第1講坐標系與參數(shù)方程1. (2018高考全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程解析：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐標方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l2與C2沒有公共點綜上，所求C1的方程為y|x|2.2(2018高考全國卷)在平面直角坐標系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(1)求的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程解析：(1)O的直角坐標方程為x2y21.當時，l與O交于兩點當時，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點當且僅當1，解得k1或k1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點P的坐標(x，y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是.3(2017高考全國卷)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：(cos sin )0，M為l3與C的交點，求M的極徑解析：(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y(x2)設P(x，y)，由題設得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標方程為2(cos2sin2)4(0<<2，)聯(lián)立得cos sin 2(cos sin )故tan ，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交點M的極徑為.1.已知橢圓C：(為參數(shù))，A，B是橢圓C上的動點，且滿足OAOB(O為坐標原點)以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點D的極坐標為(4，)(1)求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程；(2)利用橢圓C的極坐標方程證明為定值，并求AOB面積的最大值解析：(1)點D的直角坐標為(2,2)由題意可設點A的坐標為(2cos ，sin )，則AD的中點M的坐標為(1cos ，sin )，所以點M的軌跡E的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去可得E的普通方程為(x1)24(y)21.(2)證明：橢圓C的普通方程為y21，化為極坐標方程得232sin24，變形得 .由OAOB，不妨設A(1，)，B(2，)，所以(定值)所以AOB的面積S12 .易知當sin 20時，AOB的面積取得最大值1.2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為4sin()(1)求圓C的直角坐標方程；(2)若P(x，y)是直線l與圓面4sin()的公共點，求xy的取值范圍解析：(1)因為圓C的極坐標方程為4sin()，所以24sin()4(sin cos )又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22y2x，故圓C的直角坐標方程為x2y22x2y0.(2)設zxy.由圓C的方程x2y22x2y0，得(x1)2(y)24，所以圓C的圓心是(1，)，半徑是2.將代入zxy，得zt，又直線l過C(1，)，圓C的半徑是2，所以|t|2，解得2t2，所以2t2，即2z2.故xy的取值范圍是2,2