12.1“且”與“或”學習目標1.了解聯(lián)結詞“且”“或”的含義.2.會用聯(lián)結詞“且”“或”聯(lián)結或改寫某些數(shù)學命題，并判斷新命題的真假.3.掌握根據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍的方法知識點一“且”1定義：用聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作pq，讀作“p且q”當p，q都是真命題時，pq是真命題；當p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題將命題p和命題q以及pq的真假情況繪制為命題“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假假假真假假假假命題“pq”的真值表可簡單歸納為“同真則真”，“有假則假”2“且”是具有“兼有性”的邏輯聯(lián)結詞，對“且”的理解，可聯(lián)系集合中“交集”的概念，ABx|xA且xB中的“且”是指“xA”與“xB”這兩個條件都要同時滿足3.我們也可以用串聯(lián)電路來理解聯(lián)結詞“且”的含義，如圖所示，若開關p，q的閉合與斷開分別對應命題p，q的真與假，則整個電路的接通與斷開對應命題pq的真與假知識點二“或”1定義：一般地，用聯(lián)結詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作pq，讀作“p或q”當p，q兩個命題有一個命題是真命題時，pq是真命題；當p，q兩個命題都是假命題時，pq是假命題將命題p和命題q以及pq的真假情況繪制為命題“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假真假真真假假假命題“pq”的真值表可簡單歸納為“假假才假”2對“或”的理解：我們可聯(lián)系集合中“并集”的概念ABx|xA或xB中的“或”，它是指“xA”，“xB”中至少有一個是成立的，即可以是xA且xB，也可以是xA且xB，也可以是xA且xB.3.我們可以用并聯(lián)電路來理解聯(lián)結詞“或”的含義，如圖所示，若開關p，q的閉合與斷開對應命題p，q的真與假，則整個電路的接通與斷開分別對應命題pq的真與假1邏輯聯(lián)結詞“且”“或”只能出現(xiàn)在命題的結論中()2命題“pq”是真命題，p，q至少有一個是真命題()3梯形的對角線相等且平分是“pq”形式的命題()題型一含有“且”“或”命題的構成命題角度1命題形式的區(qū)分例1指出下列命題的形式及構成它的命題(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圓或有內切圓；(3)22.解(1)是pq形式的命題其中p：向量有大小，q：向量有方向(2)是pq形式的命題其中p：矩形有外接圓，q：矩形有內切圓(3)是pq形式的命題其中p：2>2，q：22.反思感悟不含有邏輯聯(lián)結詞的命題是簡單命題；由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞“或”“且”構成的命題稱之為復合命題判斷一個命題是簡單命題還是復合命題，不能僅從字面上看它是否含有“或”“且”等邏輯聯(lián)結詞，而應從命題的結構來看是否用邏輯聯(lián)結詞聯(lián)結兩個命題跟蹤訓練1指出下列命題的形式及構成它的簡單命題：(1)24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；(2)菱形是圓的內接四邊形或是圓的外切四邊形解(1)這個命題是“pq”的形式，其中p：24是8的倍數(shù)，q：24是6的倍數(shù)(2)這個命題是“pq”的形式，其中p：菱形是圓的內接四邊形，q：菱形是圓的外切四邊形命題角度2用邏輯聯(lián)結詞構造新命題例2分別寫出下列命題的“p且q”“p或q”形式的命題(1)p：梯形有一組對邊平行，q：梯形有一組對邊相等；(2)p：1是方程x24x30的解，q：3是方程x24x30的解解(1)p或q：梯形有一組對邊平行或梯形有一組對邊相等p且q：梯形有一組對邊平行且梯形有一組對邊相等(2)p或q：1或3是方程x24x30的解p且q：1與3是方程x24x30的解反思感悟用邏輯聯(lián)結詞“或”“且”聯(lián)結p，q構成新命題時，在不引起歧義的前提下，可以把p，q中的條件或結論合并跟蹤訓練2分別寫出由下列命題構成的“pq”“pq”的形式(1)p：函數(shù)y3x2是偶函數(shù)，q：函數(shù)y3x2是增函數(shù)；(2)p：是無理數(shù)，q：是實數(shù)；(3)p：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，q：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角解(1)pq：函數(shù)y3x2是偶函數(shù)且是增函數(shù)；pq：函數(shù)y3x2是偶函數(shù)或是增函數(shù)(2)pq：是無理數(shù)且是實數(shù)；pq：是無理數(shù)或是實數(shù)(3)pq：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和且大于與它不相鄰的任何一個內角；pq：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和或大于與它不相鄰的任何一個內角題型二“pq”和“pq”形式命題的真假判斷例3分別指出“pq”“pq”的真假(1)p：函數(shù)ysinx是奇函數(shù)；q：函數(shù)ysinx在R上單調遞增；(2)p：直線x1與圓x2y21相切；q：直線x與圓x2y21相交；(3)p：不等式x22x1>0的解集為R；q：不等式x22x21的解集為.解(1)p真，q假，“pq”為真，“pq”為假(2)p真，q真，“pq”為真，“pq”為真(3)p假，q假，“pq”為假，“pq”為假反思感悟判斷pq與pq形式命題的真假的步驟(1)首先判斷命題p與q的真假(2)對于pq，“一假則假，全真則真”，對于pq，只要有一個為真，則pq為真，全假為假跟蹤訓練3分別指出由下列各組命題構成的“p或q”“p且q”形式的命題的真假(1)p：0，q：0；(2)p：是無理數(shù)，q：不是無理數(shù)；(3)p：集合AA，q：AAA；(4)p：函數(shù)yx23x4的圖象與x軸有公共點，q：方程x23x40沒有實數(shù)根解(1)p真，q假，“p或q”為真，“p且q”為假(2)p真，q假，“p或q”為真，“p且q”為假(3)p真，q真，“p或q”為真，“p且q”為真(4)p假，q假，“p或q”為假，“p且q”為假由復合命題的真假求參數(shù)的范圍典例已知p：方程x2mx10有兩個不等的負實數(shù)根；q：方程4x24(m2)x10無實數(shù)根，若“pq”是真命題，“pq”是假命題，求實數(shù)m的取值范圍考點“或”“且”的綜合問題題點由復合命題的真假求參數(shù)的范圍解p：方程x2mx10有兩個不等的負實數(shù)根m>2.q：方程4x24(m2)x10無實數(shù)根16(m2)216<01<m<3.因為“pq”是真命題，“pq”是假命題，所以p為真且q為假，或p為假且q為真(1)當p為真且q為假時，由解得m3；(2)當p為假且q為真時，由解得1<m2.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是(1,23，)素養(yǎng)評析(1)解決邏輯聯(lián)結詞的應用問題，一般是先假設p，q分別為真，化簡其中的參數(shù)的取值范圍，然后當它們?yōu)榧贂r取其補集，最后確定參數(shù)的取值范圍(2)理解運算對象，選擇運算方法，設計運算程序，有利于形成程序化思維，能促進數(shù)學思維的發(fā)展，培養(yǎng)程序化思考問題的品質.1命題“方程x21的解是x1”中，使用邏輯聯(lián)結詞的情況是()A沒有使用邏輯聯(lián)結詞B使用了邏輯聯(lián)結詞“或”C使用了邏輯聯(lián)結詞“且”D使用了邏輯聯(lián)結詞“或”與“且”答案B2命題“xy0”是指()Ax0且y0Bx0或y0Cx，y至少有一個不為0D不都是0答案A解析滿足xy0，即x，y兩個都不為0，故選A.3已知p：0，q：11,2在命題“p”，“q”，“pq”，和“pq”中，真命題有()A1個B2個C3個D0個答案B解析容易判斷命題p：0是真命題，命題q：11,2是假命題，所以pq是假命題，pq是真命題，故選B.4“pq是真命題”則下列結論錯誤的是()Ap是真命題Bq是真命題Cpq是真命題Dpq是假命題答案D解析pq是真命題p是真命題且q是真命題pq是真命題，故選D.5已知命題p：函數(shù)f(x)(2a1)xb在R上是減函數(shù)；命題q：函數(shù)g(x)x2ax在1,2上是增函數(shù)，若pq為真，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析命題p：由函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)得2a1<0，解得a<，命題q：由函數(shù)g(x)x2ax在1,2上是增函數(shù)，得1，解得a2.由pq為真得p，q都為真，故a的取值范圍為，即為.1判斷含有邏輯聯(lián)結詞的命題構成形式的關鍵是：弄清構成它的命題的條件、結論2對用邏輯聯(lián)結詞聯(lián)結的復合命題的真假進行判斷時，首先找出構成復合命題的簡單命題，判斷簡單命題的真假，然后分析構成形式，根據(jù)構成形式判斷復合命題的真假(1)“pq”形式的命題簡記為：同真則真，一假則假；(2)“pq”形式的命題簡記為：同假則假，一真則真一、選擇題1已知命題p，q，若p為真命題，則()Apq必為真Bpq必為假Cpq必為真Dpq必為假答案C解析pq，見真則真，故必有pq為真2給出下列命題：2>1或1>3；方程x22x40的判別式大于或等于0；25是6或5的倍數(shù)；集合AB是A的子集，且是AB的子集其中真命題的個數(shù)為()A1B2C3D4答案D解析由于2>1是真命題，所以“2>1或1>3”是真命題；由于方程x22x40的判別式大于0，所以“方程x22x40的判別式大于或等于0”是真命題；由于25是5的倍數(shù)，所以命題“25是6或5的倍數(shù)”是真命題；由于A，所以命題“集合AB是A的子集，且是AB的子集”是真命題3命題pq是假命題，命題pq是真命題，則下列判斷正確的是()A命題p真q假B命題p假q真C命題p與q真假相同D命題p與q真假不同答案D解析由命題pq是假命題，命題pq是真命題，得命題p，q一真一假故選D.4命題p：點P在直線y2x3上；q：點P在曲線yx2上，則使“p且q”為真命題的一個點P(x，y)是()A(0，3) B(1,2)C(1，1) D(1,1)答案C解析點(x，y)滿足解得P(1，1)或P(3，9)，故選C.5設命題p：函數(shù)ysin2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)ycosx的圖象關于直線x對稱，則下列判斷正確的是()Ap為真Bq為真Cpq為假Dpq為真答案C解析函數(shù)ysin2x的最小正周期為，故命題p為假命題；x不是ycosx的對稱軸，故命題q為假命題，故pq為假故選C.6給出命題p：33；q：函數(shù)f(x)在R上的值域為1,1在下列命題：“p”“q”“pq”“pq”中，真命題的個數(shù)為()A0B1C2D3答案C7p：方程x22xa0有實數(shù)根，q：函數(shù)f(x)(a2a)x是增函數(shù)，若“pq”為假命題，“pq”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa>0Ba0Ca>1Da1答案B解析方程x22xa0有實數(shù)根，44a0，解得a1.函數(shù)f(x)(a2a)x是增函數(shù)，a2a>0，解得a<0或a>1.pq為假命題，pq為真命題，p，q中一真一假當p真q假時，得0a1；當p假q真時，得a>1.由得所求a的取值范圍是a0.二、填空題8分別用“pq”“pq”填空：(1)命題“集合AB”是_的形式；(2)命題“2”是_的形式；(3)命題“60是10與12的公倍數(shù)”是_的形式答案(1)pq(2)pq(3)pq9已知p：x22x3<0；q：<0，若p且q為真，則x的取值范圍是_答案(1,2)解析當p為真命題時，x22x3<0，則1<x<3；當q為真命題時，x2<0，則x<2.當p且q為真命題時，p和q均為真命題，從而x的取值范圍是1<x<2.10已知命題p：不等式>的解集為x|0<x<1命題q：“ab”是“a2b2”成立的必要不充分條件，則下列結論正確的是_(填序號)“pq”為真；“pq”為假；“pq”為真；“pq”為假答案解析由>，得<00<x<1，故p為真命題，由a2b2不一定有ab，故q為假命題pq為假，pq為真11設p：關于x的不等式ax>1(a>0且aD/1)的解集是x|x<0，q：函數(shù)ylg(ax2xa)的定義域為R，如果p且q為假，p或q為真，則a的取值范圍為_答案解析若p真，則0<a<1，若p假，則a>1.若q真，有解得a>.若q假，則a，又由題意知，p和q有且僅有一個為真，當p真q假時，0<a，當p假q真時，a>1，綜上所述，a(1，)三、解答題12判斷下列復合命題的真假(1)等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊；(2)不等式x22x1>0的解集為R且不等式x22x21的解集為.解(1)這個命題是“p且q”形式的復合命題，其中p：等腰三角形頂角的平分線平分底邊，q：等腰三角形頂角的平分線垂直于底邊，因為p真q真，則“p且q”為真，所以該命題是真命題(2)這個命題是“p且q”形式的復合命題，其中p：不等式x22x1>0的解集為R，q：不等式x22x21的解集為.因為p假q假，所以“p且q”為假，故該命題為假命題13已知p：函數(shù)yx2mx1在(1，)上單調遞增，q：函數(shù)y4x24(m2)x1大于零恒成立若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍解若函數(shù)yx2mx1在(1，)上單調遞增，則1，m2，即p：m2；若函數(shù)y4x24(m2)x1恒大于零，則16(m2)216<0，解得1<m<3，即q：1<m<3.因為p或q為真，p且q為假，所以p，q一真一假，當p真q假時，由，得m3，當p假q真時，由，得1<m<2.綜上，m的取值范圍是m|m3或1<m<214設命題p：函數(shù)f(x)lg的定義域為R，命題q：關于x的不等式3x9xa對一切正實數(shù)都成立若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_答案0,1解析由題意，得對命題p：ax2x0在R上恒成立，當a0時，不符合，故得a1.對命題q：令3xt(t1)，則3x9x20，故a0.由p或q為真，p且q為假，得p，q一真一假，當p真q假時，無解；當p假q真時，得0a1.15已知命題p：方程a2x2ax20在1,1上有解；命題q：只有一個實數(shù)x滿足不等式x22ax2a0，若命題“pq”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍解由a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0.顯然a0，x或x.若命題p為真，x1,1，故1或1，|a|1.若命題q為真，即只有一個實數(shù)x滿足x22ax2a0，即拋物線yx22ax2a與x軸只有一個交點，4a28a0，a0與a2.命題“pq”為假命題，q，p同時為假命題a的取值范圍是a|1a0或0a1