3.1.2不等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握不等式的性質(zhì)2.能夠利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較3.會(huì)證明一些簡單的不等式知識(shí)點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)思考試用作差法證明a>b，b>ca>c.答案a>b，b>cab>0，bc>0abbc>0ac>0a>c.總結(jié)不等式性質(zhì)：名稱式子表達(dá)性質(zhì)1(對稱性)abba性質(zhì)2(傳遞性)ab，bcac性質(zhì)3abacbc推論1abcacbab，cdacbd推論2性質(zhì)4ab，c0acbcab，c0acbc推論1ab0，cd0acbdab0anbn(nN，n1)ab0(nN，n1)推論2推論3知識(shí)點(diǎn)二不等式性質(zhì)的注意事項(xiàng)思考1在性質(zhì)4的推論1中，若把a(bǔ)，b，c，d為正數(shù)的條件去掉，即ab，cd，能推出acbd嗎？若不能，試舉出反例答案不能，例如12，23，但122(2)(3)思考2在性質(zhì)3的推論2中，能把“”改為“”嗎？為什么？答案不能，因?yàn)橛蒩cbd，不能推出ab，cd，例如110023，但顯然12.總結(jié)(1)注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)(2)注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性，即每條性質(zhì)是否具有可逆性，只有abba，abacbc，abacbc(c0)是可以逆推的，其余幾條性質(zhì)不可逆推1若a>b，則ac>bc一定成立()2若ac>bd，則a>b且c>d()3若a>b且d<c，則ac>bd()4若a>b且c>d，則ac>bd()題型一不等式性質(zhì)的證明例1若ab，c0，求證：acbc.證明acbc(ab)c.ab，ab0.又c0，(ab)c0，即acbc0，acbc.反思感悟?qū)θ我鈨蓚€(gè)實(shí)數(shù)a，b有ab0ab；ab0ab；ab0ab這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是個(gè)講究邏輯的學(xué)科，不能以理解代替證明跟蹤訓(xùn)練1(1)若ac2bc2，求證：ab；(2)由ab能推出ac2bc2嗎？解(1)ac2bc2，ac2bc20，即(ab)c20若c20，則ac2bc2與條件矛盾c20，ab0，即ab(2)不能當(dāng)c0時(shí)，ac2bc2題型二不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例2判斷下列命題的真假：(1)若a>b，則ac<bc；(2)若a<b<0，則a2>ab>b2；(3)若a<b<0，則>.解(1)由于c的正、負(fù)或是否為零未知，因而判斷ac與bc的大小缺乏依據(jù)故該命題為假命題(2)由a2>ab；由ab>b2所以a2>ab>b2，故該命題為真命題(3)由a<b<0a>b>0a2>b2>，即>，故該命題為假命題反思感悟要判斷命題是真命題，應(yīng)說明理由或進(jìn)行證明，推理過程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，應(yīng)熟練掌握不等式的性質(zhì)及其推論的條件和結(jié)論，若判斷命題是假命題只需舉一反例即可跟蹤訓(xùn)練2下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()若a>b，b0，則>1；若a>b，且ac>bd，則c>d；若a>b，且ac>bd，則c>dA0B1C2D3答案A解析若a2，b1，則不符合題意；取a10，b2，c1，d3，雖然滿足a>b且ac>bd，但不滿足c>d，故錯(cuò)；當(dāng)a2，b3時(shí)，取c1，d2，則cd不成立命題角度2利用不等式性質(zhì)證明簡單不等式例3已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：>.證明c<d<0，c>d>0，a>b>0，ac>bd>0，0<<又e<0，>反思感悟利用不等式性質(zhì)證明簡單的不等式的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形，要注意不等式性質(zhì)成立的條件，如果不能直接由不等式性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練3若a>b>0，c<d<0，求證：<證明c<d<0，c>d>0又a>b>0，ac>bd>0，ac<bd又c<0，d<0，cd>0<，即<命題角度3應(yīng)用不等式性質(zhì)求取值范圍例4已知6<a<8,2<b<3，分別求2ab，ab，的取值范圍解6<a<8,2<b<3，12<2a<16，10<2ab<19又3<b<2，9<ab<6又<<，當(dāng)0a<8時(shí)，0<4；當(dāng)6<a<0時(shí)，3<<03<<4反思感悟解決此類問題，要注意題設(shè)中的條件，充分利用已知求解，否則易出錯(cuò)同時(shí)在變換過程中要準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的情況，同時(shí)，要特別注意同向不等式相乘的條件是同為正跟蹤訓(xùn)練4已知<，求，的取值范圍解<，<，<上面兩式相加得<<<，<，<又知<，<0，故<0用好不等式性質(zhì)，確保推理嚴(yán)謹(jǐn)性典例已知12a60,15b36，求的取值范圍解15b36，又12a60，4，即的取值范圍是素養(yǎng)評析邏輯推理講究言必有據(jù)在不等式這一章，我們要對不等式進(jìn)行大量的運(yùn)算、變形，而運(yùn)算、變形的依據(jù)就是不等式的性質(zhì)通過考問每一步是否有依據(jù)，整個(gè)推理過程是否有條理，可以使我們的理性精神和交流能力得到提升1如果a0，b0，那么，下列不等式中正確的個(gè)數(shù)是()；a2b2；|a|b|.A0B1C2D3答案B解析正確，可舉反例排除，如對，設(shè)a9，b1，對，設(shè)a1，b2即可2已知a>b，不等式：a2>b2；<；>成立的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3答案A解析由題意可令a1，b1，此時(shí)不對，不對，ab2，此時(shí)有<，故不對故選A3已知a，b，c，dR且ab>0，>，則()Abc<adBbc>adC>D<答案A解析ab>0，在>兩側(cè)乘ab不變號，即bc>ad，即bc<ad4若，那么2的取值范圍是_答案解析，2(0，)，<2<1不等式的性質(zhì)有很多是不可逆的，特別對同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相減，而且性質(zhì)不可逆只有同向且是正項(xiàng)的不等式才能相乘，且性質(zhì)不可逆2不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，要依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，不能自己“制造”性質(zhì)運(yùn)算一、選擇題1設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個(gè)結(jié)論：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc)其中所有正確結(jié)論的序號是()ABCD答案D解析由不等式性質(zhì)及a>b>1知<，又c<0，>，正確；構(gòu)造函數(shù)yxc，c<0，yxc在(0，)上是減函數(shù)，又a>b>1，ac<bc，正確；a>b>1，c<0，ac>bc>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc)，正確2已知a<0，b<1，則下列不等式成立的是()Aa>>B>>aC>a>D>>a答案D解析取a2，b2，則1，>>a3若a，b，cR，a>b，則下列不等式成立的是()A<Ba2>b2C>Da|c|>b|c|答案C解析對于A，若a>0>b，則>0，<0，此時(shí)>，A不成立；對于B，若a1，b2，則a2<b2，B不成立；對于C，c211，且a>b，>恒成立，C成立；對于D，當(dāng)c0時(shí)，a|c|b|c|，D不成立4若a>b>c且abc0，則下列不等式中正確的是()Aab>acBac>bcCa|b|>c|b|Da2>b2>c2答案A解析由a>b>c及abc0知a>0，c<0，ab>ac5若a<0，1<b<0，則()Aa<ab<ab2Bab2>a>abCab>b>ab2Dab>ab2>a答案D解析1<b<0，b<b2<1，又a<0，ab>ab2>a6如果1<a<b<0，則有()A<<b2<a2B<<a2<b2C<<b2<a2D<<a2<b2答案A解析1<a<b<0，ab>0，<即<<0，1>a2>b2>0，<<0<b2<a2<1二、填空題7已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a<b，則下列命題成立的是_(1)a2b<ab2；(2)<；(3)<答案(2)解析對于(1)，當(dāng)a<0，b>0時(shí)，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；對于(2)，a<b，>0，<，故成立；對于(3)，當(dāng)a1，b1時(shí)，1，故不成立8如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式不一定成立的是_(1)ab>ac；(2)c(ba)>0；(3)cb2<ab2；(4)ac(ac)<0答案(3)解析c<b<a且ac<0，知a>0，c<0，而b的取值不確定，當(dāng)b0時(shí)，(3)不成立9若1a3,1b2，則ab的范圍為_答案3,2解析1a3，2b1，3ab210已知a>b，e>f，c>0，則fac_ebc(填“>”“<”或“”)答案解析因?yàn)閍>b，c>0，所以ac>bc，即ac<bc又e>f，即f<e，所以fac<ebc三、解答題11判斷下列各命題是否正確，并說明理由：(1)若<且c>0，則a>b；(2)若a>b，ab0，則<；(3)若a>b，c>d，則ac>bd解(1)<，但推不出a>b，故(1)錯(cuò)(2)例如，當(dāng)a1，b1時(shí)，不成立，故(2)錯(cuò)(3)例如，當(dāng)ac1，bd2時(shí)，不成立，故(3)錯(cuò)12已知ab0，cd0，(1)求證：acbd(2)試比較與的大小(1)證明因?yàn)閍b0，cd0，所以acbc，bcbd，所以acbd(2)解因?yàn)閍b0，cd0，所以0，0，所以0，所以13已知函數(shù)f(x)ax2c，4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范圍解f(x)ax2c，f(3)9acf(2)f(1)，又4f(1)1，1f(2)5，f(1)，f(2)把的兩邊分別相加，得1f(2)f(1)20，即1f(3)20.所以f(3)的取值范圍是1,2014已知不等式：a<0<b；b<a<0；b<0<a；0<b<a；b<a且ab>0；a<b且ab<0其中能使<成立的是_答案解析因?yàn)?lt;<0ba與ab異號，然后再逐個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，可知都能使<15已知：f(x)logax，a>1>b>c>0，證明：>證明a>b>c，ac>bc>0，0<<，又f(b)logab，f(c)logac，a>1，f(b)>f(c)，又1>b>c>0，f(b)<0，f(c)<0，f(b)>f(c)，0<f(b)<f(c)，bf(c)>cf(b)>0，>