培優(yōu)點十二 數列求和1錯位相減法例1：已知是等差數列，其前項和為，是等比數列，且，（1）求數列與的通項公式；（2）記，求證：【答案】（1），；（2）見解析【解析】（1）設的公差為，的公比為，則，即，解得：，（2），得，所證恒等式左邊，右邊，即左邊右邊，所以不等式得證2裂項相消法例2：設數列，其前項和，為單調遞增的等比數列， （1）求數列，的通項公式；（2）若，求數列的前項和【答案】（1），；（2）【解析】（1）時，當時，符合上式，為等比數列，設的公比為，則，而，解得或，單調遞增，（2）， 對點增分集訓一、單選題1已知等差數列中，則項數為（ ）A10B14C15D17【答案】C【解析】，故選C2在等差數列中，滿足，且，是前項的和，若取得最大值，則（ ）A7B8C9D10【答案】C【解析】設等差數列首項為，公差為，由題意可知，二次函數的對稱軸為，開口向下，又，當時，取最大值故選C3對于函數，部分與的對應關系如下表：123456789375961824數列滿足：，且對于任意，點都在函數的圖象上，則（ ）A7554B7549C7546D7539【答案】A【解析】由題意可知：，點都在函數的圖象上，則，則數列是周期為4的周期數列，由于，且，故故選A4設等差數列的前項和，若數列的前項和為，則（ ）A8B9C10D11【答案】C【解析】為等差數列的前項和，設公差為，則，解得，則由于，則，解得故答案為10故選C5在等差數列中，其前項和是，若，則在，中最大的是（ ）ABCD【答案】C【解析】由于，可得，這樣，而，在，中最大的是故選C6設數列的前項和為，則對任意正整數，（ ）ABCD【答案】D【解析】數列是首項與公比均為的等比數列其前項和為故選D7已知數列滿足，若恒成立，則的最小值為（ ）A0B1C2D【答案】D【解析】由題意知，由，得，恒成立，故最小值為，故選D8數列的前項和為，若，則（ ）A2018B1009C2019D1010【答案】B【解析】由題意，數列滿足，故選B9已知數列中，則等于（ ）ABCD【答案】A【解析】設，由，解得，令，故故選A10已知函數，且，則（ ）A20100B20500C40100D10050【答案】A【解析】，當為偶數時，當為奇數時，故故選A11已知數列滿足：，則的整數部分為（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】，原式，當時，整數部分為1，故選B12對于任意實數，符號表示不超過的最大整數，例如，已知數列滿足，其前項和為，若是滿足的最小整數，則的值為（ ）A305B306C315D316【答案】D【解析】由題意，當時，可得，（1項）當時，可得，（2項）當時，可得，（4項）當時，可得，（8項）當時，可得，（16項）當時，可得，（項）則前項和為，兩式相減得，此時，當時，對應的項為，即，故選D二、填空題13已知數列滿足，記為的前項和，則_【答案】440【解析】由可得：當時，有， 當時，有， 當時，有， 有，有，則故答案為44014表示不超過的最大整數若，則_【答案】，【解析】第一個等式，起始數為1，項數為，第二個等式，起始數為2，項數為，第三個等式，起始數為3，項數為，第個等式，起始數為，項數為，故答案為，15已知函數，則_；【答案】2018【解析】，設， 則， 得，故答案為201816定義為個正整數，的“均倒數”，若已知數列的前項的“均倒數”為，又，則_；【答案】【解析】數列的前項的“均倒數”為，解得，當時，當時，上式成立，則，則故答案為三、解答題17正項等差數列中，已知，且，構成等比數列的前三項（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和【答案】（1），；（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，則由已知得：，即，又，解得或（舍去），又，；（2），兩式相減得，則18已知為數列的前項和，且，（1）求數列的通項公式；（2）若對，求數列的前項的和【答案】（1）；（2）【解析】（1），當時，化為，當時，且，解得數列是等差數列，首項為1，公差為3；（2），的前項的和