2.5直線與圓錐曲線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)類比直線與圓的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)判斷直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系.2.會(huì)求直線與圓錐曲線相交所得弦的長(zhǎng)，以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交點(diǎn)個(gè)數(shù)位置關(guān)系直線與橢圓a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與雙曲線a01直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與拋物線a01直線與拋物線的對(duì)稱軸重合或平行且兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離知識(shí)點(diǎn)二弦長(zhǎng)公式若直線l：ykxb與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)|AB|x2x1|.1直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓錐曲線相切()2直線與圓錐曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是它們的方程聯(lián)立方程組的解的個(gè)數(shù)()題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定例1已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn)？解直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240，這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)由>0，得3<m<3.于是，當(dāng)3<m<3時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(2)由0，得m3.也就是當(dāng)m3時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)由<0，得m<3或m>3.從而當(dāng)m<3或m>3時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)反思感悟在討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，要先討論得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況，再考慮的情況，而且不要忽略直線斜率不存在的情形跟蹤訓(xùn)練1已知雙曲線C：x21，直線l的斜率為k且直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)，當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與雙曲線C：(1)有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(3)無(wú)公共點(diǎn)？解設(shè)直線l：y1k(x1)，即ykx(1k)由得(k22)x22k(k1)xk22k30.(*)當(dāng)k220，即k時(shí)，(*)式只有一解，直線l與雙曲線相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k220時(shí)，2416k，若0，即k，方程(*)只有一解，直線與雙曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；若>0，即k<且k，方程(*)有兩解，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；若<0，即k>，方程(*)無(wú)解，直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)綜上，(1)當(dāng)k或k時(shí)，直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)k<且k時(shí)，直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)k>時(shí)，直線l與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)題型二中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題例2已知點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且kMAkMB2.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)過(guò)定點(diǎn)(0,1)作直線PQ與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|，求直線PQ的方程解(1)設(shè)M(x，y)，則kMA，kMB(x1)，2，x21(x1)(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即PQ是橢圓的長(zhǎng)軸時(shí)，其長(zhǎng)為2，顯然不合題意，即直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程是ykx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2k(x1x2)，聯(lián)立消去y得(k22)x22kx10.4k24(k22)8(k21)>0，kR，x1x2，x1x2，|PQ|2，|PQ|2，k22，k，直線PQ的方程是yx10.反思感悟直線和圓錐曲線相交問(wèn)題的通法就是利用兩個(gè)方程聯(lián)立得到的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式和根與系數(shù)的關(guān)系解決(要考慮特殊情形)；對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題可采用點(diǎn)差法，但要驗(yàn)證得到的直線是否適合題意跟蹤訓(xùn)練2中心在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓與直線xy10相交于A，B，C是AB中點(diǎn)，若|AB|2，OC的斜率為，求橢圓的方程解設(shè)橢圓方程為ax2by21(a>0，b>0，ab)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得，a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，而1，kOC，代入上式可得ba，再由|AB|x2x1|2，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，故244，將ba代入得a，b.所求橢圓的方程是x2y23.題型三圓錐曲線中的最值及范圍問(wèn)題例3已知AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y22x的頂點(diǎn)O，A，B兩點(diǎn)都在拋物線上，且AOB90.(1)求證：直線AB必過(guò)一定點(diǎn)；(2)求AOB面積的最小值(1)證明設(shè)OA所在直線的方程為ykx(易知k0)，則直線OB的方程為yx.由得A，由得B(2k2，2k)直線AB所在直線方程為(y2k)(x2k2)，化簡(jiǎn)得xy20，直線過(guò)定點(diǎn)P(2,0)(2)解由于直線AB所在直線方程過(guò)定點(diǎn)P(2,0)，可設(shè)直線AB的方程為xmy2.由得y22my40.|y1y2|.SAOB|y1|OP|y2|OP|OP|y1y2|y1y2|4.AOB面積的最小值為4.反思感悟(1)求參數(shù)范圍的方法根據(jù)已知條件建立等式或不等式的函數(shù)關(guān)系，再求參數(shù)范圍(2)求最值問(wèn)題的方法幾何法題目中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用圖象來(lái)解決代數(shù)法題目中給出的條件和結(jié)論幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求最值的常見(jiàn)方法是均值不等式法，單調(diào)性法等跟蹤訓(xùn)練3如圖，過(guò)拋物線y2x上一點(diǎn)A(4，2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：直線BC的斜率是定值證明設(shè)kABk(k0)，直線AB，AC的傾斜角互補(bǔ)，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解4xB，即xB，設(shè)C(xC，yC)，以k代換xB中的k，得xC，kBC.直線BC的斜率為定值1過(guò)點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有()A4條B3條C2條D1條考點(diǎn)直線與拋物線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與拋物線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題答案B解析當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，滿足條件的直線有1條；當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，滿足條件的直線有2條，故選B.2若直線ykx1與橢圓1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am>1Bm1或0<m<1C0<m<5且m1Dm1且m5答案D解析直線ykx1恒過(guò)(0,1)點(diǎn)，若5>m，則1，若5<m，則必有公共點(diǎn)，m1且m5.3拋物線y4x2上一點(diǎn)到直線y4x5的距離最短，則該點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,2) B(0,0) C.D(1,4)答案C解析因?yàn)閥4x2與y4x5不相交，設(shè)與y4x5平行的直線方程為y4xm.由得4x24xm0.(*)設(shè)此直線與拋物線相切，有0，即1616m0，m1.將m1代入(*)式，得x，y1，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.4過(guò)橢圓1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_(kāi)答案解析由已知可得直線方程為y2x2，聯(lián)立方程得方程組解得A(0，2)，B.SAOB|OF|yAyB|.5過(guò)點(diǎn)A(6,1)作直線l與雙曲線1相交于兩點(diǎn)B，C，且A為線段BC的中點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)答案3x2y160解析設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則0.即kBC，直線l的方程是y1(x6)即3x2y160，經(jīng)驗(yàn)證符合題意1解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，主要方法是構(gòu)建一元二次方程，判斷其解的個(gè)數(shù)確定斜率與直線的傾斜角時(shí)，應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形，以及在雙曲線和拋物線中，直線和圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)并不一定相切2與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，求解的方法有兩種：(1)一般方法：利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)求解；(2)點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入曲線方程，然后作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系3在探求最值時(shí)，常結(jié)合幾何圖形的直觀性，充分利用平面幾何結(jié)論，借助于函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等使問(wèn)題獲解同時(shí)，要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件一、選擇題1已知雙曲線C：x2y21，F(xiàn)是其右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l只與雙曲線的右支有唯一的交點(diǎn)，則直線l的斜率等于()A1B1C1D2答案C解析結(jié)合題意，F(xiàn)(，0)，且漸近線為yx，欲使直線l與其右支有唯一交點(diǎn)，只需其斜率與漸近線斜率相等2已知雙曲線x21，過(guò)P(2,1)點(diǎn)作一直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，并使P為AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率為()A3B4C5D6答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1與x1得kAB6.3對(duì)于拋物線C：y24x，我們稱滿足y<4x0的點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，則直線l：y0y2(xx0)與拋物線C()A恰有一個(gè)公共點(diǎn)B恰有兩個(gè)公共點(diǎn)C可能有一個(gè)公共點(diǎn)也可能有兩個(gè)公共點(diǎn)D沒(méi)有公共點(diǎn)答案D解析C與l聯(lián)立得y0y2，即y22y0y4x00，4y16x0，由題意y<4x0，<0，沒(méi)有公共點(diǎn)4已知M(a,2)是拋物線y22x上的一定點(diǎn)，直線MP，MQ的傾斜角之和為，且分別與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，則直線PQ的斜率為()ABC.D.答案B解析由題意得M(2,2)設(shè)P，Q，由kMPkMQ，得，則y1y24，故kPQ.5設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案D解析設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為yx，而kBF.1，整理得b2ac.c2a2ac0.兩邊同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故選D.6直線yx3與拋物線y24x交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為()A48B56C64D72答案A解析由得x210x90，解得或設(shè)|AP|10，|BQ|2，又|PQ|8，梯形APQB的面積為S(|AP|BQ|)|PQ|(102)848.7已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案D解析橢圓的離心率為，a2b.橢圓方程為x24y24b2.雙曲線x2y21的漸近線方程為xy0，漸近線xy0與橢圓x24y24b2在第一象限的交點(diǎn)為，由圓錐曲線的對(duì)稱性得四邊形在第一象限部分的面積為bb4，b25，a24b220.橢圓C的方程為1.8已知橢圓1(a>b>0)被拋物線y24x的準(zhǔn)線截得的弦長(zhǎng)為3，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線yx2相切，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案A解析由題意得拋物線準(zhǔn)線方程為x1，且橢圓被拋物線截得的弦長(zhǎng)為3，故橢圓過(guò)點(diǎn)，將該點(diǎn)代入橢圓方程，得1，又點(diǎn)(0,0)到xy20的距離為a，即a，由得a2，代入得b.故c1，所以其離心率e.二、填空題9橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_答案解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x，y)F1PF2為鈍角，<0，即x23y2<0，(*)y21，代入(*)式得x231<0，x2<2，x2<.解得<x<，x.10已知F是拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，則ABF的面積為_(kāi)答案2解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y4x1，y4x2.(y1y2)(y1y2)4(x1x2)x1x2，1.直線AB的方程為y2x2，即yx.將其代入y24x，得A(0,0)，B(4,4)|AB|4.又F(1,0)到y(tǒng)x的距離為，SABF42.11曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2 (a>1)的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析設(shè)曲線C上任一點(diǎn)P(x，y)，由|PF1|PF2|a2，可得a2 (a>1)，將原點(diǎn)(0,0)代入，等式不成立，故不正確點(diǎn)P(x，y)在曲線C上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P(x，y)，將P代入曲線C的方程，等式成立，故正確設(shè)F1PF2，則|PF1|PF2|sina2sina2，故正確三、解答題12已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，其中左焦點(diǎn)為F(2,0)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線yxm與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2y21上，求m的值解(1)由題意，得解得橢圓C的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m20，2m2，x0，y0x0m，點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y21上，221，m.13已知直線l：yk(x1)與拋物線y2x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若OAB的面積為，求k的值；(2)求證：以弦AB為直徑的圓必過(guò)原點(diǎn).(1)解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為d，聯(lián)立得化簡(jiǎn)整理得k2x2(2k21)xk20，由題意知k0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x21.由弦長(zhǎng)公式，得|AB|x1x2|，由點(diǎn)到直線距離公式得d，得SOAB|AB|d，解得k.(2)證明kOA，kOB，kOAkOB.yx1，yx2，x1x2(y1y2)2，kOAkOB，由得ky2yk0，y1y21，即kOAkOB1，OAOB，以弦AB為直徑的圓必過(guò)原點(diǎn)14有一動(dòng)圓P恒過(guò)定點(diǎn)F(a,0)(a0)且與y軸相交于點(diǎn)A，B，若ABP為正三角形，則點(diǎn)P的軌跡為()A直線B圓C橢圓D雙曲線答案D解析設(shè)P(x，y)，動(dòng)圓P的半徑為R，由于ABP為正三角形P到y(tǒng)軸的距離dR，即|x|R.而R|PF|，|x|.整理得(x3a)23y212a2，即1.點(diǎn)P的軌跡為雙曲線15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，E為橢圓C上的一點(diǎn)，滿足，且EF1F2的周長(zhǎng)為2(1)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)M是線段OF2上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若MPQ是以M為頂點(diǎn)的等腰三角形，求點(diǎn)M到直線l的距離的取值范圍解(1)由已知得F1(c,0)，不妨設(shè)B(0，b)，則(c,0)，(0，b)，所以，即E.又點(diǎn)E在橢圓C上，所以1，得.又EF1F2的周長(zhǎng)為2(1)，所以2a2c22.由，得c1，a，所以b1.所以所求橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)(0<m<1)，直線l的方程為yk(x1)(k0)由消去y，得(12k2)x24k2x2k220.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ中點(diǎn)為N(x0，y0)，則x1x2，所以y1y2k(x1x22)，所以x0，y0，即N.因?yàn)镸PQ是以M為頂點(diǎn)的等腰三角形，所以MNPQ，即1.所以m.設(shè)點(diǎn)M到直線l：kxyk0的距離為d，則d2<，所以d.(或k2且m，所以d2m(1m)<d.即點(diǎn)M到直線l的距離的取值范圍是.