第3講 不等式及線性規(guī)劃 一、選擇題 1．若實數(shù)a，b∈R且a>b，則下列不等式恒成立的是(　　) A．a(chǎn)2>b2　　　　　　　 B.>1 C．2a>2b D．lg(a－b)>0 解析：根據(jù)函數(shù)的圖象與不等式的性質(zhì)可知：當(dāng)a>b時，2a>2b，故選C. 答案：C 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是(　　) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 解析：由題意知f(1)＝3，故原不等式可化為或解得－3<x<1或x>3，所以原不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)． 答案：A 3．已知a∈R，不等式≥1的解集為p，且－2?p，則a的取值范圍為(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) 解析：∵－2?p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3. 答案：D 4．若對任意正實數(shù)x，不等式≤恒成立，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：因為≤，即a≥，而＝≤(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號)，所以a≥. 答案：C 5．(2018蘭州模擬)若變量x，y滿足約束條件則z＝2xy的最大值為(　　) A．16 B．8 C．4 D．3 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 又z＝2xy＝2x－y，令u＝x－y，則直線u＝x－y在點(4,0)處u取得最大值，此時z取得最大值且zmax＝24－0＝16. 答案：A 6．對于任意實數(shù)a，b，c，d，有以下四個命題： ①若ac2>bc2，則a>b； ②若a>b，c>d，則a＋c>b＋d； ③若a>b，c>d，則ac>bd； ④若a>b，則>. 其中正確的命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：①由ac2>bc2，得c≠0，則a>b，①正確； ②由不等式的同向可加性可知②正確； ③錯誤，當(dāng)d<c<0時，不等式不成立； ④錯誤，令a＝－1，b＝－2，滿足－1>－2， 但 <.故正確的命題有2個． 答案：B 7．(2018成都質(zhì)檢)若實數(shù)x，y滿足不等式組且x－y的最大值為5，則實數(shù)m的值為(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．－5 解析：根據(jù)不等式組，作出可行域如圖中陰影部分所示，令z＝x－y，則y＝x－z，當(dāng)直線y＝x－z過點B(1－m，m)時，z取得最大值5，所以1－m－m＝5?m＝－2. 答案：C 8．對于函數(shù)f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，則稱(x0，f(x0))與(－x0，f(－x0))為函數(shù)圖象的一組奇對稱點．若f(x)＝ex－a(e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象上存在奇對稱點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(e，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：因為存在實數(shù)x0(x0≠0)，使得f(x0)＝－f(－x0)，則 又x0≠0，所即a>1. 答案：B 9．(2018長沙模擬)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，則x－2y的最大值與最小值之和是(　　) A．0 B．－2 C．2 D．6 解析：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1， 即變量x，y滿足約束條件 即 作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示， 可得x－2y在A(2，－1)，C(4,3)處取得最大值、最小值分別為4，－2，其和為2. 答案：C 10.已知函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集為(　　) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1,2) C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 解析：由f(x)的圖象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，f′(x)<0.由(x2－2x－3)f′(x)>0，得 或 即或 所以不等式的解集為(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 答案：D 11．(2018九江模擬)已知點P(x，y)滿足過點P的直線與圓x2＋y2＝14相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 解析：不等式組所表示的平面區(qū)域為△CDE及其內(nèi)部(如圖)， 其中C(1,3)，D(2,2)，E(1,1)，且點C，D，E均在圓x2＋y2＝14的內(nèi)部，故要使|AB|最小，則AB⊥OC，因為|OC|＝，所以|AB|＝2＝4，故選D. 答案：D 12．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 解析：根據(jù)題意，設(shè)每天生產(chǎn)甲x噸，乙y噸，則目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋4y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 作出直線3x＋4y＝0并平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點A(2，3)時，z取得最大值且zmax＝32＋43＝18，故該企業(yè)每天可獲得最大利潤為18萬元，選D. 答案：D 二、填空題 13．(2017高考全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為__________． 解析：作出不等式組 所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當(dāng)直線y＝x－過點A時，在y軸上的截距最大，此時z最小，由解得 ∴zmin＝－5. 答案：－5 14．在R上定義運算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1對任意的x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析：由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，則不等式(x－a)*(x＋a)≤1對任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝2－≥－，則a2－a－1≤－，解得－≤a≤. 答案： 15．(2018湖南五市十校聯(lián)考)設(shè)z＝kx＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k＝__________. 解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示． 由圖可知當(dāng)0≤－k<時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點M(4，4)時z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；當(dāng)－k≥時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點B(0,2)時z最大，此時z的最大值為2，不合題意；當(dāng)－k<0時，直線y＝－kx＋z經(jīng)過點 M(4,4)時z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合．綜上可知k＝2. 答案：2 16．記min{a，b}為a，b兩數(shù)的最小值．當(dāng)正數(shù)x，y變化時， 令t＝min，則t的最大值為__________． 解析：因為x>0，y>0，所以問題轉(zhuǎn)化為t2≤(2x＋y)＝≤＝＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立， 所以0<t≤，所以t的最大值為. 答案：