第一講 空間幾何體 一、選擇題 1．(2018廣州模擬)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 解析：由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為2，底面為正方形，面積為22＝4，因為該幾何體的體積為42＝，滿足條件，所以俯視圖可以為一個直角三角形．故選D. 答案：D 2．(2018高考全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1、O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π　 B．12π C．8π D．10π 解析：設圓柱的軸截面的邊長為x，則由x2＝8，得x＝2，∴S圓柱表＝2S底＋S側＝2π()2＋2π2＝12π. 故選B. 答案：B 3．(2018合肥模擬)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 解析：由三視圖可知，該幾何體由一個半圓柱與兩個半球構成，故其表面積為4π12＋2π13＋2π12＋32＝8π＋6.故選C. 答案：C 4．(2018沈陽模擬)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側面積是(　　) A．4＋4 B．4＋2 C．8＋4 D． 解析：由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，記為四棱錐PABCD，如圖所示，其中PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2，所以該四棱錐的側面積S是四個直角三角形的面積和，即S＝2(22＋22)＝4＋4，故選A. 答案：A 5．(2018聊城模擬)在三棱錐PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120?，PA＝AB＝AC＝2，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為(　　) A．10π B．18π C．20π D．9π 解析：該三棱錐為圖中正六棱柱內的三棱錐PABC，PA＝AB＝AC＝2，所以該三棱錐的外接球即該六棱柱的外接球，所以外接球的直徑2R＝＝2?R＝，所以該球的表面積為4πR2＝20π. 答案：C 6．(2018高考全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：先畫出圓柱的直觀圖，根據題圖的三視圖可知點M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑． ON＝16＝4，OM＝2， ∴|MN|＝＝＝2. 故選B. 答案：B 7．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，點M是BB1的中點，則三棱錐C1AMC的體積為(　　) A. B. C．2 D．2 解析：取BC的中點D，連接AD.在正三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC為正三角形，所以AD⊥BC，又BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以BB1⊥AD，又BB1∩BC＝B，所以AD⊥平面BCC1B1，即AD⊥平面MCC1，所以點A到平面MCC1的距離就是AD.在正三角形ABC中，AB＝2，所以AD＝，又AA1＝3，點M是BB1的中點，所以S△MCC1＝S矩形BCC1B1＝23＝3，所以VC1－AMC＝VAMCC1＝3＝. 答案：A 8．如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，則三棱錐NPAC與三棱錐DPAC的體積比為(　　) A．1∶2 B．1∶8 C．1∶6 D．1∶3 解析：由NB＝2PN可得＝.設三棱錐NPAC的高為h1，三棱錐BPAC的高為h，則＝＝.又四邊形ABCD為平行四邊形，所以點B到平面PAC的距離與點D到平面PAC的距離相等，所以三棱錐NPAC與三棱錐DPAC的體積比為＝＝. 答案：D 9．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，∠ASC＝∠BSC＝30?，則棱錐SABC的體積最大為(　　) A．2 B． C． D．2 解析：如圖，因為球的直徑為SC，且SC＝4，∠ASC＝∠BSC＝30?，所以∠SAC＝∠SBC＝90?，AC＝BC＝2，SA＝SB＝2，所以S△SBC＝22＝2，則當點A到平面SBC的距離最大時，棱錐ASBC即SABC的體積最大，此時平面SAC⊥平面SBC，點A到平面SBC的距離為2sin 30?＝，所以棱錐SABC的體積最大為2＝2，故選A. 答案：A 二、填空題 10．(2018洛陽統(tǒng)考)已知點A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝2.若三棱錐DABC體積的最大值為3，則球O的表面積為________． 解析：由題意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圓半徑r＝，當三棱錐的體積最大時，VDABC＝S△ABCh(h為D到底面ABC的距離)，即3＝h?h＝3，即R＋＝3(R為外接球半徑)，解得R＝2，∴球O的表面積為4π22＝16π. 答案：16π 11．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓直徑為4，則該幾何體的體積為________． 解析：由三視圖可知該幾何體為一個長方體挖掉半個圓柱，所以其體積為248－π222＝64－4π. 答案：64－4π 12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側面的面積為________． 解析：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐ABCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則S△ABC＝S△ABE＝1＝，S△ADE＝，S△ACD＝1＝，故面積最大的側面的面積為. 答案： 13．(2018福州四校聯考)已知三棱錐ABCD的所有頂點都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90?，則球O的體積為________． 解析：設A到平面BCD的距離為h，∵三棱錐的體積為，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90?，∴3h＝，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距離為1.設CD的中點為E，連接OE，則由球的截面性質可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圓的直徑CD＝2，∴球O的半徑OD＝2，∴球O的體積為. 答案：