基礎(chǔ)回扣(四)數(shù)列要點(diǎn)回扣1an與Sn的關(guān)系式已知前n項(xiàng)和Sna1a2a3an，則an.由Sn求an時(shí)，易忽略n1的情況對(duì)點(diǎn)專練1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則an_.答案2等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an1and(d為常數(shù)，nN*)或an1ananan1(n2)(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)：ana1(n1)d(nN*)或anam(nm)d.(n，mN*)(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn，Snna1d.對(duì)點(diǎn)專練2等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S36，a30.則公差d等于_答案23等差數(shù)列的性質(zhì)(1)當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Snna1dn2n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.(2)若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d0，則為常數(shù)列(3)當(dāng)mnpq時(shí)，則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有aman2ap.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列對(duì)點(diǎn)專練3已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1012，S2017，則S30為()A15B20C25D30答案A4等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法q(q為常數(shù)，nN*)，其中q0，an0或(n2)如一個(gè)等比數(shù)列an共有2n1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則an1.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)：ana1qn1或anamqnm.(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sn.(4)等比中項(xiàng)：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)，即為.如已知兩個(gè)數(shù)a，b(ab)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為A>B.對(duì)點(diǎn)專練4在等比數(shù)列an中，若a11，a516，則a3_.答案45等比數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)mnpq時(shí)，則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有amana.對(duì)點(diǎn)專練5各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5a69，則log3a1log3a2log3a10_.答案106數(shù)列求和數(shù)列求和時(shí)要明確項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，并注意根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的方法數(shù)列求和的方法有公式法、分組求和法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等對(duì)點(diǎn)專練6數(shù)列an滿足anan1(nN，n1)，若a21，Sn是an的前n項(xiàng)和，則S21的值為_答案易錯(cuò)盤點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1忽視數(shù)列首項(xiàng)致誤【例1】已知數(shù)列an對(duì)任意nN*都滿足a12a222a32n1an85n，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_錯(cuò)解a12a222a32n1an85n，a12a222a32n2an185(n1)，兩式相減，得2n1an5，an.錯(cuò)因分析當(dāng)n1時(shí)，由題中條件可得a13，而代入錯(cuò)解中所得的通項(xiàng)公式可得a15，顯然是錯(cuò)誤的其原因是：兩式相減時(shí)，所適用的條件是n2，并不包含n1的情況只有所求的通項(xiàng)公式對(duì)n1時(shí)也成立，才可以這樣寫，否則要分開寫正解當(dāng)n2時(shí)，由于a12a222a32n1an85n，那么a12a222a32n1an185(n1)，兩式對(duì)應(yīng)相減可得2n1an85n85(n1)5，所以an.而當(dāng)n1時(shí)，a135，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an本題實(shí)質(zhì)上已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)an與Sn的關(guān)系中，anSnSn1，成立的條件是n2，求出的an中不一定包括a1，而a1應(yīng)由a1S1求出，然后再檢驗(yàn)a1是否在an中，這是一個(gè)典型的易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)專練1(1)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，2Snnann，若S20360，則a2_.(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Snn2n1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析(1)2Snnann，當(dāng)n2時(shí)，2Sn1(n1)an1n1，得：(2n)an(n1)an11，(1n)an1nan1，由得，(22n)an(1n)(an1an1)，又n2，1n0.2anan1an1(n2)，數(shù)列an為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，當(dāng)n1時(shí)，2S1a11，a11，S2020d360，d2，a2121.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S13；當(dāng)n2時(shí)，ann2n1(n1)2(n1)12n，an答案(1)1(2)an易錯(cuò)點(diǎn)2忽視等比數(shù)列公比的條件致誤【例2】各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1010，S3070，則S40等于()A150B200C150或200 D400或50錯(cuò)解記b1S10，b2S20S10，b3S30S20，b4S40S30，b1，b2，b3，b4是公比為r的等比數(shù)列b1b2b31010r10r2S3070，即r2r60，得r2或r3.故S40，代入得S40150或200.選C.錯(cuò)因分析數(shù)列S10，S20S10，S30S20，S40S30的公比q10>0.忽略了此隱含條件，就產(chǎn)生了增解200.正解記b1S10，b2S20S10，b3S30S20，b4S40S30，b1，b2，b3，b4是公比為rq10>0的等比數(shù)列b1b2b31010r10r2S3070，r2r60，r2，r3(舍去)，S40b1b2b3b4150，故選A.在等比數(shù)列中，公比的條件在使用中要注意隱含條件，Sn中q0；構(gòu)造新數(shù)列要注意新數(shù)列的公比和原公比的關(guān)系，如等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S10，S20S10，S30S20，S40S30的公比為q10>0.對(duì)點(diǎn)專練2(1)已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，給出下列四個(gè)有關(guān)數(shù)列an的命題：p1：如果a1>0且q>1，那么數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列；p2：如果a1<0且q<1，那么數(shù)列an是遞減的等比數(shù)列；p3：如果a1<0且0<q<1，那么數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列；p4：如果a1>0且0<q<1，那么數(shù)列an是遞減的等比數(shù)列其中為真命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S6S9，則數(shù)列的公比q是_解析(1)p1中若q>1，則qn1單調(diào)遞增，又a1>0，所以an單調(diào)遞增，p1為真命題；p2中an(1)n，則an不具有單調(diào)性，所以p2為假命題；p3中若0<q<1，則qn1單調(diào)遞減，又a1<0，所以an單調(diào)遞增，p3為真命題；p4中若0<q<1，則qn1單調(diào)遞減，又a1>0，所以an單調(diào)遞減，p4為真命題綜上，可知真命題的個(gè)數(shù)為3，故選C.(2)當(dāng)q1時(shí)，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立當(dāng)q1時(shí)，由S3S6S9得，q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案(1)C(2)1或1易錯(cuò)點(diǎn)3分類討論不當(dāng)致誤【例3】已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a121，公差d4，則數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn_.錯(cuò)解由題意，知an214(n1)254n，因此由an0，解得n，即數(shù)列an的前6項(xiàng)大于0，從第7項(xiàng)開始，以后各項(xiàng)均小于0.|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n132，所以Sn2n223n132.錯(cuò)因分析忽視了n6的情況，只給出了n7的情況正解由題意，知an214(n1)254n，因此由an0，解得n，即數(shù)列an的前6項(xiàng)大于0，從第7項(xiàng)開始，以后各項(xiàng)均小于0.當(dāng)n6時(shí)，Sn|a1|a2|an|a1a2an2n223n.當(dāng)n7時(shí)，|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n132，所以Sn在數(shù)列問題中，一定要注意項(xiàng)數(shù)n的取值范圍，特別是在它取不同的值造成不確定的因素時(shí)，要注意對(duì)其加以分類討論對(duì)點(diǎn)專練3(1)已知數(shù)列an滿足an1anan1(n2)，a11，a23，記Sna1a2an，則下列結(jié)論正確的是()Aa1001，S1005 Ba1003，S1005Ca1003，S1002 Da1001，S1002(2)已知Sn是等差數(shù)列an(nN*)的前n項(xiàng)和，且S8>S9>S7，有下列四個(gè)命題，其中是假命題的是()A公差d<0B在所有Sn<0中，S17最大Ca8>a9D滿足Sn>0的n的個(gè)數(shù)有15個(gè)解析(1)由題意知，a11，a23，a32，a41，a53，a62，a71，a83由此可以得出數(shù)列an以6為一個(gè)周期，所以a100a41，S100a1a2a3a45，故選A.(2)a8S8S7>0，a9S9S8<0，公差da9a8<0，A，C為真命題；S1717a9<0，又S9S7a8a9>S7，a8a9>0，S168(a8a9)>0，滿足Sn>0的n的個(gè)數(shù)有16個(gè)，D為假命題，故選D.答案(1)A(2)D易錯(cuò)點(diǎn)4數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別認(rèn)識(shí)不清致誤【例4】已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的nN*，ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_錯(cuò)解因?yàn)閍nn2n是關(guān)于n的二次函數(shù)，且n1，所以1，解得2.錯(cuò)因分析數(shù)列是以正整數(shù)N*(或它的有限子集1,2，n)為定義域的函數(shù)，因此它的圖象只是一些孤立的點(diǎn)正解解法一：作出滿足條件的數(shù)列的圖象，如圖由圖得，<，所以>3.解法二：由an是遞增數(shù)列，得an<an1對(duì)nN*恒成立，即n2n<(n1)2(n1)，整理得>(2n1)，對(duì)任意nN*成立而(2n1)3，所以>3.數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)镹*或它的子集，其圖象是一些孤立的點(diǎn)，在研究其性質(zhì)時(shí)不可忽略其特性對(duì)點(diǎn)專練4(1)設(shè)函數(shù)f(x)anf(n)，若數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，2) B.C. D.(2)等差數(shù)列an中，d<0，若|a3|a9|，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)，n的值為_解析(1)由題意，知f(x)(a2)x在(2，)上是減函數(shù)，且a1>a2，所以即解得a<.故選C.(2)因?yàn)閐<0，|a3|a9|，所以a3a9，a3a90，a3a92a60，a60，所以Sn取最大值時(shí)n5或6.答案(1)C(2)5或6