第7章 立體幾何 第5講A組基礎(chǔ)關(guān)1已知平面平面，l，點(diǎn)A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()AABmBACmCABDAC答案D解析如圖所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有D不一定成立，故選D.2如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有()AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF答案B解析根據(jù)折疊前、后AHHE，AHHF不變，AH平面EFH，B正確；過A只有一條直線與平面EFH垂直，A不正確；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確；已證平面HAG平面AEF，若證HG平面AEF，只需證HGAG，已證AHHG，故HGAG不成立，所以HG與平面AEF不垂直，D不正確故選B.3. 如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的是()APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABC所成的角為45答案D解析選項(xiàng)A，B，C顯然錯(cuò)誤PA平面ABC，PDA是直線PD與平面ABC所成的角ABCDEF是正六邊形，AD2AB.tanPDA1，直線PD與平面ABC所成的角為45.故選D.4(2017江西南昌摸底)如圖，在四面體ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在()A直線AB上B直線BC上C直線AC上DABC內(nèi)部答案A解析因?yàn)锳BAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上故選A.5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中點(diǎn)，則直線BE與平面B1BD所成的角的正弦值為()AB.CD.答案B解析如圖，延長BE與B1C1的延長線交于點(diǎn)F，連接FD1，因?yàn)镋為C1C的中點(diǎn)，四邊形BCC1B1是正方形，所以C1FB1C1BC，所以C1D1FC1D1B145，所以FD1B1D1，易證FD1平面BB1D1D.所以BFD1是直線BE與平面B1BD所成的角設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，則D1FB1D1a.BFa，所以sinBFD1.6如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長為2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1平面C1DF，則線段B1F的長為()A.B1C.D2答案A解析設(shè)B1Fx，因?yàn)锳B1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可以得A1B1，矩形ABB1A1中，tanFDB1，tanA1AB1.又FDB1A1AB1，所以.故B1F.故選A.7已知正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段DC，D1D和D1B上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列結(jié)論：對(duì)于任意給定的點(diǎn)E，存在點(diǎn)F，使得AFA1E；對(duì)于任意給定的點(diǎn)F，存在點(diǎn)E，使得AFA1E；對(duì)于任意給定的點(diǎn)G，存在點(diǎn)F，使得AFB1G；對(duì)于任意給定的點(diǎn)F，存在點(diǎn)G，使得AFB1G.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3答案C解析因?yàn)镈E平面A1D，根據(jù)三垂線定理，對(duì)于任意給定的點(diǎn)E，A1E在平面A1D的射影為A1D，所以存在點(diǎn)F，使得AFA1D，所以AFA1E，正確；如果對(duì)于任意給定的點(diǎn)F，存在點(diǎn)E，使得AFA1E；那么AFA1D，又AD1A1D，得到過A有兩條直線與A1D垂直，故錯(cuò)誤；只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影時(shí)，AFB1G，所以當(dāng)G位于D1B的上半部分時(shí)，在D1D上不存在F點(diǎn)，使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影，錯(cuò)誤；對(duì)任意給定的點(diǎn)F，存在平面BCC1B1上的線段B1G和AF垂直，且B1G為B1G的投影，所以正確，所以C正確8如圖，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，則AD_.答案a解析作BC中點(diǎn)E，連接AE，DE，則在RtABC中，ABACa，由勾股定理得BC2AEa，且有AEBC，又平面ABC平面BDC，平面ABC平面BDCBC且直線AE在平面ABC內(nèi)，由面面垂直的性質(zhì)定理得AE平面BCD，DE平面BCD內(nèi)，AEDE，又在RtBCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，DEa，在RtADE中，AEa，由勾股定理得ADa.9(2016全國卷)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào))答案解析對(duì)于，由mn，m可得n或n在內(nèi)，當(dāng)n時(shí)，與可能相交，也可能平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，過直線n作平面與平面交于直線c，由n可知nc，m，mc，mn，故正確；對(duì)于，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有.10(2018蘭州實(shí)戰(zhàn)考試)，是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一個(gè)條件，就能得出BDEF.現(xiàn)有下列條件：AC；AC與，所成的角相等；AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上；ACEF.其中能成為增加條件的序號(hào)是_答案解析由題意得，ABCD，A，B，C，D四點(diǎn)共面中，AC，EF，ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正確；不能得到BDEF，故錯(cuò)誤；中，由AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上可知平面ABCD，又AB，AB平面ABCD，平面ABCD.平面ABCD，平面ABCD，EF，EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正確；中，由知，若BDEF，則EF平面ABCD，則EFAC，故錯(cuò)誤，故填.B組能力關(guān)1(2018靜海月考)如圖所示，三棱錐PABC的底面在平面內(nèi)，且ACPC，平面PAC平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A一條線段B一條直線C一個(gè)圓D一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)答案D解析平面PAC平面PBC，而平面PAC平面PBCPC.又AC平面PAC，且ACPC，AC平面PBC，而BC平面PBC，ACBC，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓，但是要去掉A和B兩點(diǎn)故選D.2如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn)，且EF的長為定值，則下面的四個(gè)值中不為定值的是()A點(diǎn)P到平面QEF的距離B三棱錐PQEF的體積C直線PQ與平面PEF所成的角D二面角PEFQ的大小答案C解析A中，因?yàn)槠矫鍽EF也就是平面A1B1CD，顯然點(diǎn)P到平面A1B1CD的距離是定值，所以點(diǎn)P到平面QEF的距離為定值；B中，因?yàn)镼EF的面積是定值(EF為定長，點(diǎn)Q到EF的距離就是點(diǎn)Q到CD的距離，也是定長，即底和高都是定值)，再根據(jù)A的結(jié)論，即點(diǎn)P到平面QEF的距離也是定值，所以三棱錐PQEF的高也是定值，于是其體積固定，所以三棱錐PQEF的體積是定值；C中，因?yàn)镼是動(dòng)點(diǎn)，PQ的長不固定，而Q到平面PEF的距離為定值，所以PQ與平面PEF所成的角不是定值；D中，因?yàn)锳1B1CD，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn)，所以二面角PEFQ的大小即為二面角PCDA1的大小，為定值3(2018全國卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為()A.BCD答案A解析根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1與線AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面AB1D1與C1BD中間的，且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，邊長為，所以其面積為S62，故選A.4如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，AA14，過A1作底面ABC的垂線，垂足為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn)(1)證明：A1D平面A1BC；(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解(1)證明：如圖，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，A1E.由題意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因?yàn)锳BAC，所以AEBC.所以AE平面A1BC.由D，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，得DEBB1，且DEBB1，從而DEAA1，且DEAA1，所以四邊形AA1DE是平行四邊形，所以A1DAE.又因?yàn)锳E平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)如圖，作A1FDE，垂足為F，連接BF.因?yàn)锳1E平面ABC，所以BCA1E.因?yàn)锽CAE，AEA1EE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F.又因?yàn)镈EBCE，所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF為直線A1B與平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F.所以sinA1BF.C組素養(yǎng)關(guān)1如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ABBCADa，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.(1)證明：CD平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí)，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值解(1)證明：在圖1中，連接EC(圖略)，因?yàn)锳BBCADa，BAD90，ADBC，E是AD的中點(diǎn)，所以四邊形ABCE為正方形，所以BEAC，即在圖2中，BEA1O，BEOC，又A1OOCO，從而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可知A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1BCDE的高，由圖1知，A1OABa，平行四邊形BCDE的面積SBCABa2，從而四棱錐A1BCDE的體積VSA1Oa2aa3，由a336，解得a6.2如圖，直角三角形ABC中，BAC60，點(diǎn)F在斜邊AB上，且AB4AF，D，E是平面ABC同一側(cè)的兩點(diǎn)，AD平面ABC，BE平面ABC，AD3，ACBE4.(1)求證：平面CDF平面CEF；(2)點(diǎn)M在線段BC上，異面直線CF與EM所成角的余弦值為，求CM的長解(1)證明：連接DE.AD平面ABC，BE平面ABC，ADBE，即AD，BE在同一平面上，且ADAB，BEAB.在RtABC中，BAC60，AC4，AB8，BC4.AB4AF，AF2，由余弦定理可得CF2.AD3，BE4，DE.在RtADF中，DF.在RtACD中，DC5.在RtBEF中，EF.DF2CF2DC2，DF2EF2DE2，DFCF，DFEF.又CFEFF，DF平面CEF.DF平面CDF，平面CDF平面CEF.(2)過點(diǎn)M在平面ABC中作MNCF交AB于點(diǎn)N，連接EN，則EMN即為異面直線CF與EM所成的角或其補(bǔ)角設(shè)k(0<k<1)，EM，EN.顯然EM>EN，cosEMN>0.cosEMN，解得k.CM(1k)BC.