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第2課時 參數方程 第一次作業(yè) 1．直線(t為參數)的傾斜角為(　　) A．70　　　　　　　　 B．20 C．160 D．110 答案　B 解析　方法一：將直線參數方程化為標準形式： (t為參數)，則傾斜角為20，故選B. 方法二：tanα＝＝＝tan20，∴α＝20. 另外，本題中直線方程若改為，則傾斜角為160. 2．若直線的參數方程為(t為參數)，則直線的斜率為(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 3．參數方程(θ為參數)表示的曲線上的點到坐標軸的最近距離為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　參數方程(θ為參數)表示的曲線的普通方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，這是圓心為(－3，4)，半徑為2的圓，故圓上的點到坐標軸的最近距離為1. 4．(2018皖南八校聯考)若直線l：(t為參數)與曲線C：(θ為參數)相切，則實數m為(　　) A．－4或6 B．－6或4 C．－1或9 D．－9或1 答案　A 解析　由(t為參數)，得直線l：2x＋y－1＝0，由(θ為參數)，得曲線C：x2＋(y－m)2＝5，因為直線與曲線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即＝，解得m＝－4或m＝6. 5．(2014安徽，理)以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數方程是(t為參數)，圓C的極坐標方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為(　　) A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　由題意得直線l的方程為x－y－4＝0，圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4.則圓心到直線的距離d＝，故弦長＝2＝2. 6．(2017北京朝陽二模)在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin(θ＋)，則直線l和曲線C的公共點有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．無數個 答案　B 解析　直線l：(t為參數)化為普通方程得x－y＋4＝0； 曲線C：ρ＝4sin(θ＋)化成普通方程得(x－2)2＋(y－2)2＝8， ∴圓心C(2，2)到直線l的距離為d＝＝2＝r. ∴直線l與圓C只有一個公共點，故選B. 7．在直角坐標系中，已知直線l：(s為參數)與曲線C：(t為參數)相交于A，B兩點，則|AB|＝________． 答案　 解析　曲線C可化為y＝(x－3)2，將代入y＝(x－3)2，化簡解得s1＝1，s2＝2，所以|AB|＝|s1－s2|＝. 8．(2017人大附中模擬)已知直線l的參數方程為(t為參數)，圓C的極坐標方程為ρ＋2sinθ＝0，若在圓C上存在一點P，使得點P到直線l的距離最小，則點P的直角坐標為________． 答案　(，－) 解析　由已知得，直線l的普通方程為y＝－x＋1＋2，圓C的直角坐標方程為x2＋(y＋1)2＝1，在圓C上任取一點P(cosα，－1＋sinα)(α∈[0，2π))，則點P到直線l的距離為d＝＝＝.∴當α＝時，dmin＝，此時P(，－)． 9．(2018衡水中學調研)已知直線l的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ－2cosθ. (1)求曲線C的參數方程； (2)當α＝時，求直線l與曲線C交點的極坐標． 答案　(1)(φ為參數) (2)(2，)，(2，π) 解析　(1)由ρ＝2sinθ－2cosθ， 可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ. 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y－2x， 化為標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2. 曲線C的參數方程為(φ為參數)． (2)當α＝時，直線l的方程為化為普通方程為y＝x＋2. 由解得或 所以直線l與曲線C交點的極坐標分別為(2，)，(2，π)． 10．(2016課標全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； (2)直線l的參數方程是(t為參數)，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 答案　(1)ρ2＋12ρcosθ＋11＝0 (2)或－ 解析　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcosθ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)． 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝. 所以l的斜率為或－. 11．(2017江蘇，理)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，曲線C的參數方程為(s為參數)．設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． 答案　 解析　直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設P(2s2，2s)， 從而點P到直線l的距離d＝＝. 當s＝時，smin＝. 因此當點P的坐標為(4，4)時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值為. 12．(2018湖南省五市十校高三聯考)在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線l的參數方程為(t為參數)，直線l與曲線C：(θ為參數)相交于不同的兩點A，B. (1)若α＝，求線段AB的中點的直角坐標； (2)若直線l的斜率為2，且過已知點P(3，0)，求 |PA||PB|的值． 答案　(1)(，)　(2) 解析　(1)由曲線C：(θ為參數)，可得曲線C的普通方程是x2－y2＝1. 當α＝時，直線l的參數方程為(t為參數)， 代入曲線C的普通方程，得t2－6t－16＝0，設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則t1＋t2＝6， 所以線段AB的中點對應的t＝＝3， 故線段AB的中點的直角坐標為(，)． (2)將直線l的參數方程代入曲線C的普通方程，化簡得(cos2α－sin2α)t2＋6tcosα＋8＝0， 則|PA||PB|＝|t1t2|＝|| ＝||， 由已知得tanα＝2，故|PA||PB|＝. 13．(2018東北三省四市二模)已知在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cosθ，直線l的參數方程是(t為參數)． (1)求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程； (2)若曲線C2的參數方程為(α為參數)，曲線C1上的點P的極角為，Q為曲線C2上的動點，求PQ的中點M到直線l的距離的最大值． 答案　(1)x2＋y2－4x＝0，x＋2y－3＝0　(2) 解析　(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ， 又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0， 由直線l的參數方程消去參數t得直線l的普通方程為x＋2y－3＝0. (2)因為點P的極坐標為(2，)，直角坐標為(2，2)， 點Q的直角坐標為(2cosα，sinα)， 所以M(1＋cosα，1＋sinα)， 點M到直線l的距離d＝＝|sin(α＋)|， 當α＋＝＋kπ(k∈Z)，即α＝＋kπ(k∈Z)時，點M到直線l的距離d的最大值為. 14．(2018天星大聯考)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos(θ＋)，若直線l與曲線C交于A，B兩點． (1)若P(0，－1)，求|PA|＋|PB|； (2)若點M是曲線C上不同于A，B的動點，求△MAB的面積的最大值． 答案　(1)　(2) 解析　(1)ρ＝2cos(θ＋)可化為ρ＝2cosθ－2sinθ，將代入，得曲線C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.將直線l的參數方程化為(t為參數)，代入(x－1)2＋(y＋1)2＝2，得t2－t－1＝0，設方程的解為t1，t2，則t1＋t2＝，t1t2＝－1， 因而|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2| ＝＝. (2)將直線l的參數方程化為普通方程為2x－y－1＝0，設M(1＋cosθ，－1＋sinθ)， 由點到直線的距離公式，得M到直線AB的距離為 d＝＝， 最大值為，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝，因而△MAB面積的最大值為＝. 1．(2018山西5月聯考改編)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數，φ∈[0，])，直線l與⊙C：x2＋y2－2x－2y＝0交于M，N兩點，當φ變化時，求弦長|MN|的取值范圍． 答案　[，4] 解析　將直線的參數方程代入圓的直角坐標方程中得， (2＋tcosφ)2＋(＋tsinφ)2－2(2＋tcosφ)－2(＋tsinφ)＝0， 整理得，t2＋2tcosφ－3＝0， 設M，N兩點對應的參數分別為t1，t2，則t1＋t2＝－2cosφ，t1t2＝－3， ∴|MN|＝|t1－t2|＝＝， ∵φ∈[0，]，∴cosφ∈[，1]，∴|MN|∈[，4]． 2．(2018陜西省西安地區(qū)高三八校聯考)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π)． (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)在曲線C上求一點D，使它到直線l：(t為參數，t∈R)的距離最短，并求出點D的直角坐標． 答案　(1)x2＋y2－2y＝0(或x2＋(y－1)2＝1)　(2)(，) 解析　(1)由ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsinθ. 因為ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0(或x2＋(y－1)2＝1)． (2)因為直線l的參數方程為(t為參數，t∈R)，消去t得直線l的普通方程為y＝－x＋5. 因為曲線C：x2＋(y－1)2＝1是以(0，1)為圓心，1為半徑的圓，設點D(x0，y0)，且點D到直線l：y＝－x＋5的距離最短，所以曲線C在點D處的切線與直線l：y＝－x＋5平行， 即直線CD與l的斜率的乘積等于－1，即(－)＝－1.① 因為x02＋(y0－1)2＝1，② 由①②解得x0＝－或x0＝， 所以點D的直角坐標為(－，)或(，)． 由于點D到直線y＝－x＋5的距離最短，所以點D的直角坐標為(，)． 3．(2014課標全國Ⅰ)已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數)． (1)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 思路　(1)利用橢圓＋＝1(a>0，b>0)的參數方程為(θ為參數)，寫出曲線C的參數方程．消去直線l的參數方程中的參數t可得直線l的普通方程． (2)設出點P的坐標的參數形式．求出點P到直線l的距離d，則|PA|＝.轉化為求關于θ的三角函數的最值問題，利用輔助角公式asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋φ)求解． 答案　(1)C：(θ為參數)，l：2x＋y－6＝0 (2)|PA|max＝，|PA|min＝ 解析　(1)曲線C的參數方程為(θ為參數)． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝|4cosθ＋3sinθ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 4．(2015福建)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(t為參數)．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin(θ－)＝m(m∈R)． (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (2)設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 答案　(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9，x－y＋m＝0 (2)m＝－32 解析　(1)消去參數t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9. 由ρsin(θ－)＝m，得 ρsinθ－ρcosθ－m＝0. 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋m＝0. (2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2， 即＝2，解得m＝－32. 5．已知曲線C1：(α為參數)，C2：(θ為參數)． (1)分別求出曲線C1，C2的普通方程； (2)若C1上的點P對應的參數為α＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數)距離的最小值及此時Q點坐標． 答案　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1　C2：＋＝1 (2)，(，－) 解析　(1)由曲線C1：(α為參數)，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1， 它表示一個以(－4，3)為圓心，以1為半徑的圓； 由C2：(θ為參數)，得＋＝1， 它表示一個中心為坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長為8，短半軸長為3的橢圓． (2)當α＝時，P點的坐標為(－4，4)，設Q點坐標為(8cosθ，3sinθ)，PQ的中點M(－2＋4cosθ，2＋sinθ)． ∵C3：∴C3的普通方程為x－2y－7＝0， ∴d＝ ＝＝， ∴當sinθ＝－，cosθ＝時，d的最小值為， ∴Q點坐標為(，－)． 第二次作業(yè) 1．(2018衡水中學調研卷)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：(φ為參數)，曲線C2：x2＋y2－2y＝0，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l：θ＝α(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于點A，B(均異于原點O)． (1)求曲線C1，C2的極坐標方程； (2)當0<α<時，求|OA|2＋|OB|2的取值范圍． 答案　(1)ρ2＝，ρ＝2sinθ　(2)(2，5) 解析　(1)∵(φ為參數)，∴曲線C1的普通方程為＋y2＝1， 由得曲線C1的極坐標方程為ρ2＝. ∵x2＋y2－2y＝0，∴曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ. (2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α， ∴|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4， ∵0<α<，∴1<1＋sin2α<2，∴6<＋4(1＋sin2α)<9， ∴|OA|2＋|OB|2的取值范圍為(2，5)． 2．(2018皖南八校聯考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(a>0，β為參數)．以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ－)＝. (1)若曲線C與l只有一個公共點，求a的值； (2)A，B為曲線C上的兩點，且∠AOB＝，求△OAB面積的最大值． 答案　(1)a＝1　(2) 解析　(1)由題意知，曲線C是以(a，0)為圓心，以a為半徑的圓， 直線l的直角坐標方程為x＋y－3＝0. 由直線l與圓C只有一個公共點，可得＝a， 解得a＝1，a＝－3(舍)．所以a＝1. (2)曲線C是以(a，0)為圓心，以a為半徑的圓，且∠AOB＝，由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a. 又|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA||OB|cos≥|OA||OB|， 所以S△OAB＝|OA||OB|sin≤3a2＝， 所以△OAB面積的最大值為. 3．(2018福建質檢)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數)．在以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，曲線C3：θ＝(ρ>0)，A(2，0)． (1)把C1的參數方程化為極坐標方程； (2)設C3分別交C1，C2于點P，Q，求△APQ的面積． 答案　(1)ρ＝4cosθ　(2)－ 解析　(1)曲線C1的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0， 所以C1的極坐標方程為ρ2－4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ. (2)方法一：依題意，設點P，Q的極坐標分別為(ρ1，)，(ρ2，)． 將θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2， 將θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1， 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1， 點A(2，0)到曲線θ＝(ρ>0)的距離d＝|OA|sin＝1. 所以S△APQ＝|PQ|d＝(2－1)1＝. 方法二：依題意，設點P，Q的極坐標分別為(ρ1，)，(ρ2，)． 將θ＝代入ρ＝4cosθ，得ρ1＝2，得|OP|＝2， 將θ＝代入ρ＝2sinθ，得ρ2＝1，即|OQ|＝1. 因為A(2，0)，所以∠POA＝， 所以S△APQ＝S△OPA－S△OQA ＝|OA||OP|sin－|OA||OQ|sin ＝22－21 ＝－. 4．(2018河北保定模擬)在平面直角坐標系中，將曲線C1上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為ρ＝2. (1)求曲線C2的參數方程； (2)過坐標原點O且關于y軸對稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點A在第一象限，當四邊形ABCD的周長最大時，求直線l1的普通方程． 答案　(1)(θ為參數)　(2)y＝x 解析　(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，因為ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2＝4. 由題可得曲線C2的方程為＋y2＝1. 所以曲線C2的參數方程為(θ為參數)． (2)設四邊形ABCD的周長為l，點A(2cosθ，sinθ)， 則l＝8cosθ＋4sinθ＝4(cosθ＋sinθ)＝4sin(θ＋φ)， 其中cosφ＝，sinφ＝. 所以當θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)時，l取得最大值，最大值為4. 此時θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)， 所以2cosθ＝2sinφ＝，sinθ＝cosφ＝， 此時A(，)． 所以直線l1的普通方程為y＝x. 5．(2018湖北鄂南高中模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的極坐標方程為ρ＝2sinθ. (1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程； (2)設圓C與直線l交于A，B兩點，若點P的坐標為(3，)，求|PA|＋|PB|. 答案　(1)y＝－x＋3＋，x2＋(y－)2＝5　(2)3 解析　(1)由直線l的參數方程(t為參數)得直線l的普通方程為y＝－x＋3＋. 由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0， 即圓C的直角坐標方程為x2＋(y－)2＝5. (2)通解：由得x2－3x＋2＝0， 解得或 不妨設A(1，2＋)，B(2，1＋)，又點P的坐標為(3，)． 故|PA|＋|PB|＝＋＝3. 優(yōu)解：將直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得(3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設t1，t2是上述方程的兩個實根，所以 又直線l過點P(3，)， 故|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. 6．(2017江西南昌一模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a，1)，其參數方程為(t為參數，a∈R)．以O為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數a的值． 答案　(1)x－y－a＋1＝0，y2＝4x　(2)或 解析　(1)∵曲線C1的參數方程為 ∴其普通方程為x－y－a＋1＝0. ∵曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0， ∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0， ∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲線C2的直角坐標方程為y2＝4x. (2)設A，B兩點所對應的參數分別為t1，t2，由得2t2－2t＋1－4a＝0. Δ＝(2)2－42(1－4a)>0，即a>0，由根與系數的關系得 根據參數方程的幾何意義可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|， 又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝22|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2. ∴當t1＝2t2時，有，解得a＝>0，符合題意． 當t1＝－2t2時，有，解得a＝>0，符合題意． 綜上所述，實數a的值為或.