23充要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解充要條件的意義.2.會(huì)判斷、證明充要條件.3.通過學(xué)習(xí)，弄清對(duì)條件的判斷應(yīng)該歸結(jié)為對(duì)命題真假的判斷知識(shí)點(diǎn)一充要條件的概念一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq.此時(shí)，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件知識(shí)點(diǎn)二充要條件的判斷1由原命題與逆命題的真假情況判斷充分條件、必要條件和充要條件若原命題為“若p，則q”，則逆命題為“若q，則p”，那么p與q有以下四種情形：原命題逆命題條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論真假pq，但qpp是q成立的充分不必要條件假真qp，但pqp是q成立的必要不充分條件真真pq，qp，即pqp是q成立的充要條件假假pq，qpp是q成立的既不充分又不必要條件由上表可得充要條件的判斷方法：原命題和逆命題均為真命題，p才是q的充要條件2從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若BA，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若AB，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立1“兩角不相等”是“兩角不是對(duì)頂角”的必要不充分條件()2若命題“若p，則q”及其否命題都是真命題，則pq.()3若命題“若p，則q”及其逆命題都是假命題，則pq，qp()4若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題()題型一充要條件的判斷例1下列各題中，p是q的什么條件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要條件)(1)p：四邊形的對(duì)角線互相平分，q：四邊形是矩形；(2)p：a2b20，q：ab0；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：sin>sin，q：>.考點(diǎn)充要條件的判斷題點(diǎn)識(shí)別四種條件解(1)四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形是矩形，四邊形是矩形四邊形的對(duì)角線互相平分，p是q的必要不充分條件(2)a2b20ab0ab0，ab0a2b20，p是q的充分不必要條件(3)當(dāng)x1或x2時(shí)，可得x1成立，反過來，當(dāng)x1時(shí)，可以推出x1或x2，p是q的充要條件(4)由sin>sin不能推出>，反過來由>也不能推出sin>sin，p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件則p是q的既不充分又不必要條件反思感悟充要條件的常用判斷方法(1)命題判斷法設(shè)“若p，則q”為原命題，那么：原命題為真，逆命題為假時(shí)，p是q的充分不必要條件；原命題為假，逆命題為真時(shí)，p是q的必要不充分條件；原命題與逆命題都為真時(shí)，p是q的充要條件；原命題與逆命題都為假時(shí)，p是q的既不充分又不必要條件(2)集合法若p與q確定的集合分別是A，B，則當(dāng)且僅當(dāng)AB時(shí)，p是q的充要條件跟蹤訓(xùn)練1下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：a，b，c三數(shù)成等比數(shù)列，q：b；(2)p：yx>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：ABC是直角三角形，q：ABC為等腰三角形解(1)若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac，b，則pq；若b，當(dāng)a0，b0時(shí)，a，b，c不成等比數(shù)列，即qp，故p是q的既不充分又不必要條件(2)yx>4不能得出x>1，y>3，即pq，而x>1，y>3可得xy>4，即qp，故p是q的必要不充分條件(3)當(dāng)a>b時(shí)，有2a>2b，即pq，當(dāng)2a>2b時(shí)，可得a>b，即qp，故p是q的充要條件(4)方法一若ABC是直角三角形不能得出ABC為等腰三角形，即pq；若ABC為等腰三角形也不能得出ABC為直角三角形，即qp，故p是q的既不充分又不必要條件方法二如圖所示，p，q對(duì)應(yīng)集合間無包含條件，故p是q的既不充分又不必要條件題型二充要條件的探求與證明命題角度1探求充要條件例2求關(guān)于x的不等式ax2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件解充分性：當(dāng)0<a<時(shí)，判別式a24a(1a)5a24aa(5a4)<0，則ax2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立而當(dāng)a0時(shí)，不等式ax2ax1a>0化為1>0.顯然當(dāng)a0時(shí)，不等式ax2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立必要性：因?yàn)閍x2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，所以a0或解得0a<.故0a<是不等式ax2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件反思感悟探求一個(gè)命題的充要條件，可以利用定義法進(jìn)行探求，即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”，也可以尋求結(jié)論的等價(jià)命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件跟蹤訓(xùn)練2“函數(shù)yx22xa沒有零點(diǎn)”的充要條件是_考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件答案a<1解析函數(shù)沒有零點(diǎn)，即方程x22xa0無實(shí)根，所以有44a<0，解得a<1.反之，若a<1，則<0，方程x22xa0無實(shí)根，即函數(shù)沒有零點(diǎn)故“函數(shù)yx22xa沒有零點(diǎn)”的充要條件是a<1.命題角度2充要條件的證明例3求證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明充分性：ac<0，一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac>0，方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為x1，x2，則x1x2<0，方程的兩根異號(hào)，即方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根必要性：方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩實(shí)根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2<0，且b24ac>0，即ac<0.綜上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.反思感悟一般地，證明“p成立的充要條件為q”，在證充分性時(shí)，應(yīng)以q為“已知條件”，p是要證明的“結(jié)論”，即qp；證明必要性時(shí)，則是以p為“已知條件”，q是要證明的“結(jié)論”，即pq.跟蹤訓(xùn)練3求證：一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)的充要條件是b0.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明充分性：如果b0，那么f(x)kx，因?yàn)閒(x)k(x)kx，所以f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)必要性：因?yàn)閒(x)kxb(k0)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)對(duì)任意x均成立，即k(x)b(kxb)，所以b0.綜上，一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)的充要條件是b0.題型三充分條件與必要條件的應(yīng)用例4已知p：3xm<0，q：x22x3>0，若p是q的一個(gè)充分不必要條件，求m的取值范圍考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍解由3xm<0得，x<.p：A.由x22x3>0得，x<1或x>3.q：Bx|x<1或x>3pq而qp，A是B的真子集，1，m3，即m的取值范圍是3，)反思感悟首先應(yīng)把p與q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為p，q確定的集合之間的包含關(guān)系，然后構(gòu)建滿足條件的不等式(組)求解同時(shí)要注意命題的等價(jià)性的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練4已知p：xk，q：<1，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A2，) B(2，)C1，) D(，1考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍答案B解析q：x<1或x>2，由題意知，x|xkx|x<1或x>2，則k>2，k的取值范圍是(2，).1“2<x<1”是“x>1或x<1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分又不必要條件D充要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案C解析2<x<1x>1或x<1，且x>1或x<12<x<1，“2<x<1”是“x>1或x<1”的既不充分又不必要條件2“a>b”是“a>|b|”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案B解析由a>|b|a>b，而a>ba>|b|.3已知向量a(m2,4)，b(1,1)，則“m2”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案A解析當(dāng)m2時(shí)，a(4,4)，b(1,1)，ab，當(dāng)ab時(shí)，m24，即m2，故選A.4直線xym0與圓(x1)2(y1)22相切的充要條件是_考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件答案m4或m0解析圓心(1,1)到直線xym0的距離為，即，解得m4或m0.5設(shè)nN，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.答案3或4解析由164n0，得n4，又nN，則n1,2,3,4.當(dāng)n1,2時(shí)，方程沒有整數(shù)根；當(dāng)n3時(shí)，方程有整數(shù)根1,3，當(dāng)n4時(shí)，方程有整數(shù)根2.綜上可知，n3或4.1充要條件的判斷有三種方法：定義法、命題等價(jià)法、集合法2充要條件的證明與探求(1)充要條件的證明要分充分性和必要性兩方面來證明，在證明時(shí)要注意兩種敘述方式的區(qū)別：p是q的充要條件，則由pq證的是充分性，由qp證的是必要性；p的充要條件是q，則由pq證的是必要性，由qp證的是充分性(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過程都可逆，也可以直接求出充要條件一、選擇題1“x，y均為奇數(shù)”是“xy為偶數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案A解析當(dāng)x，y均為奇數(shù)時(shí)，一定可以得到xy為偶數(shù)；但當(dāng)xy為偶數(shù)時(shí)，不一定必有x，y均為奇數(shù)，也可能x，y均為偶數(shù)2設(shè)p：x<3，q：1<x<3，則p是q成立的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案C解析x<31<x<3，但1<x<3x<3，p是q的必要不充分條件，故選C.3設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的判斷答案D解析當(dāng)數(shù)列an的首項(xiàng)a1<0時(shí)，若q>1，則數(shù)列an是遞減數(shù)列；當(dāng)數(shù)列an的首項(xiàng)a1<0時(shí)，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，則0<q<1，所以“q>1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件故選D.4設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案D解析a>ba2>b2，a2>b2a>b，a>b是a2>b2的既不充分又不必要條件5函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是()Am2Bm2Cm1Dm1考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件答案A解析f(x)x2mx121，f(x)的圖像的對(duì)稱軸為x，由題意得1，m2.6已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案A解析prsq，故qp，否則rp，故選A.7“不等式x2xm>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是()Am>B0<m<1Cm>0Dm>1考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)答案C解析不等式x2xm>0在R上恒成立，則14m<0，m>，結(jié)合各選項(xiàng)，可知“不等式x2xm>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是m>0.8在下列三個(gè)結(jié)論中，正確的有()x2>4是x3<8的必要不充分條件；在ABC中，AB2AC2BC2是ABC為直角三角形的充要條件；若a，bR，則“a2b20”是“a，b不全為0”的充要條件ABCD考點(diǎn)充分條件、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案C解析中，x2>4x>2或x<2，x3<8x<2，由x<2x>2或x<2，x>2或x<2x<2，x2>4是x3<8的必要不充分條件；中，AB2AC2BC2是ABC為直角三角形的充分不必要條件；正確故正確9設(shè)條件p：|x2|<3，條件q：0<x<a，其中a為正常數(shù)，若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是()A(0,5 B(0,5)C5，) D(5，)考點(diǎn)充分條件、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)利用充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍答案A解析由|x2|<3，得3<x2<3，即1<x<5，即p：1<x<5，因?yàn)閝：0<x<a，a為正常數(shù)，所以要使p是q的必要不充分條件，則0<a5，故選A.二、填空題10關(guān)于x的不等式|2x3|a的解集為R的充要條件是_答案a0解析由題意知|2x3|a恒成立，|2x3|0，a0.11給出下列三個(gè)命題：“a>b”是“3a>3b”的充分不必要條件；“>”是“cos<cos”的必要不充分條件；“a0”是“函數(shù)f(x)ax32x23(xR)為偶函數(shù)”的充要條件其中正確命題的序號(hào)為_考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案解析函數(shù)y3x是R上的增函數(shù)，“a>b”是“3a>3b”的充要條件，故錯(cuò)誤；2>，則cos2>cos，>cos<cos；cos<cos，<，cos<cos>“>”是“cos<cos”的既不充分又不必要條件，故錯(cuò)誤；“a0”是“函數(shù)f(x)ax32x23(xR)為偶函數(shù)”的充要條件，故正確12關(guān)于x的方程m2x2(m1)x20的實(shí)數(shù)根的總和為2的充要條件是_考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件答案m0解析當(dāng)m0時(shí)，原方程即為x2，滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，有2，解得m1或m，又(m1)28m2，當(dāng)m1及m時(shí)，均使<0，故充要條件是m0.三、解答題13已知集合Mx|x<3或x>5，Px|(xa)(x8)0(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使它成為MPx|5<x8的充要條件；(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值，使它成為MPx|5<x8的一個(gè)充分不必要條件；(3)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使它成為MPx|5<x8的一個(gè)必要不充分條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)解由MPx|5<x8知，a8.(1)MPx|5<x8的充要條件是3a5.(2)MPx|5<x8的充分不必要條件，顯然，a在3,5中任取一個(gè)值都可以(3)若a5，顯然MP5，3)(5,8是MPx|5<x8的必要不充分條件故a<3為必要不充分條件14已知p：0，q：4x2xm0，p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A6，) B(，2 C2，) D(2，)考點(diǎn)充分條件、必要條件的概念及判斷題點(diǎn)由充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍答案A解析由0，得0<x1，即p：0<x1.由4x2xm0，得4x2xm.因?yàn)?x2x(2x)22x2，要使p是q的充分條件，則當(dāng)0<x1時(shí)，m大于等于4x2x的最大值，又當(dāng)x1時(shí)，4x2x有最大值6，所以m6.故選A.15已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snpnq(p0且p1)，求證：數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為q1.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的判斷證明充分性：當(dāng)q1時(shí)，a1S1p1，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1pn1(p1)，當(dāng)n1也成立p0且p1，p，即數(shù)列an為等比數(shù)列必要性：當(dāng)n1時(shí)，a1S1pq；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1pn1(p1)，p0且p1，當(dāng)n2時(shí)，p.an為等比數(shù)列，p，即a2p2pqp2p，解得q1.故數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為q1.