(二)立體幾何1(2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)如圖，四棱錐SABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱SB垂直于底面(1)求證：平面SBD平面SAC；(2)若SA與平面SCD所成的角為30，求SB的長(1)證明連接AC，BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以ACBD.又因?yàn)镾B底面ABCD，所以ACSB，因?yàn)锽DSBB，BD，SB平面SBD，所以AC平面SBD.又因?yàn)锳C平面SAC，所以平面SAC平面SBD.(2)解將四棱錐補(bǔ)形成正四棱柱ABCDASCD，連接AD，作AEAD，垂足為點(diǎn)E，連接SE.由SACD可知，平面SCD即為平面SCDA.因?yàn)镃D側(cè)面ADDA，AE側(cè)面ADDA，所以CDAE，又因?yàn)锳EAD，ADCDD，AD，CD平面SCD，所以AE平面SCD，于是ASE即為SA與平面SCD所成的角設(shè)SBx，在RtABS中，SA，在RtDAA中，AE .因?yàn)锳SE30，所以，解得x1，即SB的長為1.2(2018浙江省金華十校模擬)如圖，在幾何體ABCDE中，CDAE，EAC90，平面EACD平面ABC，CD2EA2，ABAC2，BC2，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)(1)證明：EF平面ABC；(2)求直線AB與平面BDE所成角的正弦值(1)證明取BC的中點(diǎn)G，連接FG，AG，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，CD2EA，CDAE，F(xiàn)GCDEA，且FGAE，四邊形AGFE是平行四邊形，EFAG，EF平面ABC，AG平面ABC，EF平面ABC.(2)解EAC90，平面EACD平面ABC，且平面EACD平面ABCAC，EA平面EACD，EA平面ABC，由(1)知FGAE，F(xiàn)G平面ABC，又ABAC，G為BC的中點(diǎn)，AGBC，如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GA，GB，GF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0，0)，D(0，2)，E(1,0,1)，(1，0)，(0，2，2)，(1，1)，設(shè)平面BDE的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，得n(0,1，)，直線AB與平面BDE所成角的正弦值為.3在三棱錐DABC中，DADBDC，D在底面ABC上的射影為E，ABBC，DFAB于F.(1)求證：平面ABD平面DEF；(2)若ADDC，AC4，BAC60，求直線BE與平面DAB所成角的正弦值(1)證明由題意知DE平面ABC，所以ABDE，又ABDF，且DEDFD，所以AB平面DEF，又AB平面ABD，所以平面ABD平面DEF.(2)解方法一由DADBDC，知EAEBEC，所以E是ABC的外心又ABBC，所以E為AC的中點(diǎn)，如圖所示過E作EHDF于H，連接BH，則由(1)知EH平面DAB，所以EBH即為BE與平面DAB所成的角由AC4，BAC60，得ABAEBE2，所以EF，又DE2，所以DF，EH，所以sinEBH.方法二如圖建系，則A(0，2，0)，D(0,0,2)，B(，1,0)，所以(0，2，2)，(，1，2)設(shè)平面DAB的法向量為n(x，y，z)，由得取z1，得n.設(shè)與n的夾角為，則cos ，所以BE與平面DAB所成角的正弦值為.4如圖，在矩形ABCD中，已知AB2，AD4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE1，BF3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點(diǎn)B在平面CDEF上的射影H在直線DE上(1)求證：CDBE；(2)求線段BH的長度；(3)求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值(1)證明BH平面CDEF，BHCD，又CDDE，BHDEH，BH，DE平面DBE，CD平面DBE，CDBE.(2)解方法一設(shè)BHh，EHk，過F作FG垂直ED于點(diǎn)G，線段BE，BF在翻折過程中長度不變，根據(jù)勾股定理得即解得線段BH的長度為2.方法二如圖，過點(diǎn)E作ERDC，過點(diǎn)E作ES平面EFCD，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ER，ED，ES所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B(0，y，z)(y>0，z>0)，由于F(2,2,0)，BE，BF3，解得于是B(0,1,2)，線段BH的長度為2.(3)解方法一延長BA交EF于點(diǎn)M，AEBFMAMB13，點(diǎn)A到平面EFCD的距離為點(diǎn)B到平面EFCD距離的，點(diǎn)A到平面EFCD的距離為，而AF，故直線AF與平面EFCD所成角的正弦值為.方法二由(2)方法二知(2，1,2)，故，設(shè)平面EFCD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，直線AF與平面EFCD所成角的大小為，則sin .5.在如圖所示的幾何體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且ACBCBD2AE，M是AB的中點(diǎn)(1)求證：CMEM；(2)求CM與平面CDE所成的角方法一(1)證明因?yàn)锳CBC，M是AB的中點(diǎn)，所以CMAB.又EA平面ABC，CM平面ABC，所以EACM，因?yàn)锳BEAA，AB，EA平面ABDE，所以CM平面ABDE，又因?yàn)镋M平面ABDE，所以CMEM.(2)解過點(diǎn)M作MH平面CDE，垂足為H，連接CH并延長交ED于點(diǎn)F，連接MF，MD，F(xiàn)CM是直線CM和平面CDE所成的角因?yàn)镸H平面CDE，ED平面CDE，所以MHED，又因?yàn)镃M平面EDM，ED平面EDM，所以CMED，因?yàn)镸HCMM，MH，CM平面CMF，所以ED平面CMF，因?yàn)镸F平面CMF，所以EDMF.設(shè)EAa，BDBCAC2a，在直角梯形ABDE中，AB2a，M是AB的中點(diǎn)，所以DE3a，EMa，MDa，所以EM2MD2ED2，所以EMD是直角三角形，其中EMD90，所以MFa.在RtCMF中，tanFCM1，又因?yàn)镕CM(0，90)，所以FCM45，故CM與平面CDE所成的角是45.方法二如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別作為x軸和y軸，過點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)EAa，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0，a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0)(1)證明因?yàn)?a，a，a)，(a，a,0)，所以0，故EMCM.(2)解設(shè)向量n(1，y0，z0)為平面CDE的一個(gè)法向量，則n，n，即n0，n0.因?yàn)?2a,0，a)，(0,2a,2a)，所以解得即n(1,2，2)，cosn，因?yàn)閚，0，180，所以n，45.直線CM與平面CDE所成的角是n與夾角的余角，所以45，因此直線CM與平面CDE所成的角是45.6.如圖，在三棱臺(tái)ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求證：BF平面ACFD；(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值(1)證明延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示，因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因?yàn)镋FBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解因?yàn)锽F平面ACK，所以BDF是直線BD與平面ACFD所成的角在RtBFD中，BF，DF，得cos BDF.所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為.