“A級(jí)”，調(diào)查的40名用戶的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)在(77.26,88.74)之間的共有21人，則該地區(qū)滿意度等級(jí)為“A級(jí)“的用戶所占的百分比約為100%＝52.5%. 19．(本小題滿分12分)如圖所示，在多面體AE－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AE⊥平面ABCD，AE＝，EF∥AC，EF＝AC. (1)求證：BF⊥平面EFD； (2)求幾何體EF－ABCD的體積． 解　(1)證明：如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接FO， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∵AE⊥平面ABCD， ∴AE⊥AC， ∵EF∥AC, EF＝AC＝AO， ∴四邊形AOFE是矩形，∴FO∥EA，F(xiàn)O⊥AC， 又∵BD?平面BDF, FO?平面BDF，BD∩FO＝O， ∴AC⊥平面BDF， ∵EF∥AC，∴EF⊥平面BDF， 又BF?平面BDF，∴EF⊥BF， 在Rt△FOD中， FD2＝OD2＋FO2＝OD2＋AE2＝2＋2＝1， 同理BF2＝1，又BD2＝2， ∴FD2＋FB2＝BD2，∴BF⊥FD， 又BF⊥EF，F(xiàn)D∩EF＝F，∴BF⊥平面EFD. (2)由(1)得DF＝1＝AD，EF＝＝AE， 又DE＝DE，△EFD≌△EAD，∴∠EFD＝90， ∴V幾何體EF－ABCD＝V三棱錐E－ADB＋V三棱錐F－BCD＋V三棱錐B－EDF＝2V三棱錐E－ADB＋V三棱錐B－EDF＝211＋11＝. 20．(本小題滿分12分)如圖，已知直線l：y＝kx＋1(k>0)關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的直線為l1，直線l，l1與橢圓E：＋y2＝1分別交于點(diǎn)A，M和A，N，記直線l1的斜率為k1. (1)求kk1的值； (2)當(dāng)k變化時(shí)，試問直線MN是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由． 解　(1)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的點(diǎn)為P0(x0，y0)， 直線l與直線l1的交點(diǎn)為(0,1)， ∴l(xiāng)：y＝kx＋1，l1：y＝k1x＋1， k＝，k1＝， 由＝＋1， 得y＋y0＝x＋x0＋2，　　　　　　?、? 由＝－1，得y－y0＝x0－x, ② 由①②得 kk1＝ ＝＝1. (2)由得(4k2＋1)x2＋8kx＝0， 設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)， ∴xM＝，∴yM＝. 同理可得xN＝＝，yN＝＝. kMN＝＝＝ ＝－， 直線MN：y－yM＝kMN(x－xM)， 即y－＝－， 即y＝－x－＋ ＝－x－. ∴當(dāng)k變化時(shí)，直線MN過定點(diǎn). 21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝aln x－x2＋a(a∈R)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)≤0，求a的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝－2x＝， 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0， 則f(x)在(0，＋∞)上遞減； 當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0得x＝(負(fù)根舍去)． 令f′(x)>0得0<x<； 令f′(x)<0得x>， ∴f(x)在上遞增，在上遞減． (2)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－x2<0，符合題意． 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)max＝f＝aln－＋ ＝aln≤0，∵a>0，∴l(xiāng)n≤0， ∴0< ≤1，∴0<a≤2. 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)＝aln x－x2＋a在(0，＋∞)上遞減， 且y＝aln x與y＝x2－a的圖象在(0，＋∞)上只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)此交點(diǎn)為(x0，y0)， 則當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f(x)>0，故當(dāng)a<0時(shí)，不滿足f(x)≤0. 綜上，a的取值范圍為[0,2]． 請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)． 22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過點(diǎn)P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝2|PB|，求實(shí)數(shù)a的值． 解　(1)∵曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)， ∴曲線C1的普通方程為x－y－a＋1＝0. ∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0， ∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0， 又ρcosθ＝x，ρ2＝x2＋y2， ∴x2＋4x－x2－y2＝0， 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 由得t2－2t＋2－8a＝0. Δ＝(2)2－4(2－8a)>0，即a>0， ∴ 根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|， 由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2， 當(dāng)t1＝2t2時(shí)，有 解得a＝>0，符合題意， 當(dāng)t1＝－2t2時(shí)，有 解得a＝>0，符合題意， 綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為或. 23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2，g(x)＝|x－a|－|x－1|，a∈R. (1)若a＝4，求不等式f(x)>g(x)的解集； (2)若對(duì)任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝4時(shí)， 不等式f(x)>g(x)為x2＋2>|x－4|－|x－1|， g(x)＝|x－4|－|x－1|＝ ①當(dāng)x≥4時(shí)，x2＋2>－3恒成立，所以x≥4. ②當(dāng)1<x<4時(shí)，x2＋2>－2x＋5，即x2＋2x－3>0， 得x>1或x<－3，所以1<x<4. ③當(dāng)x≤1時(shí)，x2＋2>3，則x>1或x<－1，所以x<－1. 由①②③可知不等式f(x)>g(x)的解集為{x|x<－1或x>1}． (2)當(dāng)a≥1時(shí)，g(x)＝ 所以g(x)的最大值為a－1. 要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥a－1，則a≤3，所以1≤a≤3. 當(dāng)a<1時(shí)，g(x)＝所以g(x)的最大值為1－a. 要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥1－a，則a≥－1，所以－1≤a<1. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1,3]．